马可夫链问题
1,定义在生物,经济,工程,物理,化学等领域有很多现象或过程常常按同一模式反复发生多次，每一过程产生的结果都是某几个特定结果之一，并且每一次过程产生的结果都只依赖于上一次过程的情况。
马可夫链就是用来描述上述问题的一个数学模型。如果一个向量的各个分量都是非负数并且它们的和等于1，则称这个向量为概率向量。列向量为概率向量的方阵称为统计局阵。设 为一个统计局阵，由概率向量
P
,
0
x,
01
Pxx =
,
12
Pxx =
,
23
Pxx =
LL
构成的序列称为马可夫链。
2,实际问题已知某地区2000年城市和农村人口分别为和，，
0
r
0
s
记,表示2000年的人口向量，对2001
及其以后的年份，其相应的人口向量分别用下列向量表示：
=
0
0
0
s
r
x
=
1
1
1
s
r
x
=
2
2
2
s
r
x
=
3
3
3
s
r
x
LL
，，，
人口统计显示，每年有 5% 的城市人口流向农村，同时又有 3% 的农村人口流向城市。于是，一年以后城人口 和农村人口 分别重新分布为人口向量
0
r
=
05.0
95.0
05.0
95.0
0
0
0
r
r
r
=
05.0
95.0
05.0
95.0
0
0
0
r
r
r
，
0
s
于是，2001年的人口向量为
=
+
=
0
0
00
2
1
03.005.0
97.095.0
97.0
03.0
05.0
95.0
s
r
sr
r
r
即
=
0
0
1
1
s
r
M
s
r
01
Mxx =
,
鱹鱹鱹鴠鰙鐌鐌鐌鑮鎪
=?
90.010035.0
10.095.0250
45.040.01
AE
我们把 M 称为迁移矩阵。如果人口流动的百分率保持不变，则可以得到：
cv
,
1 kk
Mxx
其中
=
97.005.0
03.095.0
M
=
+
LL,2,1=k
其中
3,例题已知某地区2000年城市和农村人口分别为60万和40万，人口迁移矩阵为：
求2001年和 2002年的人口分布向量。
解,2000年的人口分布向量为,
于是 2001年和 2002年的人口分布向量分别为：
=
40
60
0
x
=
97.005.0
03.095.0
M
,
8.41
2.58
40
60
97.005.0
03.095.0
1
=
=x
.
5.43
5.56
8.41
2.58
97.005.0
03.095.0
2
=
=x
4,稳定状态向量设 P 是一个统计矩阵，如果存在一个概率向量
q 使得,则称 q 为统计矩阵 P 的稳定状态向量。
,qPq
容易验证，对于前面例题中的矩阵 M,向量是它的状态稳定向量。
=
625.0
375.0
q
=
例题 已知统计矩阵为：
求它的状态稳定向量。
,
7.04.0
3.06.0
=P
解 首先解下列方程 即
,xPx =
,0)( =? xIP 其中
,
3.04.0
3.04.0
10
01
7.04.0
3.06.0
=
=?IP
容易求得 是它的一个解。 于是可得关于
P 稳定状态向量
1
4
3
.
4
7
3
0
=x
7
谢谢！
1,定义在生物,经济,工程,物理,化学等领域有很多现象或过程常常按同一模式反复发生多次，每一过程产生的结果都是某几个特定结果之一，并且每一次过程产生的结果都只依赖于上一次过程的情况。
马可夫链就是用来描述上述问题的一个数学模型。如果一个向量的各个分量都是非负数并且它们的和等于1，则称这个向量为概率向量。列向量为概率向量的方阵称为统计局阵。设 为一个统计局阵，由概率向量
P
,
0
x,
01
Pxx =
,
12
Pxx =
,
23
Pxx =
LL
构成的序列称为马可夫链。
2,实际问题已知某地区2000年城市和农村人口分别为和，，
0
r
0
s
记,表示2000年的人口向量，对2001
及其以后的年份，其相应的人口向量分别用下列向量表示：
=
0
0
0
s
r
x
=
1
1
1
s
r
x
=
2
2
2
s
r
x
=
3
3
3
s
r
x
LL
，，，
人口统计显示，每年有 5% 的城市人口流向农村，同时又有 3% 的农村人口流向城市。于是，一年以后城人口 和农村人口 分别重新分布为人口向量
0
r
=
05.0
95.0
05.0
95.0
0
0
0
r
r
r
=
05.0
95.0
05.0
95.0
0
0
0
r
r
r
，
0
s
于是，2001年的人口向量为
=
+
=
0
0
00
2
1
03.005.0
97.095.0
97.0
03.0
05.0
95.0
s
r
sr
r
r
即
=
0
0
1
1
s
r
M
s
r
01
Mxx =
,
鱹鱹鱹鴠鰙鐌鐌鐌鑮鎪
=?
90.010035.0
10.095.0250
45.040.01
AE
我们把 M 称为迁移矩阵。如果人口流动的百分率保持不变，则可以得到：
cv
,
1 kk
Mxx
其中
=
97.005.0
03.095.0
M
=
+
LL,2,1=k
其中
3,例题已知某地区2000年城市和农村人口分别为60万和40万，人口迁移矩阵为：
求2001年和 2002年的人口分布向量。
解,2000年的人口分布向量为,
于是 2001年和 2002年的人口分布向量分别为：
=
40
60
0
x
=
97.005.0
03.095.0
M
,
8.41
2.58
40
60
97.005.0
03.095.0
1
=
=x
.
5.43
5.56
8.41
2.58
97.005.0
03.095.0
2
=
=x
4,稳定状态向量设 P 是一个统计矩阵，如果存在一个概率向量
q 使得,则称 q 为统计矩阵 P 的稳定状态向量。
,qPq
容易验证，对于前面例题中的矩阵 M,向量是它的状态稳定向量。
=
625.0
375.0
q
=
例题 已知统计矩阵为：
求它的状态稳定向量。
,
7.04.0
3.06.0
=P
解 首先解下列方程 即
,xPx =
,0)( =? xIP 其中
,
3.04.0
3.04.0
10
01
7.04.0
3.06.0
=
=?IP
容易求得 是它的一个解。 于是可得关于
P 稳定状态向量
1
4
3
.
4
7
3
0
=x
7
谢谢！
