一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛
§ 11.2 常数项级数的审敛法上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、正项级数及其审敛法正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界,
正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数,
这是因为正项级数的部分和数列 {sn}是单调增加的,而单调有 界数列是有极限,
下页
定理 1(正项级数收敛的充要条件 )
上页 下页 铃结束返回首页
定理 2(比较审敛法 )
设
1n n
u 和
1n n
v 都是正项级数,且 u n? v n ( n? 1,2, ),
>>>?推论设
1n n
u 和
1n n
v 都是正项级数,且 u n? kv n ( k? 0,n? N ),
若
1n n
v 收敛,则
1n n
u 收敛? 若
1n n
u 发散,则
1n n
v 发散,
若
1n n
v 收敛,则
1n n
u 收敛? 若
1n n
u 发散,则
1n n
v 发散,
下页上页 下页 铃结束返回首页
>>>
而级数 ]1)1( 1[ 11
2
pp
n nn
收敛,所 以 级数 p
n n
1
1
也 收敛,
解下页
定理 2(比较审敛法 )
例 1 讨论 p? 级数 )0( 1
1
pn p
n
的收敛性,
解 当 p? 1 时,nn p 11?,而 级数
1
1
n n
发散,
当 p? 1 时,]1)1( 1[111 11 ppp nnpn ( n? 2,3,),
而级数 ]1)1( 1[ 11
2
pp
n nn
收敛,所 以 级数 p
n n
1
1
也 收敛,
所 以 级数 p
n n
1
1
也 发散,
>>>
解 当 p? 1 时,nn p 11?,而 级数
1
1
n n
发散,
设 ∑un和 ∑vn都是正项级数,且 un?kvn(k>0,?n?N),若级数
∑vn收敛,则级数 ∑un收敛? 若级数 ∑un发散,则级数 ∑vn发散,
上页 下页 铃结束返回首页证 因为 11)1( 1)1( 1 2 nnnn,
设 ∑un和 ∑vn都是正项级数,且 un?kvn(k>0,?n?N),若级数
∑vn收敛,则级数 ∑un收敛? 若级数 ∑un发散,则级数 ∑vn发散,
p?级数的收敛性证下页
定理 2(比较审敛法 )
p? 级数 p
n n
1
1
当 p? 1 时收敛,当 p? 1 时发散,
例 2 证明级数
1 )1(
1
n nn
是发散的,
而级数 11
1?
nn
发散,故 级 数?
1 )1(
1
n nn
也 发散,而级数 11
1?
nn
发散,故 级 数?
1 )1(
1
n nn
也 发散,
上页 下页 铃结束返回首页
定理 3(比较审敛法的极限形式 )
设
1n n
u 和
1n n
v 都是正项级 数,
( 1 ) 如果 lvu
n
n
nl i m (0? l ),且?
1n n
v 收敛,则
1n n
u 收敛?
( 2 ) 如果 lvu
n
n
nl i m (0? l ),且?
1n n
v 发散,则
1n n
u 发散,
下页例 3 判别级数
1
1s i n
n n
的收敛性,
解 因为 1
1
1s in
lim?
n
n
n
,而级数?
1
1
n n
发散,解所 以 级数
1
1s in
n n
也 发散,
解 因为 1
1
1s in
lim?
n
n
n
,而级数?
1
1
n n
发散,
上页 下页 铃结束返回首页
>>>
下页例 4 判别级数
1 2
)11l n (
n n
的收敛性,
解 解 因为 1
1
)11ln (
lim
2
2
n
n
n
,而级数 2
1
1
nn
收敛,解 因为 1
1
)11ln (
lim
2
2
n
n
n
,而级数 2
1
1
nn
收敛,
所 以 级数
1 2
)11ln (
n n
也 收敛,
定理 3(比较审敛法的极限形式 )
设
1n n
u 和
1n n
v 都是正项级 数,
( 1 ) 如果 lvu
n
n
nl i m (0? l ),且?
1n n
v 收敛,则
1n n
u 收敛?
( 2 ) 如果 lvu
n
n
nl i m (0? l ),且?
