§ 11?3 幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、函数项级数的概念提示,由定义在区间 I上的函数列 {un(x)}所构成的表达式
u1(x)?u2(x)?u3(x)un(x)
称为定义在区间 I 上的 ( 函数项 ) 级数 记为?
= 1
)(
n
n xu?
函数项级数
=1
)(
n
n xu
=u1(x)?u2(x)?u3(x)un(x) x?I?
收敛点与发散点提示 对于每一个确定的值 x0?I?函数项级数成为 常数项级数
u1(x0 0)?u3(x0)un(x0)
这个常数项级数或者收敛或者发散?
使函数项级数收敛的点 x0称为函数项级数的收敛点 ;
使函数项级数发散的点 x0称为函数项级数的发散点
收敛点的全体称为收敛域?发散点的全体称为发散域?
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函数项级数的和函数
函数项级数的部分和和函数的定义域就是级数的收敛域
在收敛域上? 函数项级数 ∑un(x)的和是 x的函数 s(x)? 它称为函数项级数 ∑un(x)的和函数?并写成 s(x)=∑un(x)?
函数项级数 ∑un(x)的前 n项的部分和记作 sn(x)?即
sn(x)=u1(x)?u2(x)?u3(x)un(x)?
在收敛域上有 sn(x)?s(x)(n)?
注,
∑ u n ( x ) 是
= 1
)(
n
n xu 的 简 便 记 法 以 下 不 再 重 述
下页上页 下页 铃结束返回首页
函数项级数的余项函数项级数 ∑un(x)的余项记为 rn(x)它是 和函数 s(x)与部分和 sn(x)的差,?rn(x)=s(x)?sn(x)?
在收敛域上有 rn(x)?0(n)?
首页
函数项级数的和函数
函数项级数的部分和和函数的定义域就是级数的收敛域
在收敛域上? 函数项级数 ∑un(x)的和是 x的函数 s(x)? 它称为函数项级数 ∑un(x)的和函数?并写成 s(x)=∑un(x)?
函数项级数 ∑un(x)的前 n项的部分和记作 sn(x)?即
sn(x)=u1(x)?u2(x)?u3(x)un(x)?
在收敛域上有 sn(x)?s(x)(n)?
上页 下页 铃结束返回首页二、幂级数及其收敛性在函数项级数中?形如
a0?a1x?a2x2anxn
的级数称为幂级数?其中常数 ai(i=1,2,)叫做幂级数的系数?
幂级数
1?x?x2?x3xn
!1 !211 2 nxnxx
幂级数举例,
说明,幂级数的一般形式是
a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2an(x?x0)n
这种形式经变换 t=x?x0可化为上述定义形式?
下页上页 下页 铃结束返回首页幂级数
1?x?x2?x3xn
是公比为 x的几何级数
因此它的收敛域为 (?11)
11 1 32=? nxxxxx?
它在 |x|<1时收敛在 |x|?1时发散
在收敛域内有下页在函数项级数中?形如
a0?a1x?a2x2anxn
的级数称为幂级数?其中常数 ai(i=1,2,)叫做幂级数的系数?
幂级数幂级数举例,
二、幂级数及其收敛性上页 下页 铃结束返回首页如果幂级数 ∑anxn当 x=x0(x0?0)时收敛? 则适合不等式
|x|<|x0|的一切 x使幂级数 ∑anxn绝对收敛?
反之? 如果幂级数 ∑anxn当 x=x0时发散? 则适合不等式
|x|>|x0|的一切 x使幂级数 ∑anxn发散?
注,
∑anxn是幂级数 的简记形式?
=0n
nn xa
下页
|x|<|x0||x|>|x0| |x|>|x0|
定理 1(阿贝尔定理 )
>>>定理证明上页 下页 铃结束返回首页如果幂级数 ∑anxn当 x=x0(x0?0)时收敛? 则适合不等式
|x|<|x0|的一切 x使幂级数 ∑anxn绝对收敛?
