§ 12.1 微分方程的基本概念在许多问题中,往往不能直接找出所需要的函数关系,但是根据问题所提供的情况,有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式,这样的关系就是所谓微分方程,微分方程建立以后,对它进行研究,
找出未知函数来,这就是解微分方程,
本节通过几个具体的例题来说明微分方程的基本概念,
上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页设所求曲线的方程为 y?y(x),则例 1 一曲线通过点 (1,2),且在该曲线上任一点 M(x,y)处的切线的斜率为 2x,求这曲线的方程,
解下页
xdxdy 2?,
上式两端积分,得因为曲线通过点 (1,2),即当 x?1时,y?2,所以
2?12?C,C=1.
因此,所求曲线方程为 y?x2?1.
x d xy 2,即 y?x 2?C (其中 C 是任意常数 ), x d xy 2,即 y? x 2? C ( 其中 C 是任意常数 ),
说明?
当 x?1时,y?2可 简记为 y|x?1?2.
上页 下页 铃结束返回首页例 2 列车在平直线路上以 20m/s的速度行驶 ; 当制动时列车获得加速度?0.4m/s2,问开始制动后多少时间列车才能停住,
以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
解下页设列车在开始制动后 t秒时行驶了 s米,则
s0.4,s?|t?0?20.s|t?0?0,
把等式 s0.4两端积分一次,得 s0.4t?C1,
再积分一次,得 s0.2t2?C1t?C2 (C1,C2都是任意常数 ).
由 s?|t?0?20得 20?C1,
由 s|t?0?0得 0?C2,故 s0.2t2?20t.
故 s0.4t?20;
s0.2?502?20?50?500(m).
于是列车在制动阶段行驶的路程为令 s0,得 t?50(s).
上页 下页 铃结束返回首页说明?
未知函数是一元函数的微分方程,叫常微分方程,未知函数是多元函数的微分方程,叫偏微分方程,
说明在 例 1 和 例 2 中,xdxdy 2? 和 s 0,4 都 是 ( 常 ) 微 分 方 程,
几个基本概念下页
微分方程表示未知函数,未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫微分方程,
微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫微分方程的阶,
一般 n阶微分方程的形式 为
F(x,y,y?,,y(n) )?0或 y(n)?f(x,y,y?,,y(n?1) ).
一阶的 二阶的上页 下页 铃结束返回首页说明?
微分方程的解满足微分方程的函数叫做该微分方程的解,
确切地说,设函数 y(x)在区间 I上有 n阶连续导数,如果在区间 I上,
F[x,?(x),(x),,?(n) (x)]?0,
那么函数 y(x)就叫做微分方程 F(x,y,y?,,y(n) )?0在区间 I
上的解,
在 例 1 中,y? x 2? C 和 y? x 2? 1 都 方 程 xdxdy 2? 的 解,
在例 2中,方程 s0.4的解有
s0.2t2?C1t?C2,s0.2t2?20t?C2和 s0.2t2?20t.
下页上页 下页 铃结束返回首页说明?
微分方程的解满足微分方程的函数叫做该微分方程的解,
在 例 1 中,y? x 2? C 和 y? x 2? 1 都 方 程 xdxdy 2? 的 解,
在例 2中,方程 s0.4的解有
s0.2t2?C1t?C2,s0.2t2?20t?C2和 s0.2t2?20t.
通解如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解,
特解确定了通解中的任意常数以后,就得到微分方程的特解,
即不含任意常数的解叫特解,
通解通解特解特解什么解？
下页上页 下页 铃结束返回首页说明?
对于一阶微分方程,通常用于确定任意常数的条件是对于二阶微分方程,通常用于确定任意常数的条件是当 0xx? 时,0yy?,或 写 成 00 yy xx,
当 0xx? 时,0yy?,0yy,或 写 成 00 yy xx,00 yy xx,
当 0xx? 时,0yy?,或 写 成 00 yy xx,
当 0xx? 时,0yy?,0yy,或 写 成 00 yy xx,00 yy xx,
例 1是求方程 y?2x满足初始条件 y|x?1?2的解,
例 2是求方程 s0.4满足初始条件 s|t?0?0,s?|t?0?20的解,
下页
初始条件用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件,
上页 下页 铃结束返回首页 下页
初始条件用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件,
说明?
例 1 归 结 为 求 初 值 问 题
2|
2
1xy
xy ;
说明例 2 归 结 为 求 初 值 问 题
20|,0|
4.0
20 tt ss
s,
求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题,
初值问题微分方程的解的图形是一条曲线,叫做微分方程的积分曲线,
积分曲线上页 下页 铃结束返回首页例 3 验证?函数 x?C1cos kt?C2sin kt是微分方程
0222 xkdt xd
的解,
求所给函数的导数?解
ktkCktkCdtdx c o ss i n 21,
)s i nc o s(s i nc o s 212221222 ktCktCkktCkktCkdt xd,
将 22dt xd 及 x 的表达式代入所给方程,得
k2(C1cos kt?C2sin kt)?k2(C1cos kt?C2sin kt)?0.
这表明函数 x?C1cos kt?C2sin kt 满足所给方程,因此所给函数是所给方程的解,
)s i nc o s(s i nc o s 212221222 ktCktCkktCkktCkdt xd,
下页上页 下页 铃结束返回首页例 4 已知函数 x?C1cos kt?C2sin kt(k?0)是微分方程
0222 xkdt xd
的通解,求满足初始条件 x|t?0?A,x?|t?0?0的特解,
将条件 x|t?0?A代入 x?C1cos kt?C2sin kt,得解
C1?A.
