§ 12.6 可降阶的高阶微分方程一,y(n)?f (x)型的微分方程二,yf(x,y?)型的微分方程三,yf(y,y?)型的微分方程上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一,y(n)?f (x)型的微分方程
32212 21s i n81 CxCxCxey x
方程的解法积分 n次下页
1)1( )( Cdxxfy n 21)2( ])([ CdxCdxxfy n 1)1( )( Cdxxfy n 21)2( ])([ CdxCdxxfy n 1)1( )( Cdxxfyn 21)2( ])([ CdxCdxxfyn
解 对所给方程接连积分三次?得例 1 求微分方程 ye2x?cos x 的通解?
12 s i n21 Cxey x
212 c o s41 CxCxey x
这就是所给方程的通解?
上页 下页 铃结束返回首页设在时刻 t质点的位置为 x?x(t)?
解于是所求质点的运动规律为其初始条件为 x|t?0?0? x?|t?0?0?
由条件 x|t?0?0? x?|t?0?0得则 x(t)满足微分方程首页例 2 质量为 m的质点受力 F的作用沿 Ox轴作直线运动?设力 F仅是时间 t的函数?F?F(t)? 在开始时刻 t?0时 F(0)?F0?随着时间 t的增大?此力 F均匀地减小?直到 t?T时? F(T)?0?如果开始时质点位于原点?且初速度为零?求这质点的运动规律?
1
20 )
2( CT
tt
m
F
dt
dx
把微分方程两边积分?得再积分一次?得
21
320 )
62
1( CtC
T
tt
m
Fx
C1?C2?0?
)621( 320 TttmFx 0? t? T?
)1(022 TtmFdt xd
>>>
上页 下页 铃结束返回首页二,yf(x?y?)型的微分方程于 是 )1( 211
2
1
2 xCeCp dxx
x

方程的解法设 yp?则方程 yf(x?y?)
化为
pf(x?p)?
设此方程的通解为
p?j(x?C1)?
则 yj(x?C1)?
于是方程 yf(x?y?)的通解为
21 ),( CdxCxyj?
解 设 yp?则原方程化为
(1?x2)p2xp?
或 01 2 2 pxxdxdp?
即 yC1(1?x2)?
两边再积分?得原方程的通解
231 )3
1( CxxCy
例 3 求方程 (1?x2)y2xy?
的通解?
首页于 是 )1( 211
2
1
2 xCeCp dxx
x

上页 下页 铃结束返回首页三,yf(y?y?)型的微分方程于 是 yCeCp dyy 1
1
1?

提示?
下页
方程的解法设 yp?则方程 yf(y?y?)
化为
),( pyfdydpp
设此方程的通解为
p?j(y?C1)?
则 yj(y?C1)?
于是方程 yf(y?y?)的通解为
dy
dpp
dx
dy
dy
dp
dx
dpy
dy
dpp
dx
dy
dy
dp
dxy dy
dpp
dx
dy
dxy
2
1 ),(
CxCydy j?
例 4 求方程 yyy?2?0的通解?
解 设 yp?则原方程化为
02 pdydpyp?
或 01 pydydp ( y? 0? p? 0)?
上页 下页 铃结束返回首页三,yf(y?y?)型的微分方程
方程的解法设 yp?则方程 yf(y?y?)
化为
),( pyfdydpp
设此方程的通解为
p?j(y?C1)?
则 yj(y?C1)?
于是方程 yf(y?y?)的通解为
2
1 ),(
CxCydy j?
例 4 求方程 yyy?2?0的通解?
解 设 yp?则原方程化为
02 pdydpyp?
或 01 pydydp ( y? 0? p? 0)?
即 yC1y?0?
从而原方程的通解为
xCdxC eCeCy 11 22
结束于 是 yCeCp dyy 1
1
1?