1n n
v 发散,则
1n n
u 发散,
上页 下页 铃结束返回首页解 因为 101lim
321
)1( 321lim lim 1
nn
n
u
u
nnn
n
n
,
下页收敛? 当1(或)时级数发散? 当1时级数可能收敛也可能发散,
设
1n n
u 为正项级数,如果
n
n
n u
u 1l i m,则当 1 时级数
定理 4(比值审敛法,达朗贝尔判别法 )
解所以,根据比值审敛法可知所给级数收敛,
例 5 证明级数
)1( 321 1 321 121 1111 n
是收敛的,
解 因为 101lim
321
)1( 321lim lim 1
nn
n
u
u
nnn
n
n
,解 因为 101lim
321
)1( 321lim lim 1
nn
n
u
u
nnn
n
n
,
上页 下页 铃结束返回首页所以,根据比值审敛法可知所给级数发散,
下页例 6 判别级数 10 ! 10 32110 2110 1 32 nn 的收敛性,
解解 因为
10
1lim
!
10
10
)!1(lim lim
1
1 n
n
n
u
u
n
n
nnn
n
n
,解 因为
10
1lim
!
10
10
)!(lim lim
1
1 n
n
n
u
u
n
n
nnn
n
n
,解 因为
10
1lim
!
10
10
)!1(lim lim
1
1 n
n
n
u
u
n
n
nnn
n
n
,
收敛? 当1(或)时级数发散? 当1时级数可能收敛也可能发散,
设
1n n
u 为正项级数,如果
n
n
n u
u 1l i m,则当 1 时级数
定理 4(比值审敛法,达朗贝尔判别法 )
上页 下页 铃结束返回首页例 7 判别级数
n nn 2)12(
1 的收敛性,
提示,
1)22()12( 2)12(lim lim 1
nn
nn
u
u
nn
n
n
,比值审敛法失效,
所以,根据 比值审敛法可知所给级数收敛,
1)22()12( 2)12(lim lim 1
nn
nn
u nn
n
n
,比值审敛法失效,1)22()12( 2)12(lim lim 1
nn
nn
u
u
nn
n
n
,比值审敛法失效,12()12( 2)12(lim lim 1
nn
nn
u
u
nn
n
n
,比值审敛法失效,
下页解解 因为 212)12( 1 nnn,而级数 2
1
1
nn?
收敛,解 因为 212)12( nnn,而级数 2
1
1
nn?
收敛,解 因为 12)12( 1 nn,而级数 2
1
1
nn?
收敛,
收敛? 当1(或)时级数发散? 当1时级数可能收敛也可能发散,
设
1n n
u 为正项级数,如果
n
n
n u
u 1l i m,则当 1 时级数
定理 4(比值审敛法,达朗贝尔判别法 )
上页 下页 铃结束返回首页 下页
定理 5(根值审敛法,柯西判别法 )
设
1n n
u 为正项级数,如果 n nn ul i m,则 当 1 时级数收敛?当1(或)时级数发散?当1时级数可能收敛也可能发散,
例 8 证明级数 1 312 11 32 nn 是收敛的,
01lim 1lim lim nnu nn nnn nn,
所以,根据根值审敛法可知所给级数收敛,
因为解
01lim 1lim lim nnu nn nnn nn,01lim 1lim lim nnu nn nnnn,
上页 下页 铃结束返回首页
定理 5(根值审敛法,柯西判别法 )
设
1n n
u 为正项级数,如果 n nn ul i m,则 当 1 时级数收敛?当1(或)时级数发散?当1时级数可能收敛也可能发散,
例 9 判定级数
1 2
)1(2
n n
n 的收敛性,
所以,根据根值审敛法可知所给级数收敛,
因为解
2
1)1(2
2
1limlim
n n
n
n n
n
u,21)1(221limlim
n n
n
n n
n
u,21)1(221limlim
n n
nnn
u,
下页上页 下页 铃结束返回首页
定理 6(极限审敛法 )
设
1n n
u 为正项级数,
( 1 ) 如果 )lim(0lim nnnn nulnu 或,则级数
1n n
u 发散?
( 2 ) 如果 p? 1,而 )0( lim llun npn,则级数
1n n
u 收敛,
例 10 判定级数
1 2
)11l n (
n n
的收敛性,
因为解
1)11ln(lim)11ln(limlim 22222 nnnnn nnnun,
根据极限审敛法,知所给级数收敛,
1)11ln (lim)11ln (limlim 22222 nnnnn nnnun,1)11ln (lim)11ln (limlim 22222 nnnn nnnun
下页上页 下页 铃结束返回首页
定理 6(极限审敛法 )
设
1n n
u 为正项级数,
( 1 ) 如果 )lim(0lim nnnn nulnu 或,则级数
1n n
u 发散?
