一、斯托克斯公式二、环流量与旋度上页 下页 铃结束返回首页
§ 10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度上页 下页 铃结束返回首页一、斯托克斯公式
定理下页设?为分段光滑的空间有向闭曲线是以?为边界的分片光滑的有向曲面的正向与?的侧符合右手规则?函数 P(x?y?z)、
Q(x?y?z),R(x?y?z)在曲面?(连同边界 )上具有一阶连续偏导数?
则有







d x d y
y
P
x
Qd z d x
x
R
z
Pd y d z
z
Q
y
R )()()(
R d zQ d yP d x?
>>>记忆方法上页 下页 铃结束返回首页 下页例 1 利用斯托克斯公式计算曲线积分?
y d zx d yz d x? 其中?
其中?为平面 x?y?z?1被三个坐标面所截成的三角形的整个边界?它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则?
设?为 平面 x?y?z?1被三个坐标面所截成的三角形?解
Stokes公式
2
3
xyzxyz DDD
d x d yd z d xd y d zd x d yd z d xd y d z?
2
3
xyzxyz DDD
d x d yd z d xd y d zd x d yd z d xd y d z? 23
xyzxyz DDD
dxdydzdxdydzdxdydzdxdydz?
yxz
zyx
dx dydz d xdy d z
y dzx d yz dx



yxz
zyx
dx dyd xdy d z
y dzx d yz dx



按斯托克斯公式?有上页 下页 铃结束返回首页 下页
)31,31,31()c o s,c o s,( c o s
dS
yxxzxy
zyx
I


222222
c osc osc os


dSdSzyx 2334)(34 29332
xyD
d x d y?
取?为平面 2x?2y?2z?3的上侧被?所围成的部分?解
上侧 的单位法向量为例 2 计算曲线积分 dzyxdyxzdxzyI )()()( 222222
其中?是用平面 2x?2y?2z?3截立方体? 0?x?1? 0?y?1? 0?z?1的表面所得的截痕?若从 x轴的正向看去取逆时针方向?


dSdSzyx 2334)(34 29332
xyD
d x d y

dSdSzyx 2334)(34 2933
xyD
x d y

dSdSzyx 2334)(34 29332
xyD
xdy?
Stokes公式上页 下页 铃结束返回首页二、环流量与旋度向量场 A?(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))所确定的向量场
旋度称为向量场 A的旋度? 记为 rotA? 即旋度的记忆法?
kjiA )()()( yPxQxRzPzQyRr o t?
kjiA )()()( yPxQxRzPzQyRr o t?
RQP
zyx?

kji
Ar o t?
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斯托克斯公式的向量形式其中 n是曲面?上点 (x,y,z)处的单位法向量? t是?的正向边界曲线?上点 (x,y,z)处的单位切向量?
沿有向闭曲线?的曲线积分叫做向量场 A沿有向闭曲线?的环流量?
环流量


dsdS tAnAr o t? 或

dsAdS tn)( Ar o t?
向量场 A沿有向闭曲线?的环流量等于向量场 A的旋度场通过?所张的曲面?的通量?


dsAR d zQ d yP d x t
斯托克斯公式的物理意义结束Stokes公式