一、近似计算二、欧拉公式
§ 11.5 函数的幂级数展开式的应用上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页
2?9926?
一、近似计算例 1 计算 5 240 的近似值? 要求误差不超过 0? 0001? 例 1
5/1
4
55 )
3
11(332 4 32 4 0
) 3 1!35 94131!25 4131511(3 123824
解于是 9926.2)31511(3240 45
) 3 1!45 149413 1!35 94131!25 41(3|| 164123822r
20000
1] )
81
1(
81
11[
3
1
!25
413 2
82
5/1
4
55 )
3
11(334 32 4 0
20000
1] )
81
1(
81
11[
3
1
!25
413 2
82
如果取前二项作为 所求值的近似值,则误差为下页上页 下页 铃结束返回首页解例 2 计算 ln2的近似值? 要求误差不超过 0?0001?
)11( 1)1( 432)1l n ( 1432 xnxxxxxx nn?
)11( 432)1l n ( 432 xxxxxx?
)1l n ()1l n (11ln xxxx )11( ) 5131(2 53 xxxx?
已知两式相减得提示,这个幂级数收敛速度较慢?用于求 ln2较困难?
因此需要寻找 收敛速度较快的幂级数?
下页上页 下页 铃结束返回首页
)1l n ()1l n (11ln xxxx )11( ) 5131(2 53 xxxx?
以 31?x 代入 得 ) 31713151313131(22ln 753
如果取前四项作为 ln2的近似值,则误差为
700000
1] )
9
1(
9
11[
3
2 2
11
) 3 11313 11113191(2|| 131194r
于是 6 9 3 1.0)31713151313131(22ln 753
700000
1] )
9
1(
9
11[
3
2 2
11
于是 6 9 3 1.0)3173151313131(22ln 753
下页解例 2 计算 ln2的近似值? 要求误差不超过 0?0001?
已知上页 下页 铃结束返回首页例 3 利用 3!31s i n xxx 求 s i n?9 的近似值? 并估计误差?
例 3
解
91809 20 ( 弧度 )?
在 s i n x 的幂级数展开式中令 20x,得
)20(!71)20(!51)20(!312020s i n 753
其误差为
3 0 0 0 0 0
1)2.0(
1 2 0
1)
20(!5
1|| 55
2
r?
3)
20(!3
1
2020s in
0?15643?
取前两项得
3)
20(!3
1
2020s in
0?15643?
3 0 0 0 0 0
1)2.0(
1 2 0
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1| 55
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1 2 0
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1|| 55
2
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下页上页 下页 铃结束返回首页将被积函数换成其幂级数展开式得解
dxnxdxe n
n
nx ]
!)1([
22 21
0
2
0
2
1
0
2
) !372 1!252 132 11(1 642
前四项的和作为近似值?其误差为
9 0 0 0 0
1
!492
11||
84r?
5 2 9 5.0)!372 1!252 132 11(12 6422
1
0
2?
dxe
x?
所以
dxnxdxe n
n
nx ]
!)1([
22 21
0
2
0
2
1
0
2
9 0 0 0 0
1
!492
1||
84r?
5 2 9 5.0)!372 1!252 132 11(12 6422
1
0
2?
dxe
x?
例 4 求 积分 dxe x2
1
0
22
的近似值 ( 误差不超
410? )?
下页上页 下页 铃结束返回首页例 5 求 积分 dxx x? 10 s i n 的近似值 ( 误差不超 410? )?
展开被积函数?有解
)( !7!5!31s i n 642 xxxxx x?
在区间 [0?1]上逐项积分?得
!77 1!55 1!33 11s i n10 dxx x?
因为第四项
30000
1
!77
1?
所以取前三项的和作为积分的近似值,
9 4 6 1.0!55 1!33 11s in10 dxx x?
首页上页 下页 铃结束返回首页二、欧拉公式
复数项级数设有复数项级数 ∑(un?ivn)? 其中 un? vn(n?1? 2? 3)为实常数或实函数?
如果实部所成的级数 ∑un收敛于和 u? 并且虚部所成的级数 ∑vn收敛于和 v?就说复数项级数收敛且和为 u?iv?
如果级 ∑(un?ivn)的各项的模所构成的级数 ∑|un?ivn|收敛?
则称级数 ∑(un?ivn)绝对收敛?
绝对收敛下页上页 下页 铃结束返回首页
复变量指数函数考察复数项级数
!1 !211 2 nznzz?
可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的? 在 x轴上它表示指数函数 ex? 在复平面上我们用它来定义复变量指数函数? 记为
ez?即
!1 !211 2 nz znzze?
下页上页 下页 铃结束返回首页
!1 !211 2 nz znzze?
欧拉公式当 x?0时? z?iy?
)(!1 )(!211 2 niy iyniyiye
!51!41!31!211 5432 yiyyiyiy
) !51!31() !41!211( 5342 yyyiyy
cos y?isin y?
于是这就是欧拉公式? 把 y换成 x得 eix?cos x?isin x?
下页
复变量指数函数上页 下页 铃结束返回首页
eix?cos x?isin x?
其中 r?|z|是 z的模? q?arg z是 z的辐角?
