一、三角级数 三角函数系的正交性二、函数展开成傅里叶级数上页 下页 铃结束返回首页
§ 11.7 傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数上页 下页 铃结束返回首页一、三角级数 三角函数系的正交性
三角级数形如
)s i nc o s(21
1
0 nxbnxaa nn
n
=
的级数称为三角级数?其中 a0?an? bn(n=1?2)都是常数?
1? cos x? sin x? cos 2x? sin 2x cos nx? sin nx
三角函数系下页
三角函数系的正交性三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在 []上的积分等于零?而 任何两个相同的函数的乘积在 []上的积分不等于零? >>>
上页 下页 铃结束返回首页提示,
a0
= 0 0
=
=
1
0 )s i nc o s(
2)( k kk kxbkxa
axf
提示
]c o ss i nc o sc o s[c o s2c o s)(
1
0 nxkxbnxkxanxanxxf
kk
k
=
=
an
= 0 0
提示
=
=
1
0 )s i ns i ns i nc o s(s i n
2s i n)( k kk nxkxbnxkxanx
anxxf
二、函数展开成傅里叶级数
傅里叶系数设 f(x)是周期为 2?的周期函数?且能展开成三角级数,
=
=
1
0 )s i nc o s(
2)( k kk kxbkxa
axf
且假定三角级数可逐项积分?则
= dxxfa )(10?
= n x d xxfa n c o s)(1? ( n = 1 2)
bn
= 00
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=
=
1
0 )s i nc o s(
2)( k kk kxbkxa
axf
且假定三角级数可逐项积分?则
= dxxfa )(10?
= n x d xxfa n c o s)(1? ( n = 1 2)
= n x d xxfb n s i n)(1? ( n = 1 2)
系数 a0?a1? b1 叫做函数 f(x)的傅里叶系数
下页
傅里叶系数上页 下页 铃结束返回首页
傅里叶级数三角级数
=
1
0 )s i nc o s(
2 n nn nxbnxa
a
称为傅里叶级数其中 a0a1b1· · ·是傅里叶系数
然而? 函数 f(x)的傅里叶级数是否一定收敛? 如果它收敛?
它是否一定收敛于函数 f(x)? 一般来说? 这两个问题的答案都不是肯定的?
一个定义在 ()上周期为 2?的函数 f(x)如果它在一个周期上可积则一定可以作出 f(x)的傅里叶级数?
下页上页 下页 铃结束返回首页
定理 (收敛定理 狄利克雷充分条件 )
设 f(x)是周期为 2?的周期函数?如果它满足,
(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点?
(2)在一个周期内至多只有有限个极值点?
则 f(x)的傅里叶级数收敛?并且当 x是 f(x)的连续点时级数收敛于 f(x);?
当 x是 f(x)的间断点时级数收敛于?
)]0()0([21 xfxf
下页
傅里叶级数三角级数
=
1
0 )s i nc o s(
2 n nn nxbnxa
a
称为傅里叶级数其中 a0a1b1· · ·是傅里叶系数
上页 下页 铃结束返回首页
f(x)的图形和函数图形例 1 设周期为 2?的函数 f(x)在 [)上的表达式为
<?
<=
x
xxf
0 1
0 1)(
将 f(x)展开成傅里叶级数
解 所给函数满足收敛定理的条件由收敛定理知道 f(x)的傅里叶级数收敛
0)11(21)]0()0([21 == xfxf?
当 x=k?时傅里叶级数收敛于当 x?k?时级数收敛于 f(x)
下页上页 下页 铃结束返回首页解 所给函数满足收敛定理的条件由收敛定理知道 f(x)的傅里叶级数收敛因为傅里叶系数为 >>>
所以 f(x)的傅里叶级数展开式为
] )12s i n (12 1 3s i n31[ s i n4)(= xkkxxxf
=
====
6,4,2,0
,5,3,1 4,) 2,1,,0( 0
n
n
nbna nn
(<x<;?x?0,,?2?,)
下页例 1 设周期为 2?的函数 f(x)在 [)上的表达式为
<?
