§ 12.9 二阶常系数非齐次线性微分方程一,f(x)?Pm(x)e?x型二,f(x)?e?x[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型上页 下页 铃结束返回首页方程 y+py?+qy?f(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程?其中 p,q是常数?
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解 y?Y(x)与非齐次方程本身的一个特解 y?y*(x)之和?
y?Y(x)+y*(x)?
上页 下页 铃结束返回首页一,f(x)?Pm(x)e?x 型提示?
[Q(x)+(2?+p)Q?(x)+(?2+p?+q)Q(x)]e?x?
[Q(x)+2?Q?(x)+?2Q(x)]e?x+p[Q?(x)+?Q(x)]e?x+qQ(x)e?x
y*?Q(x)e?x?设方程 y+py?+qy?Pm(x)e?x 特解形式为下页
Q(x)+(2?+p)Q?(x)+(?2+p?+q)Q(x)?Pm(x)? —— (＊ )
则得
[Q(x)e?x]+[Q(x)e?x]?+q[Q(x)e?x] y*+py*?+qy*
上页 下页 铃结束返回首页提示?
此时?2+p?+q?0?
要使 (＊ )式成立?Q(x)应设为 m次多项式?
Qm(x)?b0xm+b1xm?1++bm?1x+bm?
(1)如果?不是特征方程 r2+pr+q?0的根?则 y*?Qm(x)e?x?
下页
y*?Q(x)e?x?设方程 y+py?+qy?Pm(x)e?x 特解形式为
Q(x)+(2?+p)Q?(x)+(?2+p?+q)Q(x)?Pm(x)? —— (＊ )
则得一,f(x)?Pm(x)e?x 型上页 下页 铃结束返回首页一,f(x)?Pm(x)e?x 型提示?
此时?2+p?+q?0?但 2?+p?0?
要使 (＊ )式成立?Q(x)应设为 m+1次多项式?Q(x)?xQm(x)?
其中 Qm(x)?b0xm+b1xm?1++bm?1x+bm?
(2)如果?是特征方程 r2+pr+q?0的单根? 则 y*?xQm(x)e?x?
下页
(1)如果?不是特征方程 r2+pr+q?0的根?则 y*?Qm(x)e?x?
y*?Q(x)e?x?设方程 y+py?+qy?Pm(x)e?x 特解形式为
Q(x)+(2?+p)Q?(x)+(?2+p?+q)Q(x)?Pm(x)? —— (＊ )
则得上页 下页 铃结束返回首页一,f(x)?Pm(x)e?x 型提示?
此时?2+p?+q?0?2?+p?0?
要使 (＊ )式成立?Q(x)应设为 m+2次多项式?Q(x)?x2Qm(x)?
其中 Qm(x)?b0xm+b1xm?1++bm?1x+bm?
(3)如果?是特征方程 r2+pr+q?0的重根? 则 y*?x2Qm(x)e?x?
下页
(2)如果?是特征方程 r2+pr+q?0的单根? 则 y*?xQm(x)e?x?
(1)如果?不是特征方程 r2+pr+q?0的根?则 y*?Qm(x)e?x?
y*?Q(x)e?x?设方程 y+py?+qy?Pm(x)e?x 特解形式为
Q(x)+(2?+p)Q?(x)+(?2+p?+q)Q(x)?Pm(x)? —— (＊ )
则得上页 下页 铃结束返回首页
结论二阶常系数非齐次线性微分方程
y+py?+qy?Pm(x)e?x
有形如
y*?xkQm(x)e?x
的特解? 其中 Qm(x)是与 Pm(x)同次的多项式? 而 k按?不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为 0,1或 2?
下页上页 下页 铃结束返回首页提示?
因为 f(x)?Pm(x)e?x?3x+10不是特征方程的根?
所以非齐次方程的特解应设为
y*?b0x+b1?
把它代入所给方程?得例 1 求微分方程 y2y3y?3x+1的一个特解?
解 齐次方程 y2y3y?0的特征方程为 r2?2r?3?0?
比较两端 x 同次幂的系数? 得 b 0 1? 311?b?
因 此 所给方程的 特解为 31* + xy?
[b0x+b1]2[b0x+b1]3[b0x+b1]
3b0x?2b0?3b1?
2b0?3b0x?3b1
3b0x?2b0?3b1?3x+1?
提示?3b0?3?
2b0?3b1?1?
比较两端 x 同次幂的系数? 得 b 0 1? 311?b?
特解形式上页 下页 铃结束返回首页例 2 求微分方程 y5y?+6y?xe2x的通解?
解 齐次方程 y5y?+6y?0的特征方程为 r2?5r+6?0?
其根为 r1?2?r2?3?
