一、线性方程二、伯努利方程
§ 12.4 一阶线性微分方程上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、线性方程形如 yP(x)y?Q(x)的方程称为一阶线性微分方程? 并且当
Q(x)恒为零时称为齐次线性方程? Q(x)不恒为零时称为非齐次线性方程?
一阶线性微分方程考察下列方程是否是 (或能否化为 )线性方程？
是非齐次线性方程y3x2?5x?
是非齐次线性方程?
(2)3x2?5x?5y0?
(3)yycos x?e?sin x?
( 4 ) yxdxdy 10? 不 是 线 性 方 程?
( 1 ) ydxdyx )2( 021 yxdxdy? 是 齐 次 线 性 方 程? ( 1 ) ydxdyx )2( 021 yxdxdy? 是 齐 次 线 性 方 程? ( 1 ) ydxdyx )2( 021 yxdxdy? 是 齐 次 线 性 方 程?
( 4 ) yxdxdy 10? 不 是 线 性 方 程?
下页上页 下页 铃结束返回首页一、线性方程形如 yP(x)y?Q(x)的方程称为一阶线性微分方程? 并且当
Q(x)恒为零时称为齐次线性方程? Q(x)不恒为零时称为非齐次线性方程?
一阶线性微分方程
齐次线性方程的通解齐次线性方程 yP(x)y?0是变量可分离方程?其通解为
dxxPCey )(?
提示?
dxxPydy )( ||ln)(||ln CdxxPy dxxPCey )( dxxPydy )( ||ln)(||ln CdxxPy dxxPCey )( dxxPydy )( ||ln)(||ln CdxxPy dxxPCey )(?
上页 下页 铃结束返回首页
齐次线性方程的通解例 1 求方程 ydxdyx )2( 的通解?
解 原方程可变为
021 yxdxdy?
这是齐次线性方程?由通解公式得原方程的通解为
)2()2ln (2
1
xCCeCey xdxx?
即 y?C(x?2)?
)2()2ln (2
1
xCCeCey xdxx? )2(ln (
1
xCeCey xx?
齐次线性方程 y P ( x ) y? 0 的通解 为 dxxPCey )(?
上页 下页 铃结束返回首页提示?这里所用的方法称为常数变易法?这种方法就是把齐次线性方程的通解中的任意常数 C换成末知函数 u(x)?然后代入非齐次线性方程并确定出函数 u(x)?
提示
)()()()()()( )()()( xQexuxPxPexuexu dxxPdxxPdxxP
代入后得到
非齐次线性方程的通解代入非齐次线性方程求得下页
齐次线性方程的通解设非齐次线性方程 yP(x)y?Q(x)的通解为
dxxPexuy )()(?
dxxPexQxu )()()(?
齐次线性方程 y P ( x ) y? 0 的通解 为 dxxPCey )(?
上页 下页 铃结束返回首页于是非齐次线性方程的通解为下页
非齐次线性方程的通解代入非齐次线性方程求得
齐次线性方程的通解设非齐次线性方程 yP(x)y?Q(x)的通解为
dxxPexuy )()(?
dxxPexQxu )()()(?
积分得
CdxexQxu dxxP )()()(?
])([ )()( CdxexQey dxxPdxxP
齐次线性方程 y P ( x ) y? 0 的通解 为 dxxPCey )(?
上页 下页 铃结束返回首页注?
非齐次线性方程的通解也可为上式表明?非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和?
下页
非齐次线性方程的通解
齐次线性方程的通解非齐次线性方程 yP(x)y?Q(x)的通解为
])([ )()( CdxexQey dxxPdxxP
齐次线性方程 y P ( x ) y? 0 的通解 为 dxxPCey )(?
dxexQeCey dxxPdxxPdxxP )()()( )(?
上页 下页 铃结束返回首页解 这 里 12)( xxP 25)1()( xxQ?
解下页由通解公式得非齐次线性方程 yP(x)y?Q(x)的通解为
])([ )()( CdxexQey dxxPdxxP
例 2 求方程 2
5
)1(12 xx ydxdy 的通解?
])1([ 1
2
2
5
1
2
Cdxexey dxxdxx
])1()1([)1( 22
52
Cdxxxx ])1(32[)1( 2
32
Cxx ])1()1([)1( 22
52
Cdxxxx ])1(32[)1( 2
32
Cxx
即 ])1(32[)1( 2
32
Cxxy
上页 下页 铃结束返回首页将初始条件 0| 0ti 代入通解 得 222 LR LEC m
)c o ss i n()( 222222 tLtRLR EeLR LEti mtLRm
tLRm CetLtR
LR
E
)c o ss i n(222
)s i n()( CdtetLEeti dtLRmdtLR
tLEiLRdtdi m?s in
例 3 有一个电路如图所示其中电源电动势为 E?Emsin?t
(Em,?都是常数 )电阻 R和电感 L都是常量?求电流 i(t)?
根据电学原理得微分方程 >>>解由通解公式得初始条件为 i|t?0?0
因此首页上页 下页 铃结束返回首页二、伯努利方程
伯努利方程下页
( 2 ) 5xyydxdy 5xyydxdy 是 伯努利方程?