反之? 如果幂级数 ∑anxn当 x=x0时发散? 则适合不等式
|x|>|x0|的一切 x使幂级数 ∑anxn发散?
定理 1(阿贝尔定理 )
如果幂级数 ∑anxn不是仅在点 x=0一点收敛? 也不是在整个数轴上都收敛?则必有一个完全确定的正数 R存在?使得当 |x|<R时? 幂级数绝对收敛 ;
当 |x|>R时? 幂级数发散 ;
当 x=R与 x=?R时?幂级数可能收敛也可能发散?
推论下页上页 下页 铃结束返回首页如果幂级数 ∑anxn不是仅在点 x=0一点收敛? 也不是在整个数轴上都收敛?则必有一个完全确定的正数 R存在?使得当 |x|<R时? 幂级数绝对收敛 ;
当 |x|>R时? 幂级数发散 ;
当 x=R与 x=?R时?幂级数可能收敛也可能发散?
收敛半径与收敛区间
推论正数 R通常叫做幂级数 ∑anxn的收敛半径开区间 (?R?R)
叫做幂级数 ∑anxn的收敛区间?
注,若幂级数只在 x=0收敛? 则规定收敛半径 R=0? 若幂级数在
(,)内收敛?则规定收敛半径 R=
下页上页 下页 铃结束返回首页如果幂级数 ∑anxn不是仅在点 x=0一点收敛? 也不是在整个数轴上都收敛?则必有一个完全确定的正数 R存在?使得当 |x|<R时? 幂级数绝对收敛 ;
当 |x|>R时? 幂级数发散 ;
当 x=R与 x=?R时?幂级数可能收敛也可能发散?
收敛半径与收敛区间
推论正数 R通常叫做幂级数 ∑anxn的收敛半径开区间 (?R?R)
叫做幂级数 ∑anxn的收敛区间?
幂级数 ∑anxn的收敛域是以下区间之一,
(?R,R),[?R,R),(?R,R],[?R,R]
下页上页 下页 铃结束返回首页当 0 时?1=R? 当? = 0 时 R = 当? = 时 R = 0?
下页
定理 2(收敛半径的求法 )
>>>
如果?= ||l i m 1
n
n
n a
a? 则 幂 级 数
= 0n
nn xa 的 收敛半 径 R 为,
解因为 1 ||lim 1 ==
n
n
n a
a 所以收敛半径 11 ==
R? 因为 1 ||lim
1 ==?
n
n
n a
a所以收敛半径 1=
R? 因为 1 ||l i m
1 ==?
n
n
n a
a 所以收敛半径 11 ==
R?
提示,
1
1
lim
1
1
1
lim ||lim 1 =
=?==
n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
1
1
lim
1
1
1
lim ||lim 1 =
=?==
n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
1
1
lim
1
1
1
lim ||lim =
=?==
n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
例 1 求幂级数
=
1
1)1(
n
nn
n
x 的收敛半径与收敛域?
上页 下页 铃结束返回首页 下页例 1 求幂级数
=
1
1)1(
n
nn
n
x 的收敛半径与收敛域?
当 x =? 1 时 幂 级数成为
=
1
)1(
n n
是 发散 的?
因此收敛域为 (?1,1]
当 x=? 1 时 幂 级数成为
=
1
)1(
n n
是 发散 的?
当 x = 1 时 幂 级数成为
=
1
1 1)1(
n
n n 是 收敛 的 ;? 当 x= 1 时 幂 级数成为
=
1
1 1)1(
n
n n 是 收敛 的 ;?
解因为 1 ||lim 1 ==
n
n
n a
a 所以收敛半径 11 ==
R? 因为 1 ||lim
1 ==?
n
n
n a
a所以收敛半径 1=
R? 因为 1 ||l i m
1 ==?
n
n
n a
a 所以收敛半径 11 ==
R?
