一、二阶线性微分方程举例二、线性微分方程的解的结构
§ 12.7 高阶线性微分方程上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、二阶线性微分方程举例
二阶线性微分方程下页二阶线性微分方程的一般形式为
yP(x)yQ(x)y?f(x)?
若方程右端 f(x)?0时?方程称为齐次的?否则称为非齐次的?
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02 222 xkdtdxndt xd
其 中 mn2 mck?2
如果物体还受到铅直扰力 F?Hsinpt的作用?
其中 mHh
pthxkdtdxndt xd s i n2 222
则例 1详解 下页例 1 设有一个弹性系数为 c的弹簧? 上端固定? 下端挂一个质量为 m的物体? 给物体一个初始速度 v0后? 物体在平衡位置附近作上下振动? 物体受到的阻力的大小与运动速度成正比?
比例系数为 取 x轴铅直向下? 并取物体的平衡位置为坐标原点?物体的位置 x是 t的函数 x(t)? 则 x(t)所满足的微分方程为上页 下页 铃结束返回首页设时刻 t电容器两极板间的电压为 uc?则 uc满足微分方程
tLCEudtdudt ud mccc s i n2 202
2
其 中 LR2
LC
1
0
如果电容器经充电后撤去外电源 (E?0)?则上述方程成为
02 2022 ccc udtdudt ud
例 2详解 首页例 2 设有一个由电阻 R,自感 L,电容 C和电源 E串联组成的电路? 其中 R,L,及 C为常数? 电源电动势是时间 t的函数,
E?Emsin?t?这里 Em及?也是常数?
上页 下页 铃结束返回首页二、线性微分方程的解的结构简要证明 这是因为
定理 1(齐次方程的解的叠加原理 )
下页如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 yP(x)yQ(x)y?0的两个解?
那么 y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解?其中 C1,C2是任意常数?
(C1y1?C2y2)P(x)(C1y1?C2y2)Q(x)(C1y1?C2y2)
C1[y1P(x)y1Q(x)y1]?C2[y2P(x)y2Q(x)y2]
0?0?0?
(C1y1C2y2)?P(x)(C1y1C2y2?)?Q(x)(C1y1?C2y2)
上页 下页 铃结束返回首页举例,
(1)函数 1?cos2x? sin2x在整个数轴上是线性相关的?
这是因为 1?cos2x?sin2x?0?
举例
2 函数 x?x 在任何区间 (a?b)内是线性无关的?
这是因为对任意 k1?k2?k3? k1?k2x?k2x2不可能恒为零?
二、线性微分方程的解的结构
函数的线性相关与线性无关下页
定理 1(齐次方程的解的叠加原理 )
如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 yP(x)yQ(x)y?0的两个解?
那么 y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解?其中 C1,C2是任意常数?
设 y1(x)? y2(x) yn(x)为定义在区间 I上的 n个函数? 如果存在 n个不全为零的常数 k1?k2 kn?使得当 x?I时有恒等式
k1y1(x)?k2y2(x) knyn(x)?0?
那么称这 n个函数在区间 I上线性相关?否则称为线性无关?
上页 下页 铃结束返回首页对于两个函数? 如果它们的比恒为常数? 那么它们就线性相关?否则就线性无关?
判别两个函数线性相关性的方法二、线性微分方程的解的结构下页
函数的线性相关与线性无关
定理 1(齐次方程的解的叠加原理 )
如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 yP(x)yQ(x)y?0的两个解?
那么 y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解?其中 C1,C2是任意常数?
设 y1(x)? y2(x) yn(x)为定义在区间 I上的 n个函数? 如果存在 n个不全为零的常数 k1?k2 kn?使得当 x?I时有恒等式
k1y1(x)?k2y2(x) knyn(x)?0?
那么称这 n个函数在区间 I上线性相关?否则称为线性无关?
上页 下页 铃结束返回首页举例,
已知 cos x与 sin x都是方程 yy?0的解?
因为比值
cos x/sin x?cot x不恒为零?
所以 cos x与 sin x在 ()内是线性无关的?
因此 cos x与 sin x是方程 yy?0的线性无关解?
方程的通解为 y?C1cos x?C2sin x?
举例已知 y1?x与 y2?ex都是方程 (x?1)yxyy?0的解?
因为比值 ex/x不恒为常数?
所以 y1?x与 y2?ex在 ()内是线性无关的?
因此 y1?x与 y2?ex是方程 (x?1)yxyy?0的线性无关解?
