§ 12.3 齐次方程上页 下页 铃结束返回首页如果一阶微分方程
),( yxfdxdy?
中的函数 f ( x,y ) 可写成 xy 的函数? 即 )(),( xyyxf
则称这方程为齐次方程?
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齐次方程例如下页如果一阶微分方程 ),( yxfdxdy? 中的函数 f ( x,y ) 可写成 xy 的函数? 即 )(),( xyyxf 则称这方程为齐次方程?
( 1 ) 022 xyyyx 是齐次方程?
( 2 ) 22 11 yyx 不是齐次方程?
(3)(x2?y2)dx?xydy?0是齐次方程?
(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齐次方程?
( 5 ) 0ch3)ch3sh2( dyxyxdxxyyxyx 是齐次方程?
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
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齐次方程的解法
变量代换?
分离变量?
两端积分?
还原变量?
下页
齐次方程如果一阶微分方程 ),( yxfdxdy? 中的函数 f ( x,y ) 可写成 xy 的函数? 即 )(),( xyyxf 则称这方程为齐次方程?
令 xyu 即 y? ux? 则 )( udxduxu
x
dx
uu
du?
)(
xdxuudu)(
求出积分后? 再用 xy 代替 u?
令 xyu 即 y? ux? 则 )( udxduxu
上页 下页 铃结束返回首页原方程可写成解
1
)( 2
2
2
x
y
x
y
xxy
y
dx
dy
令 uxy 即 y? ux则 得
1
2
u
u
dx
duxu
即 1 u udxdux?
分离变量?得
x
dxdu
u )
11(
两边积分?得
u?ln|u|?C?ln|x|?
或写成 ln|xu|?u?C?
以 xy 代上式中的 u 得
Cxyy||ln?
下页例 1 解方程 dxdyxydxdyxy 22?
上页 下页 铃结束返回首页设此凹镜是由 xOy面上曲线 L? y?y(x) (y>0) 绕 x轴旋转而成光源在原点? 提示? 在此变换下方程化为
12 vvdydvyv?
提示
Cyvv lnln)1l n ( 2
C
yvv 12
1)( 22 vvCy
解根据题意?得 齐次方程 >>>
令 vyx 即 x? y v 得
1)( 2 yxyxdydx?
分离变量?得
y
dy
v
dv?
12
两边积分并整理?得
12 vdydvy
1222 CyvCy?
下页例 2 有旋转曲面形状的凹镜? 假设由旋转轴上一点 O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行? 求这旋转曲面的方程?
上页 下页 铃结束返回首页以 yv?x代入上式?得
)2(22 CxCy
所求的旋转曲面方程为下页
)2(222 CxCzy
设此凹镜是由 xOy面上曲线 L? y?y(x) (y>0) 绕 x轴旋转而成光源在原点?
解根据题意?得 齐次方程 >>>
令 vyx 即 x? y v 得
1)( 2 yxyxdydx?
分离变量?得
y
dy
v
dv?
12
两边积分并整理?得
12 vdydvy
1222 CyvCy?
例 2 有旋转曲面形状的凹镜? 假设由旋转轴上一点 O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行? 求这旋转曲面的方程?
上页 下页 铃结束返回首页取 O为原点?河岸朝顺水方向为 x轴?y轴指向对岸?
提示?
解设在时刻 t 鸭子位于点 P(x?y)?
则 x和 y满足微分方程 >>>
dybyaudu 12
分离变量得y
x
y
x
b
a
dy
dx 1)( 2?
12 ubadyduy
令 uyx 即 x? y u 得分离变量且两边积分?得
)ln( l na r s h Cyabu
将 yxu? 代入上式并整理 得
])()[(2 1 11 baba CyCyCx
下页
>>>
例 3 设一条河的两岸为平行直线?水流速度为 a?有一鸭子从岸边点 A游向正对岸点 O?设鸭子的游速为 b(b>a)?且鸭子游动方向始终朝着点 O?已知 OA?h?求鸭子游过的迹线的方程?
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)ln( l na r s h Cyabu
])()[(2 1 11 baba CyCyCx
故鸭子游过的迹线方程为
])()[(2 11 baba hyhyhx 0? y? h?
结束将 yxu? 代入上式并整理 得以 x | y? h? 0 代入上式 得 hC 1
取 O为原点?河岸朝顺水方向为 x轴?y轴指向对岸?
解设在时刻 t 鸭子位于点 P(x?y)?
则 x和 y满足微分方程 >>>
y
x
y
x
b
a
dy
dx 1)( 2?
12 ubadyduy
令 uyx 即 x? y u 得分离变量且两边积分?得例 3 设一条河的两岸为平行直线?水流速度为 a?有一鸭子从岸边点 A游向正对岸点 O?设鸭子的游速为 b(b>a)?且鸭子游动方向始终朝着点 O?已知 OA?h?求鸭子游过的迹线的方程?