提示?
齐次方程 y5y?+6y?0的通解为 Y?C1e2x+C2e3x?
因为 f(x)?Pm(x)e?x?xe2x2是特征方程的单根?
所以非齐次方程的特解应设为
y*?x(b0x+b1)e2x?
把它代入所给方程?得
2b0x+2b0?b1?x?
比较 系数? 得 210b? b 1 1? 故 xexxy 2)121(* 比较 系数? 得 210b? b 1 1? 故 xexxy 2)121(* 比较 系数? 得 210b? b? 1? 故 xexxy 2)1(*
提示?2b0?1?
2b0?b1?0?
>>>
特解形式上页 下页 铃结束返回首页首页例 2 求微分方程 y5y?+6y?xe2x的通解?
解 齐次方程 y5y?+6y?0的特征方程为 r2?5r+6?0?
其根为 r1?2?r2?3?
2b0x+2b0?b1?x?
比较 系数? 得 210b? b 1 1? 故 xexxy 2)121(* 比较 系数? 得 210b? b 1 1? 故 xexxy 2)121(*
因此所给方程的通解为
xxx exxeCeCy 223221 )2(
2
1 +?+
因为 f(x)?Pm(x)e?x?xe2x2是特征方程的单根?
所以非齐次方程的特解应设为
y*?x(b0x+b1)e2x?
把它代入所给方程?得特解形式上页 下页 铃结束返回首页二,f(x)=e?x[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型二阶常系数非齐次线性微分方程
y+py?+qy?e?x[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]
有形如
y*?xke?x[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx]
的特解? 其中 R(1)m(x),R(2)m(x)是 m次多项式? m?max{l? n}? 而 k
按?+iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取 0或 1?
下页
>>>
结论上页 下页 铃结束返回首页解结束例 3 求微分方程 y+y?xcos2x的一个特解?
因为 f(x)?e?x[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]?xcos2x+iw?2i不是特征方程的根?所以所给方程的特解应设为齐次方程 y+y?0的特征方程为 r2+1?0?
把它代入所给方程?得
y*?(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x?
(?3ax?3b+4c)cos2x?(3cx+4a+3d)sin2x?xcos2x?
比较两端同类项的系数? 得 31a? b? 0? c? 0? 94?d?
因 此 所 给 方 程 的 特解为 xxxy 2s i n942c o s31* +
>>>
比较两端同类项的系数? 得 31a? b? 0? c? 0? 94?d?
>>>
特解形式
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解 y?Y(x)与非齐次方程本身的一个特解 y?y*(x)之和?
y?Y(x)+y*(x)?
上页 下页 铃结束返回首页一,f(x)?Pm(x)e?x 型提示?
[Q(x)+(2?+p)Q?(x)+(?2+p?+q)Q(x)]e?x?
[Q(x)+2?Q?(x)+?2Q(x)]e?x+p[Q?(x)+?Q(x)]e?x+qQ(x)e?x
y*?Q(x)e?x?设方程 y+py?+qy?Pm(x)e?x 特解形式为下页
Q(x)+(2?+p)Q?(x)+(?2+p?+q)Q(x)?Pm(x)? —— (＊ )
则得
[Q(x)e?x]+[Q(x)e?x]?+q[Q(x)e?x] y*+py*?+qy*
上页 下页 铃结束返回首页提示?
此时?2+p?+q?0?
要使 (＊ )式成立?Q(x)应设为 m次多项式?
Qm(x)?b0xm+b1xm?1++bm?1x+bm?
(1)如果?不是特征方程 r2+pr+q?0的根?则 y*?Qm(x)e?x?
下页
y*?Q(x)e?x?设方程 y+py?+qy?Pm(x)e?x 特解形式为
Q(x)+(2?+p)Q?(x)+(?2+p?+q)Q(x)?Pm(x)? —— (＊ )
则得一,f(x)?Pm(x)e?x 型上页 下页 铃结束返回首页一,f(x)?Pm(x)e?x 型提示?
此时?2+p?+q?0?但 2?+p?0?
要使 (＊ )式成立?Q(x)应设为 m+1次多项式?Q(x)?xQm(x)?
其中 Qm(x)?b0xm+b1xm?1++bm?1x+bm?
(2)如果?是特征方程 r2+pr+q?0的单根? 则 y*?xQm(x)e?x?
下页
(1)如果?不是特征方程 r2+pr+q?0的根?则 y*?Qm(x)e?x?
y*?Q(x)e?x?设方程 y+py?+qy?Pm(x)e?x 特解形式为
Q(x)+(2?+p)Q?(x)+(?2+p?+q)Q(x)?Pm(x)? —— (＊ )
则得上页 下页 铃结束返回首页一,f(x)?Pm(x)e?x 型提示?