( 2 ) 如果 p? 1,而 )0( lim llun npn,则级数
1n n
u 收敛,
例 11 判定 级数 )c o s1(1
1 n
n
n
的收敛性,
2222323
2
1)(
2
11lim)c o s1(1limlim
nn
nn
nnnun nnnn,
2222323
2
1)(
2
11lim)c o s1(1limlim
nn
nn
nnnun nnnn,
因为解根据极限审敛法,知所给级数收敛,
首页上页 下页 铃结束返回首页二、交错级数及其审敛法
交错级数交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的,
下页交错级数的一般形式为
1
1)1(
n n
n u,其中 0?nu,
1)1(
1
1
n
n
n 是交错级数,
1
1 c o s1)1(
n
n
n
n? 不是交错级数,
例如,
上页 下页 铃结束返回首页二、交错级数及其审敛法
交错级数交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的,
交错级数的一般形式为
1
1)1(
n n
n u,其中 0?nu,
定理 7(莱布尼茨定理 )
如果交错级数
1
1)1(
n n
n u 满足条件,
(1)un?un?1(n?1,2,3,)?
( 2 ) 0lim nn u,
则级数收敛,且其和 s?u1,其余项 rn的绝对值 |rn|?un?1.>>>
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( 1 ) 1111 nn unnu ( n? 1,2,),( 2 ) 01limlim nu nnn,
这是一个交错级数,解由莱布尼茨定理,级数是收敛的,且其和 s<u1?1,
余项 11|| 1 nur nn,
首页则级数收敛,且其和 s?u1,其余项 rn的绝对值 |rn|?un?1,
如果交错级数
1
1)1(
n n
n u 满足条件,
定理 7(莱布尼茨定理 )
( 1 ) u n? u n? 1 ( n? 1,2,3,)? ( 2 ) 0l i m nn u,
因为此级数满足
( 1 ) 1111 nn unnu ( n? 1,2,),( 2 ) 01limlim nu nnn,
例 10 证明级数 1)1(
1
1
n
n
n 收敛,并估计和及余项,
例 12
上页 下页 铃结束返回首页三、绝对收敛与条件收敛
绝对收敛与条件收敛下页若级数
1
||
n n
u 收敛,则称级数
1n n
u 绝对收敛? 若级数
1n n
u
收敛,而级数
1
||
n n
u 发散,则称级
1n n
u 条件收敛,
例如,
级数
1 2
1 1)1(
n
n
n 是绝对收敛的,
级数
1
1 1)1(
n
n
n 是条件收敛的,
上页 下页 铃结束返回首页三、绝对收敛与条件收敛
绝对收敛与条件收敛若级数
1
||
n n
u 收敛,则称级数
1n n
u 绝对收敛? 若级数
1n n
u
收敛,而级数
1
||
n n
u 发散,则称级
1n n
u 条件收敛,
如果级数
1n n
u 绝对收敛,则级数
1n n
u 必定收敛,
定理 8(绝对收敛与收敛的关系 )
应注意的问题,
如果级数
1
||
n n
u 发散,我们不能断定级数
1n n
u 也发散,
下页上页 下页 铃结束返回首页解 因为 | 22 1|s in nn na?,而级数 2
1
1
nn?
是收敛的,所以 级数解下页如果级数
1n n
u 绝对收敛,则级数
1n n
u 必定收敛,
定理 8(绝对收敛与收敛的关系 )
1 2
|s in|
n n
na 也收敛,从而级数
1 2
s in
n n
na 绝对收敛,
解 因为 | 22 1|s in nn na?,而级数 2
1
1
nn?
是收敛的,所以 级数 解 因为 | 22 1|s in nn na?,而级数 2
1
1
nn?
