§ 12.8 二阶常系数齐次线性微分方程上页 下页 铃结束返回首页方程 ypyqy?0称为二阶常系数齐次线性微分方程? 其中 p,q均为常数?
如果 y1,y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解? 那么 y?C1y1?C2y2
就是它的通解?
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二阶常系数齐次线性微分方程考虑到当 y,y?,y为同类函数时? 有可能使 ypyqy恒等于零?而函数 erx具有这种性质?所以猜想 erx是方程的解?
将 y?erx代入方程 ypyqy?0得
(r2?pr?q)erx?0?
由此可见? 只要 r满足代数方程 r2?pr?q?0? 函数 y?erx就是微分方程的解?
分析?
下页方程 ypyqy?0称为二阶常系数齐次线性微分方程? 其中 p,q均为常数?
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2
42
2,1
qppr
方程 r2?pr?q?0叫做微分方程 ypyqy?0的特征方程?
特征方程及其根特征方程的求根公式为下页
二阶常系数齐次线性微分方程方程 ypyqy?0称为二阶常系数齐次线性微分方程? 其中 p,q均为常数?
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xrxr eCeCy 21 21
特征方程的根与通解的关系有两个不相等的实根?r1,r2
方程 ypyqy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况简要证明?
下页这是因为函数 xre 1 和 xre 2 都是方程的解?
xrrxr xr eee )( 21
2
1 不是常数? 即 xre
1 与 xre 2 线性无关? xrrxr
xr e
e
e )( 21
2
1 不是常数? 即 xre
1 与 xre 2 线性无关?
上页 下页 铃结束返回首页
xrxr xeCeCy 11 21
有两个不相等的实根?r1,r2
有两个相等的实根?r1?r2
下页
特征方程的根与通解的关系方程 ypyqy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
xrxr eCeCy 21 21
简要证明? 这是因为
xrxrxrxrxrxr q x eexrpexrrxeqxepxe 111111 )1()2()()()( 1211
0)()2( 1211 11 qprrxepre xrxr?
即 xrxe 1 是方程的解?
xexe xr xr?
1
1 不是常数? 即 xre 1 与 xre 2 线性无关?
xrxrxrxrxrxr q x eexrpexrrxeqxepxe 111111 )1()2()()()( 1211
xexe xr xr?
1
1 不是常数? 即 xre 1 与 xre 2 线性无关?
上页 下页 铃结束返回首页有两个不相等的实根?r1,r2
有一对共轭复根?r1,2i? y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)
下页
特征方程的根与通解的关系方程 ypyqy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
xrxr eCeCy 21 21
有两个相等的实根?r1?r2
简要证明?
故 e?xcos?x和 e?xsin?x也是方程的解?
因为函数 y1?e(i?)x和 y2?e(i?)x都是方程的解?
而 )(21c o s 21 yyxe x )(21s i n 21 yyixe x
函数 e?xcos?x与 e?xsin?x的比值为 cot?x?不是常数?
故 e?xcos?x和 e?xsin?x是方程的线性无关解?
xrxr xeCeCy 11 21
>>>
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第一步 写出微分方程的特征方程
r2?pr?q?0?
第二步 求出特征方程的两个根 r1,r2?
第三步 根据特征方程的两个根的不同情况? 写出微分方程的通解?
求 ypyqy?0的通解的步骤?
下页有两个不相等的实根?r1,r2
有一对共轭复根?r1,2i? y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)
特征方程的根与通解的关系方程 ypyqy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
xrxr eCeCy 21 21
有两个相等的实根?r1?r2 xrxr xeCeCy
11 21
上页 下页 铃结束返回首页 下页有两个不相等的实根?r1,r2
有一对共轭复根?r1,2i? y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)
特征方程的根与通解的关系方程 ypyqy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
xrxr eCeCy 21 21
有两个相等的实根?r1?r2 xrxr xeCeCy
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因此微分方程的通解为 y?C1e?x?C2e3x?
例 1 求微分方程 y2y3y?0的通解?
解 微分方程的特征方程为
r2?2r?3?0?
特征方程有两个不相等的实根 r11?r2?3?
即 (r?1)(r?3)?0?
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有一对共轭复根?r1,2i? y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)
特征方程的根与通解的关系方程 ypyqy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
xrxr eCeCy 21 21
有两个相等的实根?r1?r2 xrxr xeCeCy
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特征方程有两个相等的实根 r1?r21?
例 2 求方程 y2yy?0的通解?
解 微分方程的特征方程为
r2?2r?1?0? 即 (r?1)2?0?
因此微分方程的通解为 y?C1e?x?C2xe?x?即 y?(C1?C2x)e?x?
上页 下页 铃结束返回首页 下页通解形式
r2?2r?5?0?
特征方程的根为 r1?1?2i?r2?1?2i?是一对共轭复根?
因此微分方程的通解为 y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?
例 3 求微分方程 y2y5y?0的通解?