方程的通解为 y?C1x?C2ex?
如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 yP(x)yQ(x)y?0的两个线性无关的解?那么
y?C1y1(x)?C2y2(x)
是方程的通解?其中 C1,C2是任意常数?
定理 2(齐次方程的通解的结构 )
下页上页 下页 铃结束返回首页如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 yP(x)yQ(x)y?0的两个线性无关的解?那么
y?C1y1(x)?C2y2(x)
是方程的通解?其中 C1,C2是任意常数?
定理 2(齐次方程的通解的结构 )
如果 y1(x)?y2(x)yn(x)是方程
y(n)?a1(x)y(n?1)an?1(x)yan(x)y?0
的 n个线性无关的解?那么?此方程的通解为
y?C1y1(x)?C2y2(x) Cnyn(x)?
其中 C1?C2Cn为任意常数?
推论下页上页 下页 铃结束返回首页注,
我们把方程 yP(x)yQ(x)y?0叫做与非齐次方程
yP(x)yQ(x)y?f(x)
对应的齐次方程?
证明提示,
[Y(x)? *(x)]P(x)[Y(x)?y*(x)]Q(x)[Y(x)?y*(x)]
[YP(x)Y? Q(x)Y]?[y*P(x)y*Q(x)y*]
0?f(x)?f(x)?
举例,
已知 Y?C1cos x?C2sin 是齐次方程 yy?0的通解?
y*?x2?2是非齐次方程 yy?x2的一个特解?因此
y?C1cos x?C2sin x?x2?2
是非齐次方程 yy?x2的通解?
定理 3(非齐次方程的通解的结构 )
下页设 y*(x)是方程 yP(x)yQ(x)y?f(x)的一个特解? Y(x)是方程 yP(x)yQ(x)y?0的通解?那么
y?Y(x)?y*(x)
是方程 yP(x)yQ(x)y?f(x)的通解?
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定理 4(非齐次方程的解的叠加原理 )
简要证明,这是因为
[y1?y2*]P(x)[y1*?y2*]Q(x)[y1*?y2*]
[y1*P(x)y1*Q(x)y1*]?[y2*P(x)y2*Q(x)y2*]
f1(x)?f2(x)?
结束设 y1*(x)与 y2*(x)分别是方程
yP(x)yQ(x)y?f1(x)与 yP(x)yQ(x)y?f2(x)
的特解?那么 y1*(x)?y2*(x)是方程
yP(x)yQ(x)y?f1(x)?f2(x)
的特解?
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二阶线性微分方程下页二阶线性微分方程的一般形式为
yP(x)yQ(x)y?f(x)?
若方程右端 f(x)?0时?方程称为齐次的?否则称为非齐次的?
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其 中 mn2 mck?2
如果物体还受到铅直扰力 F?Hsinpt的作用?
其中 mHh
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则例 1详解 下页例 1 设有一个弹性系数为 c的弹簧? 上端固定? 下端挂一个质量为 m的物体? 给物体一个初始速度 v0后? 物体在平衡位置附近作上下振动? 物体受到的阻力的大小与运动速度成正比?
比例系数为 取 x轴铅直向下? 并取物体的平衡位置为坐标原点?物体的位置 x是 t的函数 x(t)? 则 x(t)所满足的微分方程为上页 下页 铃结束返回首页设时刻 t电容器两极板间的电压为 uc?则 uc满足微分方程
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2
其 中 LR2
LC
1
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如果电容器经充电后撤去外电源 (E?0)?则上述方程成为
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例 2详解 首页例 2 设有一个由电阻 R,自感 L,电容 C和电源 E串联组成的电路? 其中 R,L,及 C为常数? 电源电动势是时间 t的函数,
E?Emsin?t?这里 Em及?也是常数?
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定理 1(齐次方程的解的叠加原理 )
下页如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 yP(x)yQ(x)y?0的两个解?
那么 y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解?其中 C1,C2是任意常数?
(C1y1?C2y2)P(x)(C1y1?C2y2)Q(x)(C1y1?C2y2)
C1[y1P(x)y1Q(x)y1]?C2[y2P(x)y2Q(x)y2]
0?0?0?
(C1y1C2y2)?P(x)(C1y1C2y2?)?Q(x)(C1y1?C2y2)
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(1)函数 1?cos2x? sin2x在整个数轴上是线性相关的?
这是因为 1?cos2x?sin2x?0?