是收敛的,所以 级数
1 2
|s in|
n n
na 也收敛,从而级数
1 2
s in
n n
na 绝对收敛,
例 11 判别级数
1 2
s in
n n
na 的收敛性,例 13
上页 下页 铃结束返回首页 结束如果级数
1n n
u 绝对收敛,则级数
1n n
u 必定收敛,
定理 8(绝对收敛与收敛的关系 )
解 由 2)11(21|| nnn nu,有解
121)11(lim21||lim enu nnn nn,
可知 0lim nn u,因此级数
1
2)11(
2
1)1(
n
n
n
n
n 发散,
121)11(lim21||lim enu nnn nn,121)11(lim21||lim enu nnn nn,
可知 0l i m nn u,因此级数
1
2)11(
2
1)1(
n
n
n
n
n 发散,
例 12 判别级数
1
2)11(
2
1)1(
n
n
n
n
n 的收敛性,
例 14
§ 11.2 常数项级数的审敛法上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、正项级数及其审敛法正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界,
正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数,
这是因为正项级数的部分和数列 {sn}是单调增加的,而单调有 界数列是有极限,
下页
定理 1(正项级数收敛的充要条件 )
上页 下页 铃结束返回首页
定理 2(比较审敛法 )
设
1n n
u 和
1n n
v 都是正项级数,且 u n? v n ( n? 1,2, ),
>>>?推论设
1n n
u 和
1n n
v 都是正项级数,且 u n? kv n ( k? 0,n? N ),
若
1n n
v 收敛,则
1n n
u 收敛? 若
1n n
u 发散,则
1n n
v 发散,
若
1n n
v 收敛,则
1n n
u 收敛? 若
1n n
u 发散,则
1n n
v 发散,
下页上页 下页 铃结束返回首页
>>>
而级数 ]1)1( 1[ 11
2
pp
n nn
收敛,所 以 级数 p
n n
1
1
也 收敛,
解下页
定理 2(比较审敛法 )
例 1 讨论 p? 级数 )0( 1
1
pn p
n
的收敛性,
解 当 p? 1 时,nn p 11?,而 级数
1
1
n n
发散,
当 p? 1 时,]1)1( 1[111 11 ppp nnpn ( n? 2,3,),
而级数 ]1)1( 1[ 11
2
pp
n nn
收敛,所 以 级数 p
n n
1
1
也 收敛,
所 以 级数 p
n n
1
1
也 发散,
>>>
解 当 p? 1 时,nn p 11?,而 级数
1
1
n n
发散,
设 ∑un和 ∑vn都是正项级数,且 un?kvn(k>0,?n?N),若级数
∑vn收敛,则级数 ∑un收敛? 若级数 ∑un发散,则级数 ∑vn发散,
上页 下页 铃结束返回首页证 因为 11)1( 1)1( 1 2 nnnn,
设 ∑un和 ∑vn都是正项级数,且 un?kvn(k>0,?n?N),若级数
∑vn收敛,则级数 ∑un收敛? 若级数 ∑un发散,则级数 ∑vn发散,
p?级数的收敛性证下页
定理 2(比较审敛法 )
p? 级数 p
n n
1
1
当 p? 1 时收敛,当 p? 1 时发散,
例 2 证明级数
1 )1(
1
n nn
是发散的,
而级数 11
1?
nn
发散,故 级 数?
1 )1(
1
n nn
也 发散,而级数 11
1?
nn
发散,故 级 数?
1 )1(
1
n nn
也 发散,
上页 下页 铃结束返回首页
定理 3(比较审敛法的极限形式 )
设
1n n
u 和
1n n
v 都是正项级 数,
( 1 ) 如果 lvu
n
n
nl i m (0? l ),且?
1n n
v 收敛,则
1n n
u 收敛?
( 2 ) 如果 lvu
n
n
nl i m (0? l ),且?
1n n
v 发散,则
1n n
u 发散,
下页例 3 判别级数
1
1s i n
n n
的收敛性,
解 因为 1
1
1s in
lim?
n
n
n
,而级数?
1
1
n n
发散,解所 以 级数
1
1s in
n n
也 发散,
解 因为 1
1
1s in
lim?
n
n
n
,而级数?
1
1
n n
发散,
上页 下页 铃结束返回首页
>>>
下页例 4 判别级数
1 2
)11l n (
n n
的收敛性,
解 解 因为 1
1
)11ln (
lim
2
2
n
n
n
,而级数 2
1
1
nn
收敛,解 因为 1
1
)11ln (
lim
2
2
n
n
n
,而级数 2
1
1
nn
收敛,
所 以 级数
1 2
)11ln (
n n
也 收敛,
定理 3(比较审敛法的极限形式 )
设
1n n
u 和
1n n
v 都是正项级 数,
( 1 ) 如果 lvu
n
n
nl i m (0? l ),且?
1n n
v 收敛,则
1n n
u 收敛?
( 2 ) 如果 lvu
n
n
nl i m (0? l ),且?