将条件 x?|t?0?0代入 x?(t)kC1sin kt?kC2cos kt,得把 C1,C2的值代入 x?C1cos kt?C2sin kt中,就 得所求的特解为
x?Acos kt.
C2?0,
结束
找出未知函数来,这就是解微分方程,
本节通过几个具体的例题来说明微分方程的基本概念,
上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页设所求曲线的方程为 y?y(x),则例 1 一曲线通过点 (1,2),且在该曲线上任一点 M(x,y)处的切线的斜率为 2x,求这曲线的方程,
解下页
xdxdy 2?,
上式两端积分,得因为曲线通过点 (1,2),即当 x?1时,y?2,所以
2?12?C,C=1.
因此,所求曲线方程为 y?x2?1.
x d xy 2,即 y?x 2?C (其中 C 是任意常数 ), x d xy 2,即 y? x 2? C ( 其中 C 是任意常数 ),
说明?
当 x?1时,y?2可 简记为 y|x?1?2.
上页 下页 铃结束返回首页例 2 列车在平直线路上以 20m/s的速度行驶 ; 当制动时列车获得加速度?0.4m/s2,问开始制动后多少时间列车才能停住,
以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
解下页设列车在开始制动后 t秒时行驶了 s米,则
s0.4,s?|t?0?20.s|t?0?0,
把等式 s0.4两端积分一次,得 s0.4t?C1,
再积分一次,得 s0.2t2?C1t?C2 (C1,C2都是任意常数 ).
由 s?|t?0?20得 20?C1,
由 s|t?0?0得 0?C2,故 s0.2t2?20t.
故 s0.4t?20;
s0.2?502?20?50?500(m).
于是列车在制动阶段行驶的路程为令 s0,得 t?50(s).
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未知函数是一元函数的微分方程,叫常微分方程,未知函数是多元函数的微分方程,叫偏微分方程,
说明在 例 1 和 例 2 中,xdxdy 2? 和 s 0,4 都 是 ( 常 ) 微 分 方 程,
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微分方程表示未知函数,未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫微分方程,
微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫微分方程的阶,
一般 n阶微分方程的形式 为
F(x,y,y?,,y(n) )?0或 y(n)?f(x,y,y?,,y(n?1) ).
一阶的 二阶的上页 下页 铃结束返回首页说明?
微分方程的解满足微分方程的函数叫做该微分方程的解,
确切地说,设函数 y(x)在区间 I上有 n阶连续导数,如果在区间 I上,
F[x,?(x),(x),,?(n) (x)]?0,
那么函数 y(x)就叫做微分方程 F(x,y,y?,,y(n) )?0在区间 I
上的解,
在 例 1 中,y? x 2? C 和 y? x 2? 1 都 方 程 xdxdy 2? 的 解,
在例 2中,方程 s0.4的解有
s0.2t2?C1t?C2,s0.2t2?20t?C2和 s0.2t2?20t.
下页上页 下页 铃结束返回首页说明?
微分方程的解满足微分方程的函数叫做该微分方程的解,
在 例 1 中,y? x 2? C 和 y? x 2? 1 都 方 程 xdxdy 2? 的 解,
在例 2中,方程 s0.4的解有
s0.2t2?C1t?C2,s0.2t2?20t?C2和 s0.2t2?20t.
通解如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解,
特解确定了通解中的任意常数以后,就得到微分方程的特解,
即不含任意常数的解叫特解,
通解通解特解特解什么解？
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对于一阶微分方程,通常用于确定任意常数的条件是对于二阶微分方程,通常用于确定任意常数的条件是当 0xx? 时,0yy?,或 写 成 00 yy xx,
当 0xx? 时,0yy?,0yy,或 写 成 00 yy xx,00 yy xx,
当 0xx? 时,0yy?,或 写 成 00 yy xx,
当 0xx? 时,0yy?,0yy,或 写 成 00 yy xx,00 yy xx,
例 1是求方程 y?2x满足初始条件 y|x?1?2的解,
例 2是求方程 s0.4满足初始条件 s|t?0?0,s?|t?0?20的解,
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初始条件用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件,
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初始条件用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件,
说明?
例 1 归 结 为 求 初 值 问 题
2|
2
1xy
xy ;
说明例 2 归 结 为 求 初 值 问 题
20|,0|
4.0
20 tt ss
s,
求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题,
初值问题微分方程的解的图形是一条曲线,叫做微分方程的积分曲线,
积分曲线上页 下页 铃结束返回首页例 3 验证?函数 x?C1cos kt?C2sin kt是微分方程
0222 xkdt xd
的解,
求所给函数的导数?解
ktkCktkCdtdx c o ss i n 21,
)s i nc o s(s i nc o s 212221222 ktCktCkktCkktCkdt xd,
将 22dt xd 及 x 的表达式代入所给方程,得
k2(C1cos kt?C2sin kt)?k2(C1cos kt?C2sin kt)?0.
这表明函数 x?C1cos kt?C2sin kt 满足所给方程,因此所给函数是所给方程的解,
)s i nc o s(s i nc o s 212221222 ktCktCkktCkktCkdt xd,
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0222 xkdt xd
的通解,求满足初始条件 x|t?0?A,x?|t?0?0的特解,
将条件 x|t?0?A代入 x?C1cos kt?C2sin kt,得解
C1?A.
将条件 x?|t?0?0代入 x?(t)kC1sin kt?kC2cos kt,得把 C1,C2的值代入 x?C1cos kt?C2sin kt中,就 得所求的特解为
x?Acos kt.
C2?0,
结束
