一、常数项级数的概念二、收敛级数的基本性质
§ 11.1 常数项级数的概念和性质上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页给定一个数列
u1,u2,u3,,un,,
则由这数列构成的表达式
u1?u2?u3un
一、常数项级数的概念
常数项级数其中第 n项 un叫做级数的一般项,
叫做 ( 常数项 ) 无穷级数,简称 ( 常数项 ) 级数,记为
1n n
u,即
321
1

nn n
uuuuu,
下页叫做 ( 常数项 ) 无穷级数,简称 ( 常数项 ) 级数,记为
1n n
u,即上页 下页 铃结束返回首页一、常数项级数的概念
常数项级数称为级数,其中第 n项 un叫做级数的一般项,
表达式
级数的部分和级数的前 n项的和
321
1

nn n
uuuuu,
n
n
i
in uuuuus
321
1
称为级数
1n n
u 的部分和,
下页上页 下页 铃结束返回首页
级数举例
1 312111
1

nnn
1 312111
1

nnn
1 312111
1

nnn
调和级数
)1( 1 321211)1( 1
1

nnnnn
)11 32 121 1)1( 1
1

nnnnn
)1( 1 32211)1( 1
1

nnnnn
2
0

nn
n
aqaqaqaaq 2
0

nn
n
aqaqaqaaq 几何级数
1 31211 1
1

pppn p nn
1 31211 1
1

pppn pn
1 31211 1
1

pppn p nn
级数的展开形式 备注一般项简写形式等比级数aqn-1
p— 级数下页上页 下页 铃结束返回首页
级数敛散性定义如果级数
1n n
u 的部分和数列 }{ ns 有极限 s,即
ss nnlim,
则称无穷级数
1n n
u 收敛,这时极限 s 叫做这级数的和,并写成
321
1

nn n
uuuuus?
如果 }{ ns 没有极限,则称无穷级数
1n n
u 发散,
下页上页 下页 铃结束返回首页
级数敛散性定义如果级数的部分和数列有极限,则称级数收敛? 如果级数的部分和数列没有极限,则称级数发散,
余项
rn?s-sn?un?1?un?2
当级数
1n n
u 收敛时,级 数 的 和 s 与 部分和 s n 的差值叫做级数
1n n
u 的余项,
下页上页 下页 铃结束返回首页其和为 qa-1,
如果 q?1,则部分和解
q
aq
q
a
q
aqaaqaqaqas nnn
n ---?-
- -
111 12,
当 |q|?1时,因为 sn随着 n为奇数或偶数而等于 a或零,
q
aq
q
a
q
aqaaqaqaqas nnn
n ---?-
- -
111 12,
例 1
例 1 讨论等比级数 n
n
aq
0
( a? 0) 的敛散性,
当 | q | < 1 时,因为 qas nn - 1l i m,所以此时 级数 n
n
aq
0
收敛,当 | q | < 1 时,因为 qas nn - 1l i m,所以此时 级数 n
n
aq
0
收敛,
当 | q | > 1 时,因为 nn slim,所以此时 级数 n
n
aq
0
发散,当 | q | > 1 时,因为 nn slim,所以此时 级数 n
n
aq
0
发散,
所以 s n 的极限不存在,从 而 这时级数 n
n
aq
0
也发散,所以 s n 的极限不存在,从 而 这时级数 n
n
aq
0
也发散,
下页上页 下页 铃结束返回首页例 2 证明级数
1?2?3n
是发散的,
此级数的部分和为证
2
)1( 321 nnns
n,2
)1( 321 nnns
n,
显然, nn slim,因此所给级数是发散的,显然, nn slim,因此所给级数是发散的,
下页仅当 | q |? 1 时,几何级数 n
n
aq?
1
( a? 0) 收敛,其和为 qa-1,
上页 下页 铃结束返回首页因为解
)1(
1
43
1
32
1
21
1
nns n
1
11)
1
11( )
3
1
2
1()
2
11(
---?-? nnn,
提示,
1
11
)1(
1
- nnnnu n,
例 3
例 3 判别无穷级数
1 )1(
1
n nn
的收敛性,
1
11)
1
11( )
3
1
2
1()
2
11(
---?-? nnn,
所 以 1)111(limlim- ns nnn,从 而 这级数收敛,它的和是 1,所 以 1)111(limlim- ns nnn,从 而 这级数收敛,它的和是 1,
首页仅当 | q |? 1 时,几何级数 n
n
aq?
1
( a? 0) 收敛,其和为 qa-1,
上页 下页 铃结束返回首页二、收敛级数的基本性质性质 1
性质 1 如果 su
n n

