一、高斯公式二、通量与散度
§ 10.6 高斯公式 通量与散度上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、高斯公式定理证明 下页
定理 1
设空间闭区域?是由分片光滑的闭曲面?所围成? 函数
P(x? y? z),Q(x? y? z),R(x? y? z)在?上具有一阶连续偏导数?
则有这里?是?的整个边界的外侧? cos?,cos?,cos?是?在点
(x?y?z)处的法向量的方向余弦?
R d x d yQ d z d xP d y d zdvzRyQxP )(?
或 dSRQPdvzRyQxP )c osc osc os()(
上页 下页 铃结束返回首页 下页例 1 利用高斯公式计算曲面积分 x d y d zzyd x d yyx )()(
其中?为柱面 x2?y2?1及平面 z?0? z?3所围成的空间闭区域?的整个边界曲面的外侧?
这里 P?(y?z)x?Q?0?R?x?y?解
zyxP 0 yQ? 0 zR?
由高斯公式?有
d y d zzyd x d yyx )()(
2
9 )s in( )( 2
0
1
0
3
0
dzzddd x d y d zzy? 29 )s in( )( 2
0
1
0
3
0
dzzddd x d y d zzy? 29 )sin( )( 2 1
0
3
0
dzzdddxdydzzy?
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dvzyxdSzyx )(2)coscoscos(
1
222 4
2
1 h
>>>
下页例 2 计算曲面积分 dSzyx )c o sc o sc o s( 222
其中
为锥面 x2?y2?z2介于平面 z?0及 z?h(h>0)之间的部分的下侧? cos?,cos?,cos?是?上点 (x,y,z)处的法向量的方向余弦?
设?1为 z?h(x2?y2?h2)的上侧为?
与?1所围成的空间闭区域?则解
dvzyxdSzyx )(2)c o sc o sc o s(
1
222 4
2
1 h
因此 444222 2121)c o sc o sc o s( hhhdSzyx
dvzyxdSzyx )(2)c o sc o sc o s(
1
222 4
2
1 h
因此 444222 2121)c o sc o sc o s( hhhdSzyx
因此 444222 21)c o sc o sc o s( hhhdSzyx
而 422222
111
)c o sc o sc o s( hdShdSzdSzyx
而 422222
111
)co sco sco s( hdShdSzdSzyx
而 422222
111
)coscoscos( hdShdSzdSzyx
而 42222
111
)coscocos( hdShdSzdSzyx
Gauss公式上页 下页 铃结束返回首页例 3 设函数 u(x,y,z)和 v(x,y,z)在闭区域?上具有一阶及二阶连续偏导数是?的整个边界曲面?n是?的外法线方向? 证明
dx dy dzzvzuyvyuxvxudSnvuv dx dy dzu )(
说明,
符号 222 zyx 称为拉普拉斯算子?
2
2
2
2
2
2
z
v
y
v
x
vv
Gauss公式上页 下页 铃结束返回首页例 3 设函数 u(x,y,z)和 v(x,y,z)在闭区域?上具有一阶及二阶连续偏导数是?的整个边界曲面?n是?的外法线方向? 证明
dx dy dzzvzuyvyuxvxudSnvuv dx dy dzu )(
设与 n同向的单位向量为 (cos cos cos?)? 则证
dS
z
v
y
v
x
vudS
n
vu )c o sc o sc o s(
dS
z
vu
y
vu
x
vu ]c o s)(c o s)(c o s)[(
d x d y d z
z
vu
zy
vu
yx
vu
x )]()()([
dx dy dz
z
v
z
u
y
v
y
u
x
v
x
uv d x d y dzu )(?
将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式?
>>>
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高斯公式的物理意义高斯公式
dSvdvzRyQxP n)(?
dSRQPdv
z
R
y
Q
x
P )c o sc o sc o s()(
其中 vn?v?n?PcosQcosRcos
可以简写成公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域?的流体的总质量? 左端可解释为分布在?内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量?
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dSvVzRyQxP n1|)( ),,(
提示,其左端表示?内源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值?
提示 其左端表示流体在点 M的源头强度 —— 单位时间单位体积分内所产生的流体质量?称为 v在点 M的散度?
散度由积分中值定理得下页设?的体积为 V?由高斯公式得
dSvVdvzRyQxPV n1)(1?
令?缩向一点 M(x?y?z)得
dSvVzRyQxP n
M
1lim?
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散度设某向量场由 A(x? y? z)?P(x? y? z)i?Q(x? y? z)j?R(x? y? z)k
给出?其中 P?Q? R具有一阶连续偏导数?则称为向量场 A的散度?记作 divA?即
z
R
y
Q
x
P
z
R
y
Q
x
P
Ad iv?
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dSnA?
通量下页向量场 A(x?y?z)?P(x?y?z)i?Q(x?y?z)j?R(x?y?z)k的散度,
z
R
y
Q
x
P
Ad iv?
设?是场内的一片有向曲面?n是?上点 (x?y?z)处的单位法向量?则称为向量场 A通过曲面?向着指定侧的通量 (或流量 )?
散度
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通量向量场 A(x?y?z)?P(x?y?z)i?Q(x?y?z)j?R(x?y?z)k的散度,
z
R
y
Q
x
P
Ad iv?