<=
x
xxf
0 1
0 1)(
将 f(x)展开成傅里叶级数
上页 下页 铃结束返回首页
f(x)的图形和函数图形例 2 设周期为 2?的函数 f(x)在 [)上的表达式为将 f(x)展开成傅里叶级数
<?
<=
x
xxxf
0 0
0 )(
解 所给函数满足收敛定理的条件由收敛定理知道 f(x)的傅里叶级数收敛当 x=(2k?1)?时傅里叶级数收敛于当 x?(2k?1)?时级数收敛于 f(x)
2)0(2
1)]0()0([
2
1=?= xfxf?
下页上页 下页 铃结束返回首页解 所给函数满足收敛定理的条件由收敛定理知道 f(x)的傅里叶级数收敛
2
0
=a
=
==
6,4,2,0
,5,3,1 2
2
n
n
na n nb
n
n
1)1(
= ( n = 1 2)?
)3s i n313c o s3 2(2s i n21)s i nc o s2(4)( 2 xxxxxxf=
所以当 x?(2k?1)?时 f(x)的傅里叶级数展开式为
)5s i n515c o s5 2(4s i n41 2 xxx
下页因为傅里叶系数为 >>>
例 2 设周期为 2?的函数 f(x)在 [)上的表达式为将 f(x)展开成傅里叶级数
<?
<=
x
xxxf
0 0
0 )(
上页 下页 铃结束返回首页
周期延拓设 f(x)只在 []上有定义我们可以在 [)或 (]外补充函数 f(x)的定义使它拓广成周期为 2?的周期函数 F(x)在
()内F(x)=f(x)?
延拓前 y=f(x)
延拓后 y=F(x)
下页上页 下页 铃结束返回首页解 所给函数在区间 []上满足收敛定理的条件并且拓广为周期函数时它在每一点 x处都连续因此拓广的周期函数的傅里叶级数在 []上收敛于 f(x)
下页例 3 将函数 展开成傅里叶级数
<=
xx
xxxf
0
0 )(
上页 下页 铃结束返回首页
=0a
=
=?=
6,4,2,0
,5,3,1 4
2
n
n
na n 0=nb ( n = 1 2)
所以 f(x)的傅里叶级数展开式为
)( ) 5c o s5 13c o s3 1( c o s42 )( 22= xxxxxf
因为傅里叶系数为 >>>
解 所给函数在区间 []上满足收敛定理的条件并且拓广为周期函数时它在每一点 x处都连续因此拓广的周期函数的傅里叶级数在 []上收敛于 f(x)
例 3 将函数 展开成傅里叶级数
<=
xx
xxxf
0
0 )(
首页上页 下页 铃结束返回首页三、正弦级数和余弦级数
奇函数与偶函数的傅里叶系数
an=0 (n=012)
bn=0 (n=1?2)?
= 0 s i n)(2 n x d xxfb n ( n = 1 2 3)
= 0 c o s)(2 n x d xxfa n ( n = 0 1 2 3)?
当 f(x)为奇函数时?f(x)cos nx是奇函数?f(x)sin nx是偶函数?
故傅里叶系数为当 f(x)为偶函数时? f(x)cos nx是偶函数? f(x)sin nx是奇函数?
故傅里叶系数为下页上页 下页 铃结束返回首页
正弦级数和余弦级数如果 f(x)为奇函数? 那么它的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数
=1
s in
n n
nxb
如果 f(x)为偶函数? 那么它的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数
nxaa n
n
c o s2
1
0
=
下页上页 下页 铃结束返回首页例 4 设 f(x)是周期为 2?的周期函数它在 [)上的表达式为 f(x)=x将 f(x)展开成傅里叶级数
解 所给函数满足收敛定理的条件? 因此 f(x)的傅里叶级数收敛? 当 x=(2k?1)?(k=0,?1,?2,)时傅里叶级数收敛于
0)]([21)]0()0([21 == ff
当 x?(2k?1)?(k=0,?1,?2,)时傅里叶级数收敛于 f(x)?
