§ 12.2 可分离变量的微分方程一阶微分方程有时也写成如下对称形式?
P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0
在这种方程中? 变量 x与 y是对称的?
如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dy?f(x)dx
的形式? 那么原方程就称为可分离变量的微分方程?
上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页微分方程 分离变量 是否可分离变量
y2xy
3x2?5x?y0
(x2?y2)dx?xydy=0
y1?x?y2?xy2
y10x?y
如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dy?f(x)dx (或写成 y(x)?(y))
的形式?那么原方程就称为可分离变量的微分方程?
可分离变量的微分方程下页讨论?
x
y
y
xy
是不是不是是是是
y?1dy?2xdx
dy?(3x2?5x)dx
y(1?x)(1?y2)
10?ydy?10xdx
————
————
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可分离变量的微分方程的解法
两端积分?
方程 G(y)?F(x)?C? y?F(x)或 x?Y(y)都是方程的通解? 其中
G(y)?F(x)?C称为隐式 (通 )解?
求显式解? 求方程由 G(y)?F(x)?C所确定的隐函数
y?F(x)或 x?Y(y)?
下页如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dy?f(x)dx (或写成 y(x)?(y))
的形式?那么原方程就称为可分离变量的微分方程?
可分离变量的微分方程
分离变量? 将方程写成 g(y)dy?f(x)dx的形式?
dxxfdyyg )()(? 设积分后得 G ( y )? F ( x )? C dxxfdyyg ))(? 设积分后得 G ( y )? F ( x )? C?
上页 下页 铃结束返回首页注?
离变量得解 这是一个可分离变量的微分方程?
两边积分得下页例 1 求微分方程 xydxdy 2? 的通解?
x d xdyy 21
x d xdyy 21?
即 ln|y|?x2?C1? ln|y|?x2?lnC?
从而 2xCey 从而 221 xxC Ceeey
其 中 1CeC 为 任 意 常 数?
加常数的另一方法?
上页 下页 铃结束返回首页根据题意?得 微分方程解例 2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量 M成正比?
已知 t?0时铀的含量为 M0?求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t
变化的规律?
初始条件为 M|t?0?M0?
MdtdM (? 是 正 常数 )?
dtMdM
将方程分离变量?得两边积分?得
dtMdM )(
由初始条件?得 M0?Ce0?C?
所以铀含量 M(t)随时间 t变化的规律 M?M0et?
即 lnMt?lnC?
也即 M?Cet?
下页上页 下页 铃结束返回首页提示?
降落伞所受外力为 F?mg?kv(k为比例系数 )?
牛顿第二运动定律 F?ma?
设降落伞下落速度为
v(t)?


0| 0tv
kvmg
dt
dvm

解下页例 3 设降落伞从跳伞塔下落后? 所受空气阻力与速度成正比? 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零? 求降落伞下落速度与时间的函数关系?
根据题意得初值问题上页 下页 铃结束返回首页将方程分离变量得
m
dt
kvmg
dv?

两边积分得将初始条件 v|t?0?0代入上式得
k
mgC
于是降落伞下落速度与时间的函数关系为结束


0| 0tv
kvmg
dt
dvm

例 3 设降落伞从跳伞塔下落后? 所受空气阻力与速度成正比? 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零? 求降落伞下落速度与时间的函数关系?
mdtkvmg dv?
即 1)ln (1 Cmtkvmgk
或 tm
k
Cekmgv ( keC kC 1 )?
)1( tm
k
ekmgv
设降落伞下落速度为
v(t)?
解根据题意得初值问题