1n n
v 发散,则
1n n
u 发散,
上页 下页 铃结束返回首页解 因为 101lim
321
)1( 321lim lim 1
nn
n
u
u
nnn
n
n
,
下页收敛? 当1(或)时级数发散? 当1时级数可能收敛也可能发散,
设
1n n
u 为正项级数,如果
n
n
n u
u 1l i m,则当 1 时级数
定理 4(比值审敛法,达朗贝尔判别法 )
解所以,根据比值审敛法可知所给级数收敛,
例 5 证明级数
)1( 321 1 321 121 1111 n
是收敛的,
解 因为 101lim
321
)1( 321lim lim 1
nn
n
u
u
nnn
n
n
,解 因为 101lim
321
)1( 321lim lim 1
nn
n
u
u
nnn
n
n
,
上页 下页 铃结束返回首页所以,根据比值审敛法可知所给级数发散,
下页例 6 判别级数 10 ! 10 32110 2110 1 32 nn 的收敛性,
解解 因为
10
1lim
!
10
10
)!1(lim lim
1
1 n
n
n
u
u
n
n
nnn
n
n
,解 因为
10
1lim
!
10
10
)!(lim lim
1
1 n
n
n
u
u
n
n
nnn
n
n
,解 因为
10
1lim
!
10
10
)!1(lim lim
1
1 n
n
n
u
u
n
n
nnn
n
n
,
收敛? 当1(或)时级数发散? 当1时级数可能收敛也可能发散,
设
1n n
u 为正项级数,如果
n
n
n u
u 1l i m,则当 1 时级数
定理 4(比值审敛法,达朗贝尔判别法 )
上页 下页 铃结束返回首页例 7 判别级数
n nn 2)12(
1 的收敛性,
提示,
1)22()12( 2)12(lim lim 1
nn
nn
u
u
nn
n
n
,比值审敛法失效,
所以,根据 比值审敛法可知所给级数收敛,
1)22()12( 2)12(lim lim 1
nn
nn
u nn
n
n
,比值审敛法失效,1)22()12( 2)12(lim lim 1
nn
nn
u
u
nn
n
n
,比值审敛法失效,12()12( 2)12(lim lim 1
nn
nn
u
u
nn
n
n
,比值审敛法失效,
下页解解 因为 212)12( 1 nnn,而级数 2
1
1
nn?
收敛,解 因为 212)12( nnn,而级数 2
1
1
nn?
收敛,解 因为 12)12( 1 nn,而级数 2
1
1
nn?
收敛,
收敛? 当1(或)时级数发散? 当1时级数可能收敛也可能发散,
设
1n n
u 为正项级数,如果
n
n
n u
u 1l i m,则当 1 时级数
定理 4(比值审敛法,达朗贝尔判别法 )
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定理 5(根值审敛法,柯西判别法 )
设
1n n
u 为正项级数,如果 n nn ul i m,则 当 1 时级数收敛?当1(或)时级数发散?当1时级数可能收敛也可能发散,
例 8 证明级数 1 312 11 32 nn 是收敛的,
01lim 1lim lim nnu nn nnn nn,
所以,根据根值审敛法可知所给级数收敛,
因为解
01lim 1lim lim nnu nn nnn nn,01lim 1lim lim nnu nn nnnn,
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定理 5(根值审敛法,柯西判别法 )
设
1n n
u 为正项级数,如果 n nn ul i m,则 当 1 时级数收敛?当1(或)时级数发散?当1时级数可能收敛也可能发散,
例 9 判定级数
1 2
)1(2
n n
n 的收敛性,
所以,根据根值审敛法可知所给级数收敛,
因为解
2
1)1(2
2
1limlim
n n
n
n n
n
u,21)1(221limlim
n n
n
n n
n
u,21)1(221limlim
n n
nnn
u,
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定理 6(极限审敛法 )
设
1n n
u 为正项级数,
( 1 ) 如果 )lim(0lim nnnn nulnu 或,则级数
1n n
u 发散?
( 2 ) 如果 p? 1,而 )0( lim llun npn,则级数
1n n
u 收敛,
例 10 判定级数
1 2
)11l n (
n n
的收敛性,
因为解
1)11ln(lim)11ln(limlim 22222 nnnnn nnnun,
根据极限审敛法,知所给级数收敛,
1)11ln (lim)11ln (limlim 22222 nnnnn nnnun,1)11ln (lim)11ln (limlim 22222 nnnn nnnun
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定理 6(极限审敛法 )
设
1n n
u 为正项级数,
( 1 ) 如果 )lim(0lim nnnn nulnu 或,则级数
1n n
u 发散?