( 3 ) xyyxy 11 xyyxy? 是 伯努利方程?
( 1 ) 4)21(3131 yxydxdy 是 伯努利方程?
( 4 ) xxydxdy 42 是 线 性 方 程? 不 是 伯努利方程?
( 1 ) 4)21(3131 yxydxdy 是 伯努利方程?
( 2 ) 5xyydxdy 5xyydxdy 是 伯努利方程? ( 2 ) 5xyydxdy 5xyydxdy 是 伯努利方程?
( 3 ) xyyxy 11 xyyxy? 是 伯努利方程? ( 3 ) xyyxy 11 xyyxy? 是 伯努利方程?
( 4 ) xxydxdy 42 是 线 性 方 程? 不 是 伯努利方程?
形如 yP(x)y?Q(x)yn(n?0?1)的方程叫做伯努利方程?
考察下列方程是否是 (或能否化为 )伯努利方程？
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伯努利方程形如 yP(x)y?Q(x)yn(n?0?1)的方程叫做伯努利方程?
伯努利方程 yP(x)y?Q(x)yn可化为线性方程?
伯努利方程的解法
)()1()()1()( 11 xQnyxPndxyd nn
或 )()1()()1( xQnzxPndxdz ( 其 中 z? y 1? n )?
上页 下页 铃结束返回首页解下页例 4 求方程 2)( l n yxaxydxdy 的通解?
原方程可化为
xayxdxdyy ln1 12 或 xayxdxyd ln1)( 11 xayxdxdyy ln1 12 或 xayxdxyd ln1)( 11
由非齐次线性方程的通解公式?得
])ln([
11
1 Cdxexaey dxxdxx
)ln2()1ln( 2 xaCxCdxxxax
即原方程的通解为
1])( ln2[ 2 xaCyx?
)ln2()1ln( 2 xaCxCdxxxax
上页 下页 铃结束返回首页说明? 所给方程可变形为一阶线性方程?
yxdydx
虽然按一阶线性方程的解法可求得通解?但这里用变量代换来解所给方程?
下页经过变量代换? 某些方程可以化为变量可分离的方程? 或化为已知其求解方法的方程?
例 5 解方程 yxdxdy 1?
解上页 下页 铃结束返回首页令 x?y?u则原方程化为
udx
du 11即
u
u
dx
du 1
以 u?x?y代入上式得原方程的通解
u
11 即
u
u
dx
du 1
结束解经过变量代换? 某些方程可以化为变量可分离的方程? 或化为已知其求解方法的方程?
例 5 解方程 yxdxdy 1?
分离变量? 得 dxduu u 1?
两端积分得 u?ln|u?1|?x?ln|C|?
y?ln|x?y?1|ln|C|? 或 x?Cey?y?1?
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Q(x)恒为零时称为齐次线性方程? Q(x)不恒为零时称为非齐次线性方程?
一阶线性微分方程考察下列方程是否是 (或能否化为 )线性方程？
是非齐次线性方程y3x2?5x?
是非齐次线性方程?
(2)3x2?5x?5y0?
(3)yycos x?e?sin x?
( 4 ) yxdxdy 10? 不 是 线 性 方 程?
( 1 ) ydxdyx )2( 021 yxdxdy? 是 齐 次 线 性 方 程? ( 1 ) ydxdyx )2( 021 yxdxdy? 是 齐 次 线 性 方 程? ( 1 ) ydxdyx )2( 021 yxdxdy? 是 齐 次 线 性 方 程?
( 4 ) yxdxdy 10? 不 是 线 性 方 程?
下页上页 下页 铃结束返回首页一、线性方程形如 yP(x)y?Q(x)的方程称为一阶线性微分方程? 并且当
Q(x)恒为零时称为齐次线性方程? Q(x)不恒为零时称为非齐次线性方程?
一阶线性微分方程
齐次线性方程的通解齐次线性方程 yP(x)y?0是变量可分离方程?其通解为
dxxPCey )(?
提示?
dxxPydy )( ||ln)(||ln CdxxPy dxxPCey )( dxxPydy )( ||ln)(||ln CdxxPy dxxPCey )( dxxPydy )( ||ln)(||ln CdxxPy dxxPCey )(?
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齐次线性方程的通解例 1 求方程 ydxdyx )2( 的通解?
解 原方程可变为
021 yxdxdy?
这是齐次线性方程?由通解公式得原方程的通解为
)2()2ln (2
1
xCCeCey xdxx?
即 y?C(x?2)?
)2()2ln (2
1
xCCeCey xdxx? )2(ln (
1
xCeCey xx?
齐次线性方程 y P ( x ) y? 0 的通解 为 dxxPCey )(?
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提示
)()()()()()( )()()( xQexuxPxPexuexu dxxPdxxPdxxP
代入后得到
非齐次线性方程的通解代入非齐次线性方程求得下页
齐次线性方程的通解设非齐次线性方程 yP(x)y?Q(x)的通解为
dxxPexuy )()(?
dxxPexQxu )()()(?
齐次线性方程 y P ( x ) y? 0 的通解 为 dxxPCey )(?