定理 2(收敛半径的求法 )
如果?= ||l i m 1
n
n
n a
a? 则 幂 级 数
= 0n
nn xa 的 收敛半 径 R 为,
当 0 时?1=R? 当? = 0 时 R = 当? = 时 R = 0?
上页 下页 铃结束返回首页解 因为
0
)!1(
!lim
!
1
)!1(
1
lim ||lim 1 =
=
==
n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
0
)!
!
!
1
)!1(
1
lim ||lim 1 =
==
n
n
a
a
nn
n
n
0
)!1(
!lim
!
)!1(
lim ||lim 1 =
===
n
n
a
a
nnn
n
n
所以收敛半径为 R=从而收敛域为 (,)?
下页例 2 求幂级数
= 0 !
1
n
nx
n 的收敛 域?
定理 2(收敛半径的求法 )
如果?= ||l i m 1
n
n
n a
a? 则 幂 级 数
= 0n
nn xa 的 收敛半 径 R 为,
当 0 时?1=R? 当? = 0 时 R = 当? = 时 R = 0?
上页 下页 铃结束返回首页解 因为
=?== ! )!1(lim ||lim 1 nnaa n
n
n
n===
)!(lim ||lim 1
a
a
nn
n
n=
=
!
)!1(lim ||lim 1
n
n
a
a
nn
n
n
所以收敛半径为 R=0即级数仅在 x=0处收敛?
下页例 3 求幂级数
= 0
!
n
nxn 的收敛半径?
定理 2(收敛半径的求法 )
如果?= ||l i m 1
n
n
n a
a? 则 幂 级 数
= 0n
nn xa 的 收敛半 径 R 为,
当 0 时?1=R? 当? = 0 时 R = 当? = 时 R = 0?
上页 下页 铃结束返回首页提示,
此级数缺少奇次幂的项前述求收敛半径的方法不能直接应用?
提示
2
2
2
2
)1(2
2
1
)1(
)12)(22(
)!(
)!2(
])!1[(
)]!1(2[
)(
)(
x
n
nn
x
n
n
x
n
n
xu
xu
n
n
n
n
=
=
2
2
2
2
)1(2
2
1
)1(
)12)(22(
)!(
)!2(
])!1[(
)]!1(2[
)(
)(
x
n
nn
x
n
n
x
n
n
xu
xu
n
n
n
n
=
=
解 这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径
幂 级 数 的 一 般 项 为 nn xn nxu 22)!( )!2()( =因 为因 为? 21 ||4 |)( )(|lim xxu xu
n
n
n =
因 为?
21 ||4 |)( )(|lim xxu x
n
n
n =
当 4|x|2<1即 |x|< 时级数收敛 ;?
2
1 当 4|x|
2>1即 |x|> 时级数发散?
2
1
下页例 4 求幂级数
= 0
2
2!)(
)!2(
n
nx
n
n 的收敛半径?
上页 下页 铃结束返回首页这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径
幂 级 数 的 一 般 项 为 nn xn nxu 22)!( )!2()( =因 为因 为? 21 ||4 |)( )(|lim xxu xu
n
n
n =
因 为?
21 ||4 |)( )(|lim xxu x
n
n
n =
当 4|x|2<1即 |x|< 时级数收敛 ;?
2
1 当 4|x|
2>1即 |x|> 时级数发散?
2
1
所以收敛半径为 21=R
下页解例 4 求幂级数
= 0
2
2!)(
)!2(
n
nx
n
n 的收敛半径?