( 2 ) 如果 p? 1,而 )0( lim llun npn,则级数
1n n
u 收敛,
例 11 判定 级数 )c o s1(1
1 n
n
n
的收敛性,
2222323
2
1)(
2
11lim)c o s1(1limlim
nn
nn
nnnun nnnn,
2222323
2
1)(
2
11lim)c o s1(1limlim
nn
nn
nnnun nnnn,
因为解根据极限审敛法,知所给级数收敛,
首页上页 下页 铃结束返回首页二、交错级数及其审敛法
交错级数交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的,
下页交错级数的一般形式为
1
1)1(
n n
n u,其中 0?nu,
1)1(
1
1
n
n
n 是交错级数,
1
1 c o s1)1(
n
n
n
n? 不是交错级数,
例如,
上页 下页 铃结束返回首页二、交错级数及其审敛法
交错级数交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的,
交错级数的一般形式为
1
1)1(
n n
n u,其中 0?nu,
定理 7(莱布尼茨定理 )
如果交错级数
1
1)1(
n n
n u 满足条件,
(1)un?un?1(n?1,2,3,)?
( 2 ) 0lim nn u,
则级数收敛,且其和 s?u1,其余项 rn的绝对值 |rn|?un?1.>>>
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( 1 ) 1111 nn unnu ( n? 1,2,),( 2 ) 01limlim nu nnn,
这是一个交错级数,解由莱布尼茨定理,级数是收敛的,且其和 s<u1?1,
余项 11|| 1 nur nn,
首页则级数收敛,且其和 s?u1,其余项 rn的绝对值 |rn|?un?1,
如果交错级数
1
1)1(
n n
n u 满足条件,
定理 7(莱布尼茨定理 )
( 1 ) u n? u n? 1 ( n? 1,2,3,)? ( 2 ) 0l i m nn u,
因为此级数满足
( 1 ) 1111 nn unnu ( n? 1,2,),( 2 ) 01limlim nu nnn,
例 10 证明级数 1)1(
1
1
n
n
n 收敛,并估计和及余项,
例 12
上页 下页 铃结束返回首页三、绝对收敛与条件收敛
绝对收敛与条件收敛下页若级数
1
||
n n
u 收敛,则称级数
1n n
u 绝对收敛? 若级数
1n n
u
收敛,而级数
1
||
n n
u 发散,则称级
1n n
u 条件收敛,
例如,
级数
1 2
1 1)1(
n
n
n 是绝对收敛的,
级数
1
1 1)1(
n
n
n 是条件收敛的,
上页 下页 铃结束返回首页三、绝对收敛与条件收敛
绝对收敛与条件收敛若级数
1
||
n n
u 收敛,则称级数
1n n
u 绝对收敛? 若级数
1n n
u
收敛,而级数
1
||
n n
u 发散,则称级
1n n
u 条件收敛,
如果级数
1n n
u 绝对收敛,则级数
1n n
u 必定收敛,
定理 8(绝对收敛与收敛的关系 )
应注意的问题,
如果级数
1
||
n n
u 发散,我们不能断定级数
1n n
u 也发散,
下页上页 下页 铃结束返回首页解 因为 | 22 1|s in nn na?,而级数 2
1
1
nn?
是收敛的,所以 级数解下页如果级数
1n n
u 绝对收敛,则级数
1n n
u 必定收敛,
定理 8(绝对收敛与收敛的关系 )
1 2
|s in|
n n
na 也收敛,从而级数
1 2
s in
n n
na 绝对收敛,
解 因为 | 22 1|s in nn na?,而级数 2
1
1
nn?
是收敛的,所以 级数 解 因为 | 22 1|s in nn na?,而级数 2
1
1
nn?
是收敛的,所以 级数
1 2
|s in|
n n
na 也收敛,从而级数
1 2
s in
n n
na 绝对收敛,
例 11 判别级数
1 2
s in
n n
na 的收敛性,例 13
上页 下页 铃结束返回首页 结束如果级数
1n n
u 绝对收敛,则级数
1n n
u 必定收敛,
定理 8(绝对收敛与收敛的关系 )
解 由 2)11(21|| nnn nu,有解
121)11(lim21||lim enu nnn nn,
可知 0lim nn u,因此级数
1
2)11(
2
1)1(
n
n
n
n
n 发散,
121)11(lim21||lim enu nnn nn,121)11(lim21||lim enu nnn nn,
可知 0l i m nn u,因此级数
1
2)11(
2
1)1(
n
n
n
n
n 发散,
例 12 判别级数
1
2)11(
2
1)1(
n
n
n
n
n 的收敛性,
例 14