举例
2 函数 x?x 在任何区间 (a?b)内是线性无关的?
这是因为对任意 k1?k2?k3? k1?k2x?k2x2不可能恒为零?
二、线性微分方程的解的结构
函数的线性相关与线性无关下页
定理 1(齐次方程的解的叠加原理 )
如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 yP(x)yQ(x)y?0的两个解?
那么 y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解?其中 C1,C2是任意常数?
设 y1(x)? y2(x) yn(x)为定义在区间 I上的 n个函数? 如果存在 n个不全为零的常数 k1?k2 kn?使得当 x?I时有恒等式
k1y1(x)?k2y2(x) knyn(x)?0?
那么称这 n个函数在区间 I上线性相关?否则称为线性无关?
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判别两个函数线性相关性的方法二、线性微分方程的解的结构下页
函数的线性相关与线性无关
定理 1(齐次方程的解的叠加原理 )
如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 yP(x)yQ(x)y?0的两个解?
那么 y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解?其中 C1,C2是任意常数?
设 y1(x)? y2(x) yn(x)为定义在区间 I上的 n个函数? 如果存在 n个不全为零的常数 k1?k2 kn?使得当 x?I时有恒等式
k1y1(x)?k2y2(x) knyn(x)?0?
那么称这 n个函数在区间 I上线性相关?否则称为线性无关?
上页 下页 铃结束返回首页举例,
已知 cos x与 sin x都是方程 yy?0的解?
因为比值
cos x/sin x?cot x不恒为零?
所以 cos x与 sin x在 ()内是线性无关的?
因此 cos x与 sin x是方程 yy?0的线性无关解?
方程的通解为 y?C1cos x?C2sin x?
举例已知 y1?x与 y2?ex都是方程 (x?1)yxyy?0的解?
因为比值 ex/x不恒为常数?
所以 y1?x与 y2?ex在 ()内是线性无关的?
因此 y1?x与 y2?ex是方程 (x?1)yxyy?0的线性无关解?
方程的通解为 y?C1x?C2ex?
如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 yP(x)yQ(x)y?0的两个线性无关的解?那么
y?C1y1(x)?C2y2(x)
是方程的通解?其中 C1,C2是任意常数?
定理 2(齐次方程的通解的结构 )
下页上页 下页 铃结束返回首页如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 yP(x)yQ(x)y?0的两个线性无关的解?那么
y?C1y1(x)?C2y2(x)
是方程的通解?其中 C1,C2是任意常数?
定理 2(齐次方程的通解的结构 )
如果 y1(x)?y2(x)yn(x)是方程
y(n)?a1(x)y(n?1)an?1(x)yan(x)y?0
的 n个线性无关的解?那么?此方程的通解为
y?C1y1(x)?C2y2(x) Cnyn(x)?
其中 C1?C2Cn为任意常数?
推论下页上页 下页 铃结束返回首页注,
我们把方程 yP(x)yQ(x)y?0叫做与非齐次方程
yP(x)yQ(x)y?f(x)
对应的齐次方程?
证明提示,
[Y(x)? *(x)]P(x)[Y(x)?y*(x)]Q(x)[Y(x)?y*(x)]
[YP(x)Y? Q(x)Y]?[y*P(x)y*Q(x)y*]
0?f(x)?f(x)?
举例,
已知 Y?C1cos x?C2sin 是齐次方程 yy?0的通解?
y*?x2?2是非齐次方程 yy?x2的一个特解?因此
y?C1cos x?C2sin x?x2?2
是非齐次方程 yy?x2的通解?
定理 3(非齐次方程的通解的结构 )
下页设 y*(x)是方程 yP(x)yQ(x)y?f(x)的一个特解? Y(x)是方程 yP(x)yQ(x)y?0的通解?那么
y?Y(x)?y*(x)
是方程 yP(x)yQ(x)y?f(x)的通解?
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定理 4(非齐次方程的解的叠加原理 )
简要证明,这是因为
[y1?y2*]P(x)[y1*?y2*]Q(x)[y1*?y2*]
[y1*P(x)y1*Q(x)y1*]?[y2*P(x)y2*Q(x)y2*]
f1(x)?f2(x)?
结束设 y1*(x)与 y2*(x)分别是方程
yP(x)yQ(x)y?f1(x)与 yP(x)yQ(x)y?f2(x)
的特解?那么 y1*(x)?y2*(x)是方程
yP(x)yQ(x)y?f1(x)?f2(x)
的特解?