下页
f(x)的图形和函数的图形上页 下页 铃结束返回首页解 所给函数满足收敛定理的条件? 因此 f(x)的傅里叶级数收敛?
0)]([21)]0()0([21 == ff
当 x?(2k?1)?(k=0,?1,?2,)时傅里叶级数收敛于 f(x)?
因为 f(x)在 ()上是奇函数?其 傅里叶级数是正弦级数?
1)1(2= nn nb ( n = 1,2,3,)
而所以 f(x)的傅里叶级数展开式为
s i n1)1( 3s i n312s i n21( s i n2)( 1=? nxnxxxxf n
(<x< x,?3?, )?
下页
>>>
例 4 设 f(x)是周期为 2?的周期函数它在 [)上的表达式为 f(x)=x将 f(x)展开成傅里叶级数
当 x=(2k?1)?(k=0,?1,?2,)时傅里叶级数收敛于上页 下页 铃结束返回首页例 5 将周期函数 展开成傅里叶级数?其中 E
|21s in|)( tEtu =
是正的常数?
解 函数 u(t)在整个数轴上连续? 满足收敛定理的条件? 因此 u(t)的傅里叶级数处处收敛于 u(t)?
因为 u(t)是周期为 2?的偶函数?其 傅里叶级数是余弦级数?
所以 u(t)的傅里叶级数展开式为而
)14(
4
2= n
Ea
n ( n = 0,1,2,)
下页
>>>
上页 下页 铃结束返回首页所以 u(t)的傅里叶级数展开式为
) c o s14 1 3c o s3512c o s151c o s3121(4)( 2= ntntttEtu?
而
)14(
4
2= n
Ea
n ( n = 0,1,2,)
(<t<)?
) c o s14 1 3c o s3512c o s151c o s3121(4)( 2= ntntttEtu?
因为 u(t)是周期为 2?的偶函数?其 傅里叶级数是余弦级数?
例 5 将周期函数 展开成傅里叶级数?其中 E
|21s in|)( tEtu =
是正的常数?
解 函数 u(t)在整个数轴上连续? 满足收敛定理的条件? 因此 u(t)的傅里叶级数处处收敛于 u(t)?
下页上页 下页 铃结束返回首页设函数 f(x)定义在区间 [0]上并且满足收敛定理的条件?
我们在开区间 ( 0)内补充函数 f(x)的定义? 得到定义在 (]
上的函数 F(x)? 使它在 ()上成为奇函数 (偶函数 )? 按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓 (偶延拓 )? 限制在 (0]
上?有 F(x)=f(x)?
奇延拓与偶延拓奇延拓 偶延拓下页上页 下页 铃结束返回首页例 6 将函数 f(x)=x?1(0?x)分别展开成正弦级数和余弦级数
先求正弦级数?解 为此对函数 f(x)进行奇延拓?
=?
=
=
6,4,2,2
,5,3,1 22
n
n
n
nb
n
函数的正弦级数展开式为正弦级数的系数为 >>>
在端点 x=0及 x=?处?级数的和为零?
] 4s i n43s i n)2(312s i n2s i n)2[(21=? xxxxx
(0<x<?)?
] 4s in43s in)2(312s in2s in)2[(21=? xxxxx
下页上页 下页 铃结束返回首页再求余弦级数? 为此对函数 f(x)进行偶延拓?
函数的余弦级数展开式为
) 5c o s5 13c o s31( c o s412 1 22=? xxxx
(0?x)?
=?
=
=
5,3,1,4
,6,4,2 0
2
n
n
n
a n
a 0=2?