),( yxfdxdy?
中的函数 f ( x,y ) 可写成 xy 的函数? 即 )(),( xyyxf
则称这方程为齐次方程?
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齐次方程例如下页如果一阶微分方程 ),( yxfdxdy? 中的函数 f ( x,y ) 可写成 xy 的函数? 即 )(),( xyyxf 则称这方程为齐次方程?
( 1 ) 022 xyyyx 是齐次方程?
( 2 ) 22 11 yyx 不是齐次方程?
(3)(x2?y2)dx?xydy?0是齐次方程?
(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齐次方程?
( 5 ) 0ch3)ch3sh2( dyxyxdxxyyxyx 是齐次方程?
>>>
>>>
>>>
>>>
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齐次方程的解法
变量代换?
分离变量?
两端积分?
还原变量?
下页
齐次方程如果一阶微分方程 ),( yxfdxdy? 中的函数 f ( x,y ) 可写成 xy 的函数? 即 )(),( xyyxf 则称这方程为齐次方程?
令 xyu 即 y? ux? 则 )( udxduxu
x
dx
uu
du?
)(
xdxuudu)(
求出积分后? 再用 xy 代替 u?
令 xyu 即 y? ux? 则 )( udxduxu
上页 下页 铃结束返回首页原方程可写成解
1
)( 2
2
2
x
y
x
y
xxy
y
dx
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令 uxy 即 y? ux则 得
1
2
u
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即 1 u udxdux?
分离变量?得
x
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u )
11(
两边积分?得
u?ln|u|?C?ln|x|?
或写成 ln|xu|?u?C?
以 xy 代上式中的 u 得
Cxyy||ln?
下页例 1 解方程 dxdyxydxdyxy 22?
上页 下页 铃结束返回首页设此凹镜是由 xOy面上曲线 L? y?y(x) (y>0) 绕 x轴旋转而成光源在原点? 提示? 在此变换下方程化为
12 vvdydvyv?
提示
Cyvv lnln)1l n ( 2
C
yvv 12
1)( 22 vvCy
解根据题意?得 齐次方程 >>>
令 vyx 即 x? y v 得
1)( 2 yxyxdydx?
分离变量?得
y
dy
v
dv?
12
两边积分并整理?得
12 vdydvy
1222 CyvCy?
下页例 2 有旋转曲面形状的凹镜? 假设由旋转轴上一点 O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行? 求这旋转曲面的方程?
上页 下页 铃结束返回首页以 yv?x代入上式?得
)2(22 CxCy
所求的旋转曲面方程为下页
)2(222 CxCzy
设此凹镜是由 xOy面上曲线 L? y?y(x) (y>0) 绕 x轴旋转而成光源在原点?
解根据题意?得 齐次方程 >>>
令 vyx 即 x? y v 得
1)( 2 yxyxdydx?
分离变量?得
y
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12
两边积分并整理?得
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1222 CyvCy?
例 2 有旋转曲面形状的凹镜? 假设由旋转轴上一点 O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行? 求这旋转曲面的方程?
上页 下页 铃结束返回首页取 O为原点?河岸朝顺水方向为 x轴?y轴指向对岸?
提示?
解设在时刻 t 鸭子位于点 P(x?y)?
则 x和 y满足微分方程 >>>
dybyaudu 12
分离变量得y
x
y
x
b
a
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dx 1)( 2?
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令 uyx 即 x? y u 得分离变量且两边积分?得
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将 yxu? 代入上式并整理 得
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下页
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例 3 设一条河的两岸为平行直线?水流速度为 a?有一鸭子从岸边点 A游向正对岸点 O?设鸭子的游速为 b(b>a)?且鸭子游动方向始终朝着点 O?已知 OA?h?求鸭子游过的迹线的方程?
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)ln( l na r s h Cyabu
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故鸭子游过的迹线方程为
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结束将 yxu? 代入上式并整理 得以 x | y? h? 0 代入上式 得 hC 1
取 O为原点?河岸朝顺水方向为 x轴?y轴指向对岸?
解设在时刻 t 鸭子位于点 P(x?y)?
则 x和 y满足微分方程 >>>
y
x
y
x
b
a
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dx 1)( 2?
12 ubadyduy
令 uyx 即 x? y u 得分离变量且两边积分?得例 3 设一条河的两岸为平行直线?水流速度为 a?有一鸭子从岸边点 A游向正对岸点 O?设鸭子的游速为 b(b>a)?且鸭子游动方向始终朝着点 O?已知 OA?h?求鸭子游过的迹线的方程?