有两个不相等的实根?r1,r2
有一对共轭复根?r1,2i? y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)
特征方程的根与通解的关系方程 ypyqy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
xrxr eCeCy 21 21
有两个相等的实根?r1?r2 xrxr xeCeCy
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解 微分方程的特征方程为上页 下页 铃结束返回首页
n阶常系数齐次线性微分方程下页方程 y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)pn?1ypny?0称为 n阶常系数齐次线性微分方程?其中 p1? p2 pn?1? pn都是常数?
引入微分算子 D及微分算子的 n次多项式
L(D)?Dn?p1Dn?1?p2 Dn?2 pn?1D?pn?
注?
D0y?y? Dy?yD2y?yD3y?y Dny?y(n)?
则 n阶常系数齐次线性微分方程可记作
(Dn?p1Dn?1?p2 Dn?2 pn?1D?pn)y?0或 L(D)y?0?
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n阶常系数齐次线性微分方程方程 y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)pn?1ypny?0称为 n阶常系数齐次线性微分方程?其中 p1? p2 pn?1? pn都是常数?
引入微分算子 D?则上述微分方程可记作
(Dn?p1Dn?1?p2 Dn?2 pn?1D?pn)y?0或 L(D)y?0?
因此如果 r是多项式 L(r)的根?则 y?erx是微分方程 L(D)y?0的解?
分析?
令 y?erx?则
L(D)y?L(D)erx
(rn?p1rn?1?p2 rn?2 pn?1r?pn)erx
L(r)erx?
L(r)?0称为微分方程 L(D)y?0的特征方程?
上页 下页 铃结束返回首页 下页
n阶常系数齐次线性微分方程方程 y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)pn?1ypny?0称为 n阶常系数齐次线性微分方程?其中 p1? p2 pn?1? pn都是常数?
特征方程的根与通解中项的对应引入微分算子 D?则上述微分方程可记作
(Dn?p1Dn?1?p2 Dn?2 pn?1D?pn)y?0或 L(D)y?0?
e?x[(C1?C2xCk xk?1)cos?x?(D1?D2xDkxk?1)sin?x]?
单实根 r对应于一项?
一对单复根 r1? 2i?对应于两项?
k重实根 r对应于 k项?
一 对 k重复根 r1?2i? 对应于 2k项?
erx(C1?C2xCkxk?1)?
e?x(C1cos?x?C2sin?x)?
Cerx?
上页 下页 铃结束返回首页 结束例 4 求方程 y(4)?2y5y0 的通解?
解 微分方程的特征方程为
r4?2r3?5r2?0? 即 r2(r2?2r?5)?0?
它的根是 r1?r2?0和 r3?4?1?2i? 因此微分方程的通解为
y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x)?
例 5 求方程 y(4) 4y?0的通解?其中0?
解 微分方程的特征方程为 r44?0? 其根为
)1(22,1 ir )1(24,3 ir )1(22,1 ir )1(24,3 ir
因此微分方程的通解为
)2s i n2c o s()2s i n2c o s( 432 212 xCxCexCxCey xx
>>>
>>>
如果 y1,y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解? 那么 y?C1y1?C2y2
就是它的通解?
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二阶常系数齐次线性微分方程考虑到当 y,y?,y为同类函数时? 有可能使 ypyqy恒等于零?而函数 erx具有这种性质?所以猜想 erx是方程的解?
将 y?erx代入方程 ypyqy?0得
(r2?pr?q)erx?0?
由此可见? 只要 r满足代数方程 r2?pr?q?0? 函数 y?erx就是微分方程的解?
分析?
下页方程 ypyqy?0称为二阶常系数齐次线性微分方程? 其中 p,q均为常数?
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2,1
qppr
方程 r2?pr?q?0叫做微分方程 ypyqy?0的特征方程?
特征方程及其根特征方程的求根公式为下页
二阶常系数齐次线性微分方程方程 ypyqy?0称为二阶常系数齐次线性微分方程? 其中 p,q均为常数?
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特征方程的根与通解的关系有两个不相等的实根?r1,r2
方程 ypyqy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况简要证明?
下页这是因为函数 xre 1 和 xre 2 都是方程的解?
xrrxr xr eee )( 21
2
1 不是常数? 即 xre
1 与 xre 2 线性无关? xrrxr
xr e
e
e )( 21
2
1 不是常数? 即 xre
1 与 xre 2 线性无关?
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有两个不相等的实根?r1,r2
有两个相等的实根?r1?r2
下页
特征方程的根与通解的关系方程 ypyqy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
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简要证明? 这是因为
xrxrxrxrxrxr q x eexrpexrrxeqxepxe 111111 )1()2()()()( 1211
0)()2( 1211 11 qprrxepre xrxr?
即 xrxe 1 是方程的解?
xexe xr xr?
1
1 不是常数? 即 xre 1 与 xre 2 线性无关?
xrxrxrxrxrxr q x eexrpexrrxeqxepxe 111111 )1()2()()()( 1211
xexe xr xr?
1
1 不是常数? 即 xre 1 与 xre 2 线性无关?
上页 下页 铃结束返回首页有两个不相等的实根?r1,r2
有一对共轭复根?r1,2i? y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)
下页
特征方程的根与通解的关系方程 ypyqy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
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有两个相等的实根?r1?r2
简要证明?