结束余弦级数的系数为 >>>
例 6 将函数 f(x)=x?1(0?x)分别展开成正弦级数和余弦级数
解
§ 11.7 傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数上页 下页 铃结束返回首页一、三角级数 三角函数系的正交性
三角级数形如
)s i nc o s(21
1
0 nxbnxaa nn
n
=
的级数称为三角级数?其中 a0?an? bn(n=1?2)都是常数?
1? cos x? sin x? cos 2x? sin 2x cos nx? sin nx
三角函数系下页
三角函数系的正交性三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在 []上的积分等于零?而 任何两个相同的函数的乘积在 []上的积分不等于零? >>>
上页 下页 铃结束返回首页提示,
a0
= 0 0
=
=
1
0 )s i nc o s(
2)( k kk kxbkxa
axf
提示
]c o ss i nc o sc o s[c o s2c o s)(
1
0 nxkxbnxkxanxanxxf
kk
k
=
=
an
= 0 0
提示
=
=
1
0 )s i ns i ns i nc o s(s i n
2s i n)( k kk nxkxbnxkxanx
anxxf
二、函数展开成傅里叶级数
傅里叶系数设 f(x)是周期为 2?的周期函数?且能展开成三角级数,
=
=
1
0 )s i nc o s(
2)( k kk kxbkxa
axf
且假定三角级数可逐项积分?则
= dxxfa )(10?
= n x d xxfa n c o s)(1? ( n = 1 2)
bn
= 00
下页上页 下页 铃结束返回首页二、函数展开成傅里叶级数设 f(x)是周期为 2?的周期函数?且能展开成三角级数,
=
=
1
0 )s i nc o s(
2)( k kk kxbkxa
axf
且假定三角级数可逐项积分?则
= dxxfa )(10?
= n x d xxfa n c o s)(1? ( n = 1 2)
= n x d xxfb n s i n)(1? ( n = 1 2)
系数 a0?a1? b1 叫做函数 f(x)的傅里叶系数
下页
傅里叶系数上页 下页 铃结束返回首页
傅里叶级数三角级数
=
1
0 )s i nc o s(
2 n nn nxbnxa
a
称为傅里叶级数其中 a0a1b1· · ·是傅里叶系数
然而? 函数 f(x)的傅里叶级数是否一定收敛? 如果它收敛?
它是否一定收敛于函数 f(x)? 一般来说? 这两个问题的答案都不是肯定的?
一个定义在 ()上周期为 2?的函数 f(x)如果它在一个周期上可积则一定可以作出 f(x)的傅里叶级数?
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定理 (收敛定理 狄利克雷充分条件 )
设 f(x)是周期为 2?的周期函数?如果它满足,
(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点?
(2)在一个周期内至多只有有限个极值点?
则 f(x)的傅里叶级数收敛?并且当 x是 f(x)的连续点时级数收敛于 f(x);?
当 x是 f(x)的间断点时级数收敛于?
)]0()0([21 xfxf
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傅里叶级数三角级数
=
1
0 )s i nc o s(
2 n nn nxbnxa
a
称为傅里叶级数其中 a0a1b1· · ·是傅里叶系数
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f(x)的图形和函数图形例 1 设周期为 2?的函数 f(x)在 [)上的表达式为
<?
<=
x
xxf
0 1
0 1)(
将 f(x)展开成傅里叶级数
解 所给函数满足收敛定理的条件由收敛定理知道 f(x)的傅里叶级数收敛
0)11(21)]0()0([21 == xfxf?
当 x=k?时傅里叶级数收敛于当 x?k?时级数收敛于 f(x)
下页上页 下页 铃结束返回首页解 所给函数满足收敛定理的条件由收敛定理知道 f(x)的傅里叶级数收敛因为傅里叶系数为 >>>
所以 f(x)的傅里叶级数展开式为
] )12s i n (12 1 3s i n31[ s i n4)(= xkkxxxf
=
====
6,4,2,0
,5,3,1 4,) 2,1,,0( 0
n
n
nbna nn
(<x<;?x?0,,?2?,)
下页例 1 设周期为 2?的函数 f(x)在 [)上的表达式为
<?