1
,则 ksku
n n

1
,
这是因为,设
1n n
u 与
1n n
ku 的部分和分别为 s n 与? n,则
) (limlim 21 nnnn kukuku
ksskuuuk n
nnn


lim) (lim 21,ksskuuuk n
nnn


lim) (lim 2,ksskuuuk n
nnn


lim) (lim 21,
下页上页 下页 铃结束返回首页二、收敛级数的基本性质
sn,?n,tn,则性质 1
性质 1 如果 su
n n

1
,则 ksku
n n

1
,
性质 2
性质 2 如果 su
n n

1
,
1n n
v,则
svu n
n n
)(
1
,
这是因为,如果
1n n
u,
1n n
v,)(
1 nn n
vu
的部分和分别为
)]( )()[(limlim 2211 nnnnn vuvuvu t
)] () [(lim 2121 nnn vvvuuu
ss nnn )(lim, s nnn )(lim,
下页上页 下页 铃结束返回首页级数 )1( 1 54 143 1 nn 也是收敛的,
级数 )1( 1 43 132 121 11 0 0 0 0 nn 也是收敛的,
二、收敛级数的基本性质性质 3 在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性,
比如,级数 )1( 1 43 132 121 1 nn 是收敛的,
性质 1
性质 1 如果 su
n n

1
,则 ksku
n n

1
,
性质 2
性质 2 如果 su
n n

1
,
1n n
v,则
svu n
n n
)(
1
,
下页上页 下页 铃结束返回首页二、收敛级数的基本性质性质 4 如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变,
应注意的问题,如果加括号后所成的级数收敛,则不能断定去括号后原来的级数也收敛,例如,级数 (1-1)+(1-1) +收敛,但级数 1-1?1-1却是发散的,
性质 1
性质 1 如果 su
n n

1
,则 ksku
n n

1
,
性质 2
性质 2 如果 su
n n

1
,
1n n
v,则
svu n
n n
)(
1
,
性质 3 在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性,
下页上页 下页 铃结束返回首页二、收敛级数的基本性质推论 如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散,
性质 1
性质 1 如果 su
n n

1
,则 ksku
n n

1
,
性质 2
性质 2 如果 su
n n

1
,
1n n
v,则
svu n
n n
)(
1
,
性质 4 如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变,
性质 3 在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性,
下页上页 下页 铃结束返回首页
级数收敛的必要条件证注意,
(1)级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件,不能因为一般项趋于零就断定级数收敛,
(2)如果一般项不趋于零,则级数必发散,因此此性质常用于判断级数发散,
性质 5
性质 5 如果
1n n
u 收敛,则 0l i m 0 nn u,
证 设级数
1n
nu 的部分和为 s n,且 ss nnlim,则
0limlim)(limlim 110?-?-?-? -- ssssssu nnnnnnnnn,0limlim)(limlim 110?-?-?-? -- ssssssu nnnnnnnnn,0limlim)limlim 110?-?-?-? -- ssssssu nnnnnnnnn,
下页上页 下页 铃结束返回首页故 0)(lim 2?-
nnn
ss,矛盾,这矛盾说明级数
1
1
n n
必定发散,
显然有 ss n
n

lim 及 ss n
n
2
lim,于是 0)(lim 2?-
nnn
ss,
证 假若级数 n
n
1
1
收敛且其和为 s,s n 是它的部分和,
例 4 证明调和级数 n
n
1
1
是发散的,
级数收敛的必要条件证但另一方面,
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2- nnnnnnss nn,2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2 nnnnnnss nn,2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2- nnnnnnss nn,2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 1
1
1
2- nnnnnnss nn,
性质 5
性质 5 如果
1n n
u 收敛,则 0l i m 0 nn u,
结束证 假若级数 n
n
1
1
收敛且其和为 s,s n 是它的部分和,
显然有 ss n
n

lim 及 ss n
n
2
lim,于是 0)(lim 2?-
nnn
ss,
故 0)(lim 2?-
nnn
ss,矛盾,这矛盾说明级数
1
1
n n
必定发散,