实对称矩阵的相似对角化一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：
,),,,(,)(
21
T
nnnij
aaaaA L==
×
α
T
AAAA ==为实对称阵，故由于性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。
,的特征值阶实对称矩阵是设An
o
λ
（1）两端取转置，得：
TTT
A αλα
o
=
α两端同时右乘
ααλααλ
TT
oo
=?
oo
Q λλααα =∴≠= 0
2
T
性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向量必定正交。
对一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向量线性无关。
T
n
aaa ),,,(
21
L=α
，即是对应的特征向量αλα
o
=A,
两边取共轭，得：
)1(αλα
o
=A
TT
A αλα
o
=?
ααλαα
TT
A
o
=?
0)( = ααλλ
T
oo
的特征向量。的属于特征值征向量，求的特的属于特征值是），，（），，（
个特征值，的是三阶实对称方阵，，例：设
1
1122,111
3111
21
==
A
A
A
TT
αα
,1
3213
T
xxxA），，（的特征向量为的属于特征值设=? α
正交，与
213
,αααQ
=++
=++
022
0
321
321
xxx
xxx
=
122
111
A
→
100
111
→
100
011
=
=
0
3
12
x
xx
T
），，（011
3
=?α
0,,
2313
==∴）（）（αααα
性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有k个。
由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
二、实对称矩阵的相似对角化：
定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
为对角阵。，使求正交阵为对角阵。，使求可逆阵，：设例
AQQQ
APPPA
1
1
)2(
)1(
242
422
221
1

=
λ
λ
λ
λ



=?
242
422
221
EA
2
)2)(7(?+?= λλ
定理2：实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似。
.2,7
321
==?=? λλλ
TT
)1,0,2(,)0,1,2(
32
=?= ξξ
.)221(7
11
T
=?=，，的特征向量为ξλ
的线性无关的特为属于特征值2
.征向量
()
==
102
012
221
321
ξξξP
=Λ=?
2
2
7
1
APP
.
3
2
3
2
3
1
)221(
11
TT
），，（单位化，得：，，将?=?= ηξ
正交化，得：将
TT
)1,0,2(,)0,1,2(
32
=?= ξξ
再单位化，得：
TT
)
53
5
,
53
4
,
53
2
()0,
5
1
,
5
2
(
32
=?= ηη，
TT
)5,4,2(
5
1
)0,1,2(
2
22
23
3322
=?=?== β
ββ
βξ
ξβξβ
），（
），（
，
()
==
53
5
0
3
2
53
4
5
1
3
2
53
2
5
2
3
1
321
ηηηQ
=Λ=?
2
2
7
1
AQQ
用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：
的特征向量。它们仍为属于
，；先正交化再单位化为；个线性无关的特征向量所对应的每一个重特征值用施密特正交化方法将
i
irii
iriii
i
mi
mir
iii
i
i
λ
ηηη
ξξξ
λ
),,2,1(,,,
),,2,1(,,,
)(
21
21
LL
LL
=
=
.),,,2,1(,,,
)(
1
21
nrmi
rii
m
i
iirii
ii
i
==
∑
=
由性质知；征向量个线性无关的特，求出对应的对每一个重特征值
LL ξξξ
λ;,,,)(
21 m
Ai λλλ L的所有相异的特征值求出为对角阵。
此时即为所求的正交方阵。，则阶方阵一个向量作为列向量，排成将上面求得的正交单位
Λ==
AQQAQQ
QQn
iv
T1
)(
为对角阵。，使求正交阵为对角阵。，使求可逆阵
，，，，特征值为设
AQQQ
APPP
AEX
1
1
)2(
)1(
412
020
212
022
:

=
==
122
212
221
3
1
),,(
321
ηηηQ
==
122
212
221
),,(
321
αααP
。，使及正交阵求
，正交相似于设
=
=
2
1
0
,
2
1
0
11
1
11
:
1
AQQQlk
l
lk
k
AEX
lkA =∴=,0Q
.
101
010
101
=∴A
=
2
1
0
2
1
010
2
1
0
2
1
Q
.0,0,==∴=? lkEAQ
三者的互求及或ΛQPA,
.P
A
AA
似变换矩阵及相在相似时求出对角阵能否与对角阵相似，并判断从而可以的特征值及特征向量，，可以求出已知
Λ
的特征向量。为APPPPP
nn
,,),,,(
11
LL=
Λ=
APP
1
的特征值；为A
n
n
λλ
λ
λ
,,,
1
1
LO
=Λ
.AP
AA
，也可以求出矩阵与量，也就是已知的特征值及特征向与对角阵相似且已知反之，若
Λ
1?
Λ= PPA
补充
.,)2,1,2(,)1,2,2(,)2,2,1(
.3,2,1,1
321
A
iiAA
TTT
ii
求满足：设三阶方阵例
=?==
==
ααα
αα
.3,2,1,== iiA
ii
ααQ
的特征向量。的属于特征值是3,2,1,,
321
Aααα?
且与对角阵相似。

==
212
122
221
),,(
321
αααP
=Λ
3
2
1
1?
Λ= PPA

=
622
250
207
3
1

=
212
122
221
9
1
1
P
.
1122,111
31112
21
A
A
A
TT
特征向量，求的的属于特征值是），，（），，（
个特征值，的是三阶实对称方阵，，：设例
==
αα
==
011
121
121
),,(
321
αααP

=
0
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
P
=Λ
1
1
1
1?
Λ= PPA
=
100
001
010
三、矩阵的合同
BA
BABAPP
PnnBA
T
合同，记为与，则称矩阵使得
，阶可逆阵阶矩阵，若有为两个，定义：设
=
~
.
合同矩阵具有自反性、对称性、传递性。
等价、相似、合同的关系：
BABABABA ~ ~
但凡之均不成立。
一般而言，相似与合同没有关系。
但，正交相似与合同一致。
定理：实对称矩阵一定与对角阵合同。
。，求的特征值为：设例
9
5,5,1
340
430
241
1 AA?
=
=Λ∴?
5
5
1
~5,5,1 A，特征值为Q
对应的特征向量为：特征值5,5,1?
TT
)1,2,1(,)2,1,2(
32
== ξξ,)001(
1
T
，，=ξ
()
==
120
210
121
321
ξξξP
1?
Λ= PPA
199?
Λ=? PPA


+
=
99
99
99
9
53540
54530
535545
5
1
A
.
3
2
00
4
3
1
0
24
2
1
lim2
n
n
+∞→
：求例
= 0