<=
x
xxf
0 1
0 1)(
将 f(x)展开成傅里叶级数
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f(x)的图形和函数图形例 2 设周期为 2?的函数 f(x)在 [)上的表达式为将 f(x)展开成傅里叶级数
<?
<=
x
xxxf
0 0
0 )(
解 所给函数满足收敛定理的条件由收敛定理知道 f(x)的傅里叶级数收敛当 x=(2k?1)?时傅里叶级数收敛于当 x?(2k?1)?时级数收敛于 f(x)
2)0(2
1)]0()0([
2
1=?= xfxf?
下页上页 下页 铃结束返回首页解 所给函数满足收敛定理的条件由收敛定理知道 f(x)的傅里叶级数收敛
2
0
=a
=
==
6,4,2,0
,5,3,1 2
2
n
n
na n nb
n
n
1)1(
= ( n = 1 2)?
)3s i n313c o s3 2(2s i n21)s i nc o s2(4)( 2 xxxxxxf=
所以当 x?(2k?1)?时 f(x)的傅里叶级数展开式为
)5s i n515c o s5 2(4s i n41 2 xxx
下页因为傅里叶系数为 >>>
例 2 设周期为 2?的函数 f(x)在 [)上的表达式为将 f(x)展开成傅里叶级数
<?
<=
x
xxxf
0 0
0 )(
上页 下页 铃结束返回首页
周期延拓设 f(x)只在 []上有定义我们可以在 [)或 (]外补充函数 f(x)的定义使它拓广成周期为 2?的周期函数 F(x)在
()内F(x)=f(x)?
延拓前 y=f(x)
延拓后 y=F(x)
下页上页 下页 铃结束返回首页解 所给函数在区间 []上满足收敛定理的条件并且拓广为周期函数时它在每一点 x处都连续因此拓广的周期函数的傅里叶级数在 []上收敛于 f(x)
下页例 3 将函数 展开成傅里叶级数
<=
xx
xxxf
0
0 )(
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=0a
=
=?=
6,4,2,0
,5,3,1 4
2
n
n
na n 0=nb ( n = 1 2)
所以 f(x)的傅里叶级数展开式为
)( ) 5c o s5 13c o s3 1( c o s42 )( 22= xxxxxf
因为傅里叶系数为 >>>
解 所给函数在区间 []上满足收敛定理的条件并且拓广为周期函数时它在每一点 x处都连续因此拓广的周期函数的傅里叶级数在 []上收敛于 f(x)
例 3 将函数 展开成傅里叶级数
<=
xx
xxxf
0
0 )(
首页上页 下页 铃结束返回首页三、正弦级数和余弦级数
奇函数与偶函数的傅里叶系数
an=0 (n=012)
bn=0 (n=1?2)?
= 0 s i n)(2 n x d xxfb n ( n = 1 2 3)
= 0 c o s)(2 n x d xxfa n ( n = 0 1 2 3)?
当 f(x)为奇函数时?f(x)cos nx是奇函数?f(x)sin nx是偶函数?
故傅里叶系数为当 f(x)为偶函数时? f(x)cos nx是偶函数? f(x)sin nx是奇函数?
故傅里叶系数为下页上页 下页 铃结束返回首页
正弦级数和余弦级数如果 f(x)为奇函数? 那么它的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数
=1
s in
n n
nxb
如果 f(x)为偶函数? 那么它的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数
nxaa n
n
c o s2
1
0
=
下页上页 下页 铃结束返回首页例 4 设 f(x)是周期为 2?的周期函数它在 [)上的表达式为 f(x)=x将 f(x)展开成傅里叶级数
解 所给函数满足收敛定理的条件? 因此 f(x)的傅里叶级数收敛? 当 x=(2k?1)?(k=0,?1,?2,)时傅里叶级数收敛于
0)]([21)]0()0([21 == ff
当 x?(2k?1)?(k=0,?1,?2,)时傅里叶级数收敛于 f(x)?
