§ 12.11 微分方程的幂级数解法上页 下页 铃结束返回首页当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时? 我们就要寻求其它解法? 常用的有幂级数解法和数值解法? 本节我们简单地介绍微分方程的幂级数解法?
上页 下页 铃结束返回首页求 微分方程 ),( yxfdxdy? 满足初始条件 00| yy xx 的特解?
其中函数 f(x?y)是 (x?x0),(y?y0)的多项式?
f(x?y)?a00?a10(x?x0)?a01(y?y0)aim (x?x0)l(y?y0)m?
这时我们可以设所求特解可展开为 x?x0的幂级数?
y?y0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2an(x?x0)n
其中 a1? a2 an 是待定的系数? 把所设特解代入微分方程中? 便得一恒等式? 比较这恒等式两端 x?x0的同次幂的系数?就可定出常数 a1?a2 从而得到所求的特解?
幂级数解法基本思想上页 下页 铃结束返回首页解于是所求解的幂级数展开式的开始几项为下页例 1 求方程 yx?y2满足 y|x?0?0的特解?
这时 x0?0?y0?0?故设
y?a1x?a2x2?a3x3?a4x4
把 y及 y?的幂级数展开式代入原方程?得
a1?2a2x?3a3x2?4a4x3?5a5x4
x?(a1x?a2x2?a3x3?a4x4 )2
x?a12x2?2a1a2x3?(a22?2a1a3)x4
由此?比较恒等式两端 x的同次幂的系数?得
a 1? 0? 212?a? a 3? 0? a 4? 0? 2015?a
20121 52 xxy?
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定理如果方程
yP(x)yQ(x)y?0
中的系数 P(x)与 Q(x)可在?R<x<R内展开为 x的幂级数? 那么在
R<x<R内此方程必有形如
nn
n
xay
0
的解?
上页 下页 铃结束返回首页提示?
下页例 2 求方程 yxy?0的满足 y|x?0?0?y?|x?0?1的特解?
解 这里 P(x)?0?Q(x)x在整个数轴上满足定理的条件?
因此所求的解可在整个数轴上展开成 x的幂级数
ya1?2a2x?3a3x2?4a4x3nanxn?1
y?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4
y2a2x?3?2a3x?4?3a4x2n(n?1)anxn?2
把 y及 y代入方程 yxy?0?得
2a2?3?2a3x?(4?3a4?1)x2?(5?4a5?a2)x3?
(6?5a6?a3)x4[(n?2)(n?1)an?2?an?1]xn0?
由 y?|x?0?1?得由条件 y|x?0?0? 得 a0?0? a1?1?
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结束例 2 求方程 yxy?0的满足 y|x?0?0?y?|x?0?1的特解?
解 这里 P(x)?0?Q(x)x在整个数轴上满足定理的条件?
因此所求的解可在整个数轴上展开成 x的幂级数
y?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4
把 y及 y代入方程 yxy?0?得
2a2?3?2a3x?(4?3a4?1)x2?(5?4a5?a2)x3?
(6?5a6?a3)x4[(n?2)(n?1)an?2?an?1]xn0?
由 y?|x?0?1?得由条件 y|x?0?0? 得 a0?0? a1?1?
34
1
4a? 3467
1
7a? 3467910
1
10a
于是 a2?0?a3?0?a5?0?a6?0?a8?0?a9?0?
因 此 特解为 3467910 13467 134 1 1074 xxxxy?