向量场 A通过曲面?向着指定侧的通量 (或流量 ):
散度
高斯公式的另一形式
dSdv
nAAd i v? 或
dSAdv nAd i v?
结束
dSnA?
Gauss公式
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定理 1
设空间闭区域?是由分片光滑的闭曲面?所围成? 函数
P(x? y? z),Q(x? y? z),R(x? y? z)在?上具有一阶连续偏导数?
则有这里?是?的整个边界的外侧? cos?,cos?,cos?是?在点
(x?y?z)处的法向量的方向余弦?
R d x d yQ d z d xP d y d zdvzRyQxP )(?
或 dSRQPdvzRyQxP )c osc osc os()(
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其中?为柱面 x2?y2?1及平面 z?0? z?3所围成的空间闭区域?的整个边界曲面的外侧?
这里 P?(y?z)x?Q?0?R?x?y?解
zyxP 0 yQ? 0 zR?
由高斯公式?有
d y d zzyd x d yyx )()(
2
9 )s in( )( 2
0
1
0
3
0
dzzddd x d y d zzy? 29 )s in( )( 2
0
1
0
3
0
dzzddd x d y d zzy? 29 )sin( )( 2 1
0
3
0
dzzdddxdydzzy?
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dvzyxdSzyx )(2)coscoscos(
1
222 4
2
1 h
>>>
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其中
为锥面 x2?y2?z2介于平面 z?0及 z?h(h>0)之间的部分的下侧? cos?,cos?,cos?是?上点 (x,y,z)处的法向量的方向余弦?
设?1为 z?h(x2?y2?h2)的上侧为?
与?1所围成的空间闭区域?则解
dvzyxdSzyx )(2)c o sc o sc o s(
1
222 4
2
1 h
因此 444222 2121)c o sc o sc o s( hhhdSzyx
dvzyxdSzyx )(2)c o sc o sc o s(
1
222 4
2
1 h
因此 444222 2121)c o sc o sc o s( hhhdSzyx
因此 444222 21)c o sc o sc o s( hhhdSzyx
而 422222
111
)c o sc o sc o s( hdShdSzdSzyx
而 422222
111
)co sco sco s( hdShdSzdSzyx
而 422222
111
)coscoscos( hdShdSzdSzyx
而 42222
111
)coscocos( hdShdSzdSzyx
Gauss公式上页 下页 铃结束返回首页例 3 设函数 u(x,y,z)和 v(x,y,z)在闭区域?上具有一阶及二阶连续偏导数是?的整个边界曲面?n是?的外法线方向? 证明
dx dy dzzvzuyvyuxvxudSnvuv dx dy dzu )(
说明,
符号 222 zyx 称为拉普拉斯算子?
2
2
2
2
2
2
z
v
y
v
x
vv
Gauss公式上页 下页 铃结束返回首页例 3 设函数 u(x,y,z)和 v(x,y,z)在闭区域?上具有一阶及二阶连续偏导数是?的整个边界曲面?n是?的外法线方向? 证明
dx dy dzzvzuyvyuxvxudSnvuv dx dy dzu )(
设与 n同向的单位向量为 (cos cos cos?)? 则证
dS
z
v
y
v
x
vudS
n
vu )c o sc o sc o s(
dS
z
vu
y
vu
x
vu ]c o s)(c o s)(c o s)[(
d x d y d z
z
vu
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yx
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x )]()()([
dx dy dz
z
v
z
u
y
v
y
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将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式?
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高斯公式的物理意义高斯公式
dSvdvzRyQxP n)(?
dSRQPdv
z
R
y
Q
x
P )c o sc o sc o s()(
其中 vn?v?n?PcosQcosRcos
可以简写成公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域?的流体的总质量? 左端可解释为分布在?内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量?
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dSvVzRyQxP n1|)( ),,(
提示,其左端表示?内源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值?
提示 其左端表示流体在点 M的源头强度 —— 单位时间单位体积分内所产生的流体质量?称为 v在点 M的散度?
散度由积分中值定理得下页设?的体积为 V?由高斯公式得
dSvVdvzRyQxPV n1)(1?
令?缩向一点 M(x?y?z)得
dSvVzRyQxP n
M
1lim?
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散度设某向量场由 A(x? y? z)?P(x? y? z)i?Q(x? y? z)j?R(x? y? z)k
给出?其中 P?Q? R具有一阶连续偏导数?则称为向量场 A的散度?记作 divA?即
z
R
y
Q
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通量下页向量场 A(x?y?z)?P(x?y?z)i?Q(x?y?z)j?R(x?y?z)k的散度,
z
R
y
Q
x
P
Ad iv?
设?是场内的一片有向曲面?n是?上点 (x?y?z)处的单位法向量?则称为向量场 A通过曲面?向着指定侧的通量 (或流量 )?
散度
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通量向量场 A(x?y?z)?P(x?y?z)i?Q(x?y?z)j?R(x?y?z)k的散度,
z
R
y
Q
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P
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向量场 A通过曲面?向着指定侧的通量 (或流量 ):
散度
高斯公式的另一形式
dSdv
nAAd i v? 或
dSAdv nAd i v?
结束
dSnA?
Gauss公式