下页
f(x)的图形和函数的图形上页 下页 铃结束返回首页解 所给函数满足收敛定理的条件? 因此 f(x)的傅里叶级数收敛?
0)]([21)]0()0([21 == ff
当 x?(2k?1)?(k=0,?1,?2,)时傅里叶级数收敛于 f(x)?
因为 f(x)在 ()上是奇函数?其 傅里叶级数是正弦级数?
1)1(2= nn nb ( n = 1,2,3,)
而所以 f(x)的傅里叶级数展开式为
s i n1)1( 3s i n312s i n21( s i n2)( 1=? nxnxxxxf n
(<x< x,?3?, )?
下页
>>>
例 4 设 f(x)是周期为 2?的周期函数它在 [)上的表达式为 f(x)=x将 f(x)展开成傅里叶级数
当 x=(2k?1)?(k=0,?1,?2,)时傅里叶级数收敛于上页 下页 铃结束返回首页例 5 将周期函数 展开成傅里叶级数?其中 E
|21s in|)( tEtu =
是正的常数?
解 函数 u(t)在整个数轴上连续? 满足收敛定理的条件? 因此 u(t)的傅里叶级数处处收敛于 u(t)?
因为 u(t)是周期为 2?的偶函数?其 傅里叶级数是余弦级数?
所以 u(t)的傅里叶级数展开式为而
)14(
4
2= n
Ea
n ( n = 0,1,2,)
下页
>>>
上页 下页 铃结束返回首页所以 u(t)的傅里叶级数展开式为
) c o s14 1 3c o s3512c o s151c o s3121(4)( 2= ntntttEtu?
而
)14(
4
2= n
Ea
n ( n = 0,1,2,)
(<t<)?
) c o s14 1 3c o s3512c o s151c o s3121(4)( 2= ntntttEtu?
因为 u(t)是周期为 2?的偶函数?其 傅里叶级数是余弦级数?
例 5 将周期函数 展开成傅里叶级数?其中 E
|21s in|)( tEtu =
是正的常数?
解 函数 u(t)在整个数轴上连续? 满足收敛定理的条件? 因此 u(t)的傅里叶级数处处收敛于 u(t)?
下页上页 下页 铃结束返回首页设函数 f(x)定义在区间 [0]上并且满足收敛定理的条件?
我们在开区间 ( 0)内补充函数 f(x)的定义? 得到定义在 (]
上的函数 F(x)? 使它在 ()上成为奇函数 (偶函数 )? 按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓 (偶延拓 )? 限制在 (0]
上?有 F(x)=f(x)?
奇延拓与偶延拓奇延拓 偶延拓下页上页 下页 铃结束返回首页例 6 将函数 f(x)=x?1(0?x)分别展开成正弦级数和余弦级数
先求正弦级数?解 为此对函数 f(x)进行奇延拓?
=?
=
=
6,4,2,2
,5,3,1 22
n
n
n
nb
n
函数的正弦级数展开式为正弦级数的系数为 >>>
在端点 x=0及 x=?处?级数的和为零?
] 4s i n43s i n)2(312s i n2s i n)2[(21=? xxxxx
(0<x<?)?
] 4s in43s in)2(312s in2s in)2[(21=? xxxxx
下页上页 下页 铃结束返回首页再求余弦级数? 为此对函数 f(x)进行偶延拓?
函数的余弦级数展开式为
) 5c o s5 13c o s31( c o s412 1 22=? xxxx
(0?x)?
=?
=
=
5,3,1,4
,6,4,2 0
2
n
n
n
a n
a 0=2?
结束余弦级数的系数为 >>>
例 6 将函数 f(x)=x?1(0?x)分别展开成正弦级数和余弦级数
解