上页 下页 铃结束返回首页解解 令 t = x? 1 上述级数变为
= 1 2n n
n
n
t
因为 21)1(2 2 ||lim 11 === nnaa n n
n
n
n 因为 2
1
)1(2
2 |lim
1
1 =
==
n
n
a
a
n
n
n
n
n 因为 2
1
)1(2
2 ||lim
1
1 =
==
n
n
a
a
n
n
n
n
n
所以收敛半径 R=2
当 t = 2 时 级数成为
= 1
1
n n
此级数发散 ;
当 t =? 2 时 级数成为
=
1
)1(
n n
此级数收敛
所以原级数的收敛域为 [?1,3)
即?2?x?1<2或?1?x<3因此收敛域为?2?t<2
当 t= 2 时 级数成为
= 1
1
n n
此级数发散 ;
当 t=? 2 时 级数成为
=
1
)1(
n n
此级数收敛
首页例 5 求幂级数
=
1 2
)1(
n n
n
n
x 的收敛 域?
上页 下页 铃结束返回首页三、幂级数的运算
幂级数的运算设幂级数 ∑anxn及 ∑bnxn分别在区间 (?R,R)及 (?R?,R?)内收敛?则在 (?R,R)与 (?R?,R?)中较小的区间内有减法,
加法,
(a0bn?a1bn?1anb0)xn
(a0b2?a1b1?a2b0)x2
乘法,∑anxn?∑bnxn
=∑(an?bn)xn
=∑(an?bn)xn
∑anxn?∑bnxn
∑anxn?∑bnxn
=a0b0?(a0b1?a1b0)x
下页上页 下页 铃结束返回首页
=
=
=
=?=?=?
1
1
00
)()()(
n
n
n
n
n
n
n
n
n xnaxaxaxs ( | x |< R )?
性质 1 幂级数 ∑anxn的和函数 s(x)在收敛域 I上连续?
幂级数的和函数的性质逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径?
性质 2 幂级数 ∑anxn的和函数 s(x)在收敛域 I上可积?并且有逐项积分公式性质 3 幂级数 ∑anxn的和函数 s(x)在收敛区间 (?R?R)内可导?并且有逐项求导公式
=
=
=?
===
0
1
0 00 00 1
)()(
n
nn
n
x n
n
x
n
nnx x
n
adxxadxxadxxs ( x? I )?
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径?
下页上页 下页 铃结束返回首页提示,
应用公式 )0()()(0 FxFdxxFx?= 即= x dxxFFxF 0 )()0()(?
解例 6 求幂级数
=?0 1
1
n
nx
n 的和函数?
求得幂级数的收敛域为 [?1?1)?
显然 S(0)=1?因为
=?=?==? x n nn n dxxnxnxxs 0 0 10 1 ]11[11)(=?=?==? x n nn n dxxnxnxxs 0 0 10 1 ]11[11)(
设 幂 级 数 的 和函数为 s ( x )? 即
=?
=
0 1
1)(
n
nx
nxs? x? [? 1? 1)?
提示
)1||( 11 1 32 <=? xxxxxx n?
)11( )1ln (1 100
0
<<=?==
=
xxdxxdxx xx
n
n? )11( )
1
1
00 0 <<==
=
xxdxxdxx xx
n
n? )11( )1ln (
1
1
00 0 <<=?==
=
xxdxxdxx xx
n
n?
下页上页 下页 铃结束返回首页解结束例 6 求幂级数
=?0 1
1
n
nx
n 的和函数?
求得幂级数的收敛域为 [?1?1)?
显然 S(0)=1?因为
=?=?==? x n nn n dxxnxnxxs 0 0 10 1 ]11[11)(=?=?==? x n nn n dxxnxnxxs 0 0 10 1 ]11[11)(
设 幂 级 数 的 和函数为 s ( x )? 即
=?
=
0 1
1)(
n
nx
nxs? x? [? 1? 1)?
所以? 当 1||0 << x 时? 有 )1l n (1)( xxxs=?
由 和 函数 在 收敛 域上 的 连续性? 2ln)(lim)1( 1 == xSS x?
)11( )1ln (1 100
0
<<=?==
=
xxdxxdxx xx
n
n? )11( )
1
1
00 0 <<==
=
xxdxxdxx xx
n
n? )11( )1ln (
1
1
00 0 <<=?==
=
xxdxxdxx xx
n
n?