复数的指数形式复数 z可以表示为
z?r(cos q?isin q)?reiq?
下页
欧拉公式
!1 !211 2 nz znzze?
复变量指数函数上页 下页 铃结束返回首页
三角函数与复变量指数函数之间的联系
)(21c o s ixix eex,)(21s i n ixix eeix
因为 eix?cos x?i sin x? e?ix?cos x?i sin x? 所以
eix+e?ix?2cos x? ex?e?ix?2isin x?
因此
复变量指数函数的性质特殊地? 有
2121 zzzz eee
ex?iy?exei y?ex(cos y?isin y)?
结束
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2?9926?
一、近似计算例 1 计算 5 240 的近似值? 要求误差不超过 0? 0001? 例 1
5/1
4
55 )
3
11(332 4 32 4 0
) 3 1!35 94131!25 4131511(3 123824
解于是 9926.2)31511(3240 45
) 3 1!45 149413 1!35 94131!25 41(3|| 164123822r
20000
1] )
81
1(
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3
1
!25
413 2
82
5/1
4
55 )
3
11(334 32 4 0
20000
1] )
81
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81
11[
3
1
!25
413 2
82
如果取前二项作为 所求值的近似值,则误差为下页上页 下页 铃结束返回首页解例 2 计算 ln2的近似值? 要求误差不超过 0?0001?
)11( 1)1( 432)1l n ( 1432 xnxxxxxx nn?
)11( 432)1l n ( 432 xxxxxx?
)1l n ()1l n (11ln xxxx )11( ) 5131(2 53 xxxx?
已知两式相减得提示,这个幂级数收敛速度较慢?用于求 ln2较困难?
因此需要寻找 收敛速度较快的幂级数?
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)1l n ()1l n (11ln xxxx )11( ) 5131(2 53 xxxx?
以 31?x 代入 得 ) 31713151313131(22ln 753
如果取前四项作为 ln2的近似值,则误差为
700000
1] )
9
1(
9
11[
3
2 2
11
) 3 11313 11113191(2|| 131194r
于是 6 9 3 1.0)31713151313131(22ln 753
700000
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2 2
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于是 6 9 3 1.0)3173151313131(22ln 753
下页解例 2 计算 ln2的近似值? 要求误差不超过 0?0001?
已知上页 下页 铃结束返回首页例 3 利用 3!31s i n xxx 求 s i n?9 的近似值? 并估计误差?
例 3
解
91809 20 ( 弧度 )?
在 s i n x 的幂级数展开式中令 20x,得
)20(!71)20(!51)20(!312020s i n 753
其误差为
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下页上页 下页 铃结束返回首页将被积函数换成其幂级数展开式得解
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22 21
0
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0
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) !372 1!252 132 11(1 642
前四项的和作为近似值?其误差为
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1
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11||
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例 4 求 积分 dxe x2
1
0
22
的近似值 ( 误差不超
410? )?
下页上页 下页 铃结束返回首页例 5 求 积分 dxx x? 10 s i n 的近似值 ( 误差不超 410? )?
展开被积函数?有解
)( !7!5!31s i n 642 xxxxx x?
在区间 [0?1]上逐项积分?得
!77 1!55 1!33 11s i n10 dxx x?
因为第四项
30000
1
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1?
所以取前三项的和作为积分的近似值,
9 4 6 1.0!55 1!33 11s in10 dxx x?
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复数项级数设有复数项级数 ∑(un?ivn)? 其中 un? vn(n?1? 2? 3)为实常数或实函数?
如果实部所成的级数 ∑un收敛于和 u? 并且虚部所成的级数 ∑vn收敛于和 v?就说复数项级数收敛且和为 u?iv?
如果级 ∑(un?ivn)的各项的模所构成的级数 ∑|un?ivn|收敛?
则称级数 ∑(un?ivn)绝对收敛?
绝对收敛下页上页 下页 铃结束返回首页
复变量指数函数考察复数项级数
!1 !211 2 nznzz?
可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的? 在 x轴上它表示指数函数 ex? 在复平面上我们用它来定义复变量指数函数? 记为
ez?即
!1 !211 2 nz znzze?
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!1 !211 2 nz znzze?
欧拉公式当 x?0时? z?iy?
)(!1 )(!211 2 niy iyniyiye
!51!41!31!211 5432 yiyyiyiy
) !51!31() !41!211( 5342 yyyiyy
cos y?isin y?
于是这就是欧拉公式? 把 y换成 x得 eix?cos x?isin x?
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eix?cos x?isin x?
其中 r?|z|是 z的模? q?arg z是 z的辐角?
复数的指数形式复数 z可以表示为
z?r(cos q?isin q)?reiq?
下页
欧拉公式
!1 !211 2 nz znzze?
复变量指数函数上页 下页 铃结束返回首页
三角函数与复变量指数函数之间的联系
)(21c o s ixix eex,)(21s i n ixix eeix
因为 eix?cos x?i sin x? e?ix?cos x?i sin x? 所以
eix+e?ix?2cos x? ex?e?ix?2isin x?
因此
复变量指数函数的性质特殊地? 有
2121 zzzz eee
ex?iy?exei y?ex(cos y?isin y)?
结束