上页 下页 铃结束返回首页于是非齐次线性方程的通解为下页
非齐次线性方程的通解代入非齐次线性方程求得
齐次线性方程的通解设非齐次线性方程 yP(x)y?Q(x)的通解为
dxxPexuy )()(?
dxxPexQxu )()()(?
积分得
CdxexQxu dxxP )()()(?
])([ )()( CdxexQey dxxPdxxP
齐次线性方程 y P ( x ) y? 0 的通解 为 dxxPCey )(?
上页 下页 铃结束返回首页注?
非齐次线性方程的通解也可为上式表明?非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和?
下页
非齐次线性方程的通解
齐次线性方程的通解非齐次线性方程 yP(x)y?Q(x)的通解为
])([ )()( CdxexQey dxxPdxxP
齐次线性方程 y P ( x ) y? 0 的通解 为 dxxPCey )(?
dxexQeCey dxxPdxxPdxxP )()()( )(?
上页 下页 铃结束返回首页解 这 里 12)( xxP 25)1()( xxQ?
解下页由通解公式得非齐次线性方程 yP(x)y?Q(x)的通解为
])([ )()( CdxexQey dxxPdxxP
例 2 求方程 2
5
)1(12 xx ydxdy 的通解?
])1([ 1
2
2
5
1
2
Cdxexey dxxdxx
])1()1([)1( 22
52
Cdxxxx ])1(32[)1( 2
32
Cxx ])1()1([)1( 22
52
Cdxxxx ])1(32[)1( 2
32
Cxx
即 ])1(32[)1( 2
32
Cxxy
上页 下页 铃结束返回首页将初始条件 0| 0ti 代入通解 得 222 LR LEC m
)c o ss i n()( 222222 tLtRLR EeLR LEti mtLRm
tLRm CetLtR
LR
E
)c o ss i n(222
)s i n()( CdtetLEeti dtLRmdtLR
tLEiLRdtdi m?s in
例 3 有一个电路如图所示其中电源电动势为 E?Emsin?t
(Em,?都是常数 )电阻 R和电感 L都是常量?求电流 i(t)?
根据电学原理得微分方程 >>>解由通解公式得初始条件为 i|t?0?0
因此首页上页 下页 铃结束返回首页二、伯努利方程
伯努利方程下页
( 2 ) 5xyydxdy 5xyydxdy 是 伯努利方程?
( 3 ) xyyxy 11 xyyxy? 是 伯努利方程?
( 1 ) 4)21(3131 yxydxdy 是 伯努利方程?
( 4 ) xxydxdy 42 是 线 性 方 程? 不 是 伯努利方程?
( 1 ) 4)21(3131 yxydxdy 是 伯努利方程?
( 2 ) 5xyydxdy 5xyydxdy 是 伯努利方程? ( 2 ) 5xyydxdy 5xyydxdy 是 伯努利方程?
( 3 ) xyyxy 11 xyyxy? 是 伯努利方程? ( 3 ) xyyxy 11 xyyxy? 是 伯努利方程?
( 4 ) xxydxdy 42 是 线 性 方 程? 不 是 伯努利方程?
形如 yP(x)y?Q(x)yn(n?0?1)的方程叫做伯努利方程?
考察下列方程是否是 (或能否化为 )伯努利方程？
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伯努利方程形如 yP(x)y?Q(x)yn(n?0?1)的方程叫做伯努利方程?
伯努利方程 yP(x)y?Q(x)yn可化为线性方程?
伯努利方程的解法
)()1()()1()( 11 xQnyxPndxyd nn
或 )()1()()1( xQnzxPndxdz ( 其 中 z? y 1? n )?
上页 下页 铃结束返回首页解下页例 4 求方程 2)( l n yxaxydxdy 的通解?
原方程可化为
xayxdxdyy ln1 12 或 xayxdxyd ln1)( 11 xayxdxdyy ln1 12 或 xayxdxyd ln1)( 11
由非齐次线性方程的通解公式?得
])ln([
11
1 Cdxexaey dxxdxx
)ln2()1ln( 2 xaCxCdxxxax
即原方程的通解为
1])( ln2[ 2 xaCyx?
)ln2()1ln( 2 xaCxCdxxxax
上页 下页 铃结束返回首页说明? 所给方程可变形为一阶线性方程?
yxdydx
虽然按一阶线性方程的解法可求得通解?但这里用变量代换来解所给方程?
下页经过变量代换? 某些方程可以化为变量可分离的方程? 或化为已知其求解方法的方程?
例 5 解方程 yxdxdy 1?
解上页 下页 铃结束返回首页令 x?y?u则原方程化为
udx
du 11即
u
u
dx
du 1
以 u?x?y代入上式得原方程的通解
u
11 即
u
u
dx
du 1
结束解经过变量代换? 某些方程可以化为变量可分离的方程? 或化为已知其求解方法的方程?
例 5 解方程 yxdxdy 1?
分离变量? 得 dxduu u 1?
两端积分得 u?ln|u?1|?x?ln|C|?
y?ln|x?y?1|ln|C|? 或 x?Cey?y?1?