>>
u1(x)?u2(x)?u3(x)un(x)
称为定义在区间 I 上的 ( 函数项 ) 级数 记为?
= 1
)(
n
n xu?
函数项级数
=1
)(
n
n xu
=u1(x)?u2(x)?u3(x)un(x) x?I?
收敛点与发散点提示 对于每一个确定的值 x0?I?函数项级数成为 常数项级数
u1(x0 0)?u3(x0)un(x0)
这个常数项级数或者收敛或者发散?
使函数项级数收敛的点 x0称为函数项级数的收敛点 ;
使函数项级数发散的点 x0称为函数项级数的发散点
收敛点的全体称为收敛域?发散点的全体称为发散域?
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函数项级数的和函数
函数项级数的部分和和函数的定义域就是级数的收敛域
在收敛域上? 函数项级数 ∑un(x)的和是 x的函数 s(x)? 它称为函数项级数 ∑un(x)的和函数?并写成 s(x)=∑un(x)?
函数项级数 ∑un(x)的前 n项的部分和记作 sn(x)?即
sn(x)=u1(x)?u2(x)?u3(x)un(x)?
在收敛域上有 sn(x)?s(x)(n)?
注,
∑ u n ( x ) 是
= 1
)(
n
n xu 的 简 便 记 法 以 下 不 再 重 述
下页上页 下页 铃结束返回首页
函数项级数的余项函数项级数 ∑un(x)的余项记为 rn(x)它是 和函数 s(x)与部分和 sn(x)的差,?rn(x)=s(x)?sn(x)?
在收敛域上有 rn(x)?0(n)?
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函数项级数的和函数
函数项级数的部分和和函数的定义域就是级数的收敛域
在收敛域上? 函数项级数 ∑un(x)的和是 x的函数 s(x)? 它称为函数项级数 ∑un(x)的和函数?并写成 s(x)=∑un(x)?
函数项级数 ∑un(x)的前 n项的部分和记作 sn(x)?即
sn(x)=u1(x)?u2(x)?u3(x)un(x)?
在收敛域上有 sn(x)?s(x)(n)?
上页 下页 铃结束返回首页二、幂级数及其收敛性在函数项级数中?形如
a0?a1x?a2x2anxn
的级数称为幂级数?其中常数 ai(i=1,2,)叫做幂级数的系数?
幂级数
1?x?x2?x3xn
!1 !211 2 nxnxx
幂级数举例,
说明,幂级数的一般形式是
a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2an(x?x0)n
这种形式经变换 t=x?x0可化为上述定义形式?
下页上页 下页 铃结束返回首页幂级数
1?x?x2?x3xn
是公比为 x的几何级数
因此它的收敛域为 (?11)
11 1 32=? nxxxxx?
它在 |x|<1时收敛在 |x|?1时发散
在收敛域内有下页在函数项级数中?形如
a0?a1x?a2x2anxn
的级数称为幂级数?其中常数 ai(i=1,2,)叫做幂级数的系数?
幂级数幂级数举例,
二、幂级数及其收敛性上页 下页 铃结束返回首页如果幂级数 ∑anxn当 x=x0(x0?0)时收敛? 则适合不等式
|x|<|x0|的一切 x使幂级数 ∑anxn绝对收敛?
反之? 如果幂级数 ∑anxn当 x=x0时发散? 则适合不等式
|x|>|x0|的一切 x使幂级数 ∑anxn发散?
注,
∑anxn是幂级数 的简记形式?
=0n
nn xa
下页
|x|<|x0||x|>|x0| |x|>|x0|
定理 1(阿贝尔定理 )
>>>定理证明上页 下页 铃结束返回首页如果幂级数 ∑anxn当 x=x0(x0?0)时收敛? 则适合不等式
|x|<|x0|的一切 x使幂级数 ∑anxn绝对收敛?