此时?2+p?+q?0?2?+p?0?
要使 (＊ )式成立?Q(x)应设为 m+2次多项式?Q(x)?x2Qm(x)?
其中 Qm(x)?b0xm+b1xm?1++bm?1x+bm?
(3)如果?是特征方程 r2+pr+q?0的重根? 则 y*?x2Qm(x)e?x?
下页
(2)如果?是特征方程 r2+pr+q?0的单根? 则 y*?xQm(x)e?x?
(1)如果?不是特征方程 r2+pr+q?0的根?则 y*?Qm(x)e?x?
y*?Q(x)e?x?设方程 y+py?+qy?Pm(x)e?x 特解形式为
Q(x)+(2?+p)Q?(x)+(?2+p?+q)Q(x)?Pm(x)? —— (＊ )
则得上页 下页 铃结束返回首页
结论二阶常系数非齐次线性微分方程
y+py?+qy?Pm(x)e?x
有形如
y*?xkQm(x)e?x
的特解? 其中 Qm(x)是与 Pm(x)同次的多项式? 而 k按?不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为 0,1或 2?
下页上页 下页 铃结束返回首页提示?
因为 f(x)?Pm(x)e?x?3x+10不是特征方程的根?
所以非齐次方程的特解应设为
y*?b0x+b1?
把它代入所给方程?得例 1 求微分方程 y2y3y?3x+1的一个特解?
解 齐次方程 y2y3y?0的特征方程为 r2?2r?3?0?
比较两端 x 同次幂的系数? 得 b 0 1? 311?b?
因 此 所给方程的 特解为 31* + xy?
[b0x+b1]2[b0x+b1]3[b0x+b1]
3b0x?2b0?3b1?
2b0?3b0x?3b1
3b0x?2b0?3b1?3x+1?
提示?3b0?3?
2b0?3b1?1?
比较两端 x 同次幂的系数? 得 b 0 1? 311?b?
特解形式上页 下页 铃结束返回首页例 2 求微分方程 y5y?+6y?xe2x的通解?
解 齐次方程 y5y?+6y?0的特征方程为 r2?5r+6?0?
其根为 r1?2?r2?3?
提示?
齐次方程 y5y?+6y?0的通解为 Y?C1e2x+C2e3x?
因为 f(x)?Pm(x)e?x?xe2x2是特征方程的单根?
所以非齐次方程的特解应设为
y*?x(b0x+b1)e2x?
把它代入所给方程?得
2b0x+2b0?b1?x?
比较 系数? 得 210b? b 1 1? 故 xexxy 2)121(* 比较 系数? 得 210b? b 1 1? 故 xexxy 2)121(* 比较 系数? 得 210b? b? 1? 故 xexxy 2)1(*
提示?2b0?1?
2b0?b1?0?
>>>
特解形式上页 下页 铃结束返回首页首页例 2 求微分方程 y5y?+6y?xe2x的通解?
解 齐次方程 y5y?+6y?0的特征方程为 r2?5r+6?0?
其根为 r1?2?r2?3?
2b0x+2b0?b1?x?
比较 系数? 得 210b? b 1 1? 故 xexxy 2)121(* 比较 系数? 得 210b? b 1 1? 故 xexxy 2)121(*
因此所给方程的通解为
xxx exxeCeCy 223221 )2(
2
1 +?+
因为 f(x)?Pm(x)e?x?xe2x2是特征方程的单根?
所以非齐次方程的特解应设为
y*?x(b0x+b1)e2x?
把它代入所给方程?得特解形式上页 下页 铃结束返回首页二,f(x)=e?x[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型二阶常系数非齐次线性微分方程
y+py?+qy?e?x[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]
有形如
y*?xke?x[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx]
的特解? 其中 R(1)m(x),R(2)m(x)是 m次多项式? m?max{l? n}? 而 k
按?+iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取 0或 1?
下页
>>>
结论上页 下页 铃结束返回首页解结束例 3 求微分方程 y+y?xcos2x的一个特解?
因为 f(x)?e?x[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]?xcos2x+iw?2i不是特征方程的根?所以所给方程的特解应设为齐次方程 y+y?0的特征方程为 r2+1?0?
把它代入所给方程?得
y*?(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x?
(?3ax?3b+4c)cos2x?(3cx+4a+3d)sin2x?xcos2x?
比较两端同类项的系数? 得 31a? b? 0? c? 0? 94?d?
因 此 所 给 方 程 的 特解为 xxxy 2s i n942c o s31* +
>>>
比较两端同类项的系数? 得 31a? b? 0? c? 0? 94?d?
>>>
特解形式