故 e?xcos?x和 e?xsin?x也是方程的解?
因为函数 y1?e(i?)x和 y2?e(i?)x都是方程的解?
而 )(21c o s 21 yyxe x )(21s i n 21 yyixe x
函数 e?xcos?x与 e?xsin?x的比值为 cot?x?不是常数?
故 e?xcos?x和 e?xsin?x是方程的线性无关解?
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第一步 写出微分方程的特征方程
r2?pr?q?0?
第二步 求出特征方程的两个根 r1,r2?
第三步 根据特征方程的两个根的不同情况? 写出微分方程的通解?
求 ypyqy?0的通解的步骤?
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有一对共轭复根?r1,2i? y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)
特征方程的根与通解的关系方程 ypyqy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
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有两个相等的实根?r1?r2 xrxr xeCeCy
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有一对共轭复根?r1,2i? y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)
特征方程的根与通解的关系方程 ypyqy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
xrxr eCeCy 21 21
有两个相等的实根?r1?r2 xrxr xeCeCy
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因此微分方程的通解为 y?C1e?x?C2e3x?
例 1 求微分方程 y2y3y?0的通解?
解 微分方程的特征方程为
r2?2r?3?0?
特征方程有两个不相等的实根 r11?r2?3?
即 (r?1)(r?3)?0?
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有一对共轭复根?r1,2i? y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)
特征方程的根与通解的关系方程 ypyqy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
xrxr eCeCy 21 21
有两个相等的实根?r1?r2 xrxr xeCeCy
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特征方程有两个相等的实根 r1?r21?
例 2 求方程 y2yy?0的通解?
解 微分方程的特征方程为
r2?2r?1?0? 即 (r?1)2?0?
因此微分方程的通解为 y?C1e?x?C2xe?x?即 y?(C1?C2x)e?x?
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r2?2r?5?0?
特征方程的根为 r1?1?2i?r2?1?2i?是一对共轭复根?
因此微分方程的通解为 y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?
例 3 求微分方程 y2y5y?0的通解?
有两个不相等的实根?r1,r2
有一对共轭复根?r1,2i? y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)
特征方程的根与通解的关系方程 ypyqy?0的通解方程 r2?pr?q?0的根的情况
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有两个相等的实根?r1?r2 xrxr xeCeCy
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解 微分方程的特征方程为上页 下页 铃结束返回首页
n阶常系数齐次线性微分方程下页方程 y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)pn?1ypny?0称为 n阶常系数齐次线性微分方程?其中 p1? p2 pn?1? pn都是常数?
引入微分算子 D及微分算子的 n次多项式
L(D)?Dn?p1Dn?1?p2 Dn?2 pn?1D?pn?
注?
D0y?y? Dy?yD2y?yD3y?y Dny?y(n)?
则 n阶常系数齐次线性微分方程可记作
(Dn?p1Dn?1?p2 Dn?2 pn?1D?pn)y?0或 L(D)y?0?
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n阶常系数齐次线性微分方程方程 y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)pn?1ypny?0称为 n阶常系数齐次线性微分方程?其中 p1? p2 pn?1? pn都是常数?
引入微分算子 D?则上述微分方程可记作
(Dn?p1Dn?1?p2 Dn?2 pn?1D?pn)y?0或 L(D)y?0?
因此如果 r是多项式 L(r)的根?则 y?erx是微分方程 L(D)y?0的解?
分析?
令 y?erx?则
L(D)y?L(D)erx
(rn?p1rn?1?p2 rn?2 pn?1r?pn)erx
L(r)erx?
L(r)?0称为微分方程 L(D)y?0的特征方程?
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n阶常系数齐次线性微分方程方程 y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)pn?1ypny?0称为 n阶常系数齐次线性微分方程?其中 p1? p2 pn?1? pn都是常数?
特征方程的根与通解中项的对应引入微分算子 D?则上述微分方程可记作
(Dn?p1Dn?1?p2 Dn?2 pn?1D?pn)y?0或 L(D)y?0?
e?x[(C1?C2xCk xk?1)cos?x?(D1?D2xDkxk?1)sin?x]?
单实根 r对应于一项?
一对单复根 r1? 2i?对应于两项?
k重实根 r对应于 k项?
一 对 k重复根 r1?2i? 对应于 2k项?
erx(C1?C2xCkxk?1)?
e?x(C1cos?x?C2sin?x)?
Cerx?
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解 微分方程的特征方程为
r4?2r3?5r2?0? 即 r2(r2?2r?5)?0?
它的根是 r1?r2?0和 r3?4?1?2i? 因此微分方程的通解为
y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x)?
例 5 求方程 y(4) 4y?0的通解?其中0?
解 微分方程的特征方程为 r44?0? 其根为
)1(22,1 ir )1(24,3 ir )1(22,1 ir )1(24,3 ir
因此微分方程的通解为
)2s i n2c o s()2s i n2c o s( 432 212 xCxCexCxCey xx
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