反之? 如果幂级数 ∑anxn当 x=x0时发散? 则适合不等式
|x|>|x0|的一切 x使幂级数 ∑anxn发散?
定理 1(阿贝尔定理 )
如果幂级数 ∑anxn不是仅在点 x=0一点收敛? 也不是在整个数轴上都收敛?则必有一个完全确定的正数 R存在?使得当 |x|<R时? 幂级数绝对收敛 ;
当 |x|>R时? 幂级数发散 ;
当 x=R与 x=?R时?幂级数可能收敛也可能发散?
推论下页上页 下页 铃结束返回首页如果幂级数 ∑anxn不是仅在点 x=0一点收敛? 也不是在整个数轴上都收敛?则必有一个完全确定的正数 R存在?使得当 |x|<R时? 幂级数绝对收敛 ;
当 |x|>R时? 幂级数发散 ;
当 x=R与 x=?R时?幂级数可能收敛也可能发散?
收敛半径与收敛区间
推论正数 R通常叫做幂级数 ∑anxn的收敛半径开区间 (?R?R)
叫做幂级数 ∑anxn的收敛区间?
注,若幂级数只在 x=0收敛? 则规定收敛半径 R=0? 若幂级数在
(,)内收敛?则规定收敛半径 R=
下页上页 下页 铃结束返回首页如果幂级数 ∑anxn不是仅在点 x=0一点收敛? 也不是在整个数轴上都收敛?则必有一个完全确定的正数 R存在?使得当 |x|<R时? 幂级数绝对收敛 ;
当 |x|>R时? 幂级数发散 ;
当 x=R与 x=?R时?幂级数可能收敛也可能发散?
收敛半径与收敛区间
推论正数 R通常叫做幂级数 ∑anxn的收敛半径开区间 (?R?R)
叫做幂级数 ∑anxn的收敛区间?
幂级数 ∑anxn的收敛域是以下区间之一,
(?R,R),[?R,R),(?R,R],[?R,R]
下页上页 下页 铃结束返回首页当 0 时?1=R? 当? = 0 时 R = 当? = 时 R = 0?
下页
定理 2(收敛半径的求法 )
>>>
如果?= ||l i m 1
n
n
n a
a? 则 幂 级 数
= 0n
nn xa 的 收敛半 径 R 为,
解因为 1 ||lim 1 ==
n
n
n a
a 所以收敛半径 11 ==
R? 因为 1 ||lim
1 ==?
n
n
n a
a所以收敛半径 1=
R? 因为 1 ||l i m
1 ==?
n
n
n a
a 所以收敛半径 11 ==
R?
提示,
1
1
lim
1
1
1
lim ||lim 1 =
=?==
n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
1
1
lim
1
1
1
lim ||lim 1 =
=?==
n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
1
1
lim
1
1
1
lim ||lim =
=?==
n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
例 1 求幂级数
=
1
1)1(
n
nn
n
x 的收敛半径与收敛域?
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=
1
1)1(
n
nn
n
x 的收敛半径与收敛域?
当 x =? 1 时 幂 级数成为
=
1
)1(
n n
是 发散 的?
因此收敛域为 (?1,1]
当 x=? 1 时 幂 级数成为
=
1
)1(
n n
是 发散 的?
当 x = 1 时 幂 级数成为
=
1
1 1)1(
n
n n 是 收敛 的 ;? 当 x= 1 时 幂 级数成为
=
1
1 1)1(
n
n n 是 收敛 的 ;?
解因为 1 ||lim 1 ==
n
n
n a
a 所以收敛半径 11 ==
R? 因为 1 ||lim
1 ==?
n
n
n a
a所以收敛半径 1=
R? 因为 1 ||l i m
1 ==?
n
n
n a
a 所以收敛半径 11 ==
R?
定理 2(收敛半径的求法 )
如果?= ||l i m 1
n
n
n a
a? 则 幂 级 数
= 0n
nn xa 的 收敛半 径 R 为,
当 0 时?1=R? 当? = 0 时 R = 当? = 时 R = 0?
上页 下页 铃结束返回首页解 因为
0
)!1(
!lim
!
1
)!1(
1
lim ||lim 1 =
=
==
n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
0
)!
!
!
1
)!1(
1
lim ||lim 1 =
==
n
n
a
a
nn
n
n
0
)!1(
!lim
!
)!1(
lim ||lim 1 =
===
n
n
a
a
nnn
n
n
所以收敛半径为 R=从而收敛域为 (,)?
下页例 2 求幂级数
= 0 !
1
n
nx
n 的收敛 域?
定理 2(收敛半径的求法 )
如果?= ||l i m 1
n
n
n a
a? 则 幂 级 数
= 0n
nn xa 的 收敛半 径 R 为,
当 0 时?1=R? 当? = 0 时 R = 当? = 时 R = 0?
上页 下页 铃结束返回首页解 因为
=?== ! )!1(lim ||lim 1 nnaa n
n
n
n===
)!(lim ||lim 1
a
a
nn
n
n=
=
!
)!1(lim ||lim 1
n
n
a
a
nn
n
n
所以收敛半径为 R=0即级数仅在 x=0处收敛?
下页例 3 求幂级数
= 0
!
n
nxn 的收敛半径?
定理 2(收敛半径的求法 )
如果?= ||l i m 1
n
n
n a
a? 则 幂 级 数
= 0n
nn xa 的 收敛半 径 R 为,
当 0 时?1=R? 当? = 0 时 R = 当? = 时 R = 0?
上页 下页 铃结束返回首页提示,
此级数缺少奇次幂的项前述求收敛半径的方法不能直接应用?
提示
2
2
2
2
)1(2
2
1
)1(
)12)(22(
)!(
)!2(
])!1[(
)]!1(2[
)(
)(
x
n
nn
x
n
n
x
n
n
xu
xu
n
n
n
n
=
=
2
2
2
2
)1(2
2
1
)1(
)12)(22(
)!(
)!2(
])!1[(
)]!1(2[
)(
)(
x
n
nn
x
n
n
x
n
n
xu
xu
n
n
n
n
=
=
解 这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径
幂 级 数 的 一 般 项 为 nn xn nxu 22)!( )!2()( =因 为因 为? 21 ||4 |)( )(|lim xxu xu
n
n
n =
因 为?
21 ||4 |)( )(|lim xxu x
n
n
n =
当 4|x|2<1即 |x|< 时级数收敛 ;?
2
1 当 4|x|
2>1即 |x|> 时级数发散?
2
1
下页例 4 求幂级数
= 0
2
2!)(
)!2(
n
nx
n
n 的收敛半径?
上页 下页 铃结束返回首页这种缺项幂级数一般用比值审敛法来求收敛半径
幂 级 数 的 一 般 项 为 nn xn nxu 22)!( )!2()( =因 为因 为? 21 ||4 |)( )(|lim xxu xu
n
n
n =
因 为?
21 ||4 |)( )(|lim xxu x
n
n
n =
当 4|x|2<1即 |x|< 时级数收敛 ;?
2
1 当 4|x|
2>1即 |x|> 时级数发散?
2
1
所以收敛半径为 21=R
下页解例 4 求幂级数
= 0
2
2!)(
)!2(
n
nx
n
n 的收敛半径?
上页 下页 铃结束返回首页解解 令 t = x? 1 上述级数变为
= 1 2n n
n
n
t
因为 21)1(2 2 ||lim 11 === nnaa n n
n
n
n 因为 2
1
)1(2
2 |lim
1
1 =
==
n
n
a
a
n
n
n
n
n 因为 2
1
)1(2
2 ||lim
1
1 =
==
n
n
a
a
n
n
n
n
n
所以收敛半径 R=2
当 t = 2 时 级数成为
= 1
1
n n
此级数发散 ;
当 t =? 2 时 级数成为
=
1
)1(
n n
此级数收敛
所以原级数的收敛域为 [?1,3)
即?2?x?1<2或?1?x<3因此收敛域为?2?t<2
当 t= 2 时 级数成为
= 1
1
n n
此级数发散 ;
当 t=? 2 时 级数成为
=
1
)1(
n n
此级数收敛
首页例 5 求幂级数
=
1 2
)1(
n n
n
n
x 的收敛 域?
上页 下页 铃结束返回首页三、幂级数的运算
幂级数的运算设幂级数 ∑anxn及 ∑bnxn分别在区间 (?R,R)及 (?R?,R?)内收敛?则在 (?R,R)与 (?R?,R?)中较小的区间内有减法,
加法,
(a0bn?a1bn?1anb0)xn
(a0b2?a1b1?a2b0)x2
乘法,∑anxn?∑bnxn
=∑(an?bn)xn
=∑(an?bn)xn
∑anxn?∑bnxn
∑anxn?∑bnxn
=a0b0?(a0b1?a1b0)x
下页上页 下页 铃结束返回首页
=
=
=
=?=?=?
1
1
00
)()()(
n
n
n
n
n
n
n
n
n xnaxaxaxs ( | x |< R )?
性质 1 幂级数 ∑anxn的和函数 s(x)在收敛域 I上连续?
幂级数的和函数的性质逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径?
性质 2 幂级数 ∑anxn的和函数 s(x)在收敛域 I上可积?并且有逐项积分公式性质 3 幂级数 ∑anxn的和函数 s(x)在收敛区间 (?R?R)内可导?并且有逐项求导公式
=
=
=?
===
0
1
0 00 00 1
)()(
n
nn
n
x n
n
x
n
nnx x
n
adxxadxxadxxs ( x? I )?
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径?
下页上页 下页 铃结束返回首页提示,
应用公式 )0()()(0 FxFdxxFx?= 即= x dxxFFxF 0 )()0()(?
解例 6 求幂级数
=?0 1
1
n
nx
n 的和函数?
求得幂级数的收敛域为 [?1?1)?
显然 S(0)=1?因为
=?=?==? x n nn n dxxnxnxxs 0 0 10 1 ]11[11)(=?=?==? x n nn n dxxnxnxxs 0 0 10 1 ]11[11)(
设 幂 级 数 的 和函数为 s ( x )? 即
=?
=
0 1
1)(
n
nx
nxs? x? [? 1? 1)?
提示
)1||( 11 1 32 <=? xxxxxx n?
)11( )1ln (1 100
0
<<=?==
=
xxdxxdxx xx
n
n? )11( )
1
1
00 0 <<==
=
xxdxxdxx xx
n
n? )11( )1ln (
1
1
00 0 <<=?==
=
xxdxxdxx xx
n
n?
下页上页 下页 铃结束返回首页解结束例 6 求幂级数
=?0 1
1
n
nx
n 的和函数?
求得幂级数的收敛域为 [?1?1)?
显然 S(0)=1?因为
=?=?==? x n nn n dxxnxnxxs 0 0 10 1 ]11[11)(=?=?==? x n nn n dxxnxnxxs 0 0 10 1 ]11[11)(
设 幂 级 数 的 和函数为 s ( x )? 即
=?
=
0 1
1)(
n
nx
nxs? x? [? 1? 1)?
所以? 当 1||0 << x 时? 有 )1l n (1)( xxxs=?
由 和 函数 在 收敛 域上 的 连续性? 2ln)(lim)1( 1 == xSS x?
)11( )1ln (1 100
0
<<=?==
=
xxdxxdxx xx
n
n? )11( )
1
1
00 0 <<==
=
xxdxxdxx xx
n
n? )11( )1ln (
1
1
00 0 <<=?==
=
xxdxxdxx xx
n
n?
>>
