返回上页 下页如果幂级数 ∑anxn当 x?x0(x0?0)时收敛,则适合不等式
|x|<|x0|的一切 x使幂级数 ∑anxn绝对收敛,
反之,如果幂级数 ∑anxn当 x?x0时发散,则适合不等式
|x|>|x0|的一切 x使幂级数 ∑anxn发散,
简要证明设 ∑anxn在点 x0收敛,
所以级数 ∑|anxn|收敛,也就是级数 ∑anxn绝对收敛,
则有 anx0n?0(n),
于是存在一正数 M,使 |anx0n|?M (n?0,1,2,).
因 为 nnnnnnnnnn xxMxxxaxxxaxa || |||| || ||
00000
,
而 当 |||| 0xx? 时,等比级数 n
n x
xM ||
00

收敛,
先证第一部分,
因 为 nnnnnnnnn xxMxxxaxxxxa || |||| || ||
00000
,因 为 nnnnnnnnnn xxMxxxaxxxax || |||| || |
00000
,因 为 nnnnnnnnn xxMxxxaxxxaxa | |||| || ||
0000

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定理 1(阿贝尔定理 )
返回上页 下页如果幂级数 ∑anxn当 x?x0(x0?0)时收敛,则适合不等式
|x|<|x0|的一切 x使幂级数 ∑anxn绝对收敛,
反之,如果幂级数 ∑anxn当 x?x0时发散,则适合不等式
|x|>|x0|的一切 x使幂级数 ∑anxn发散,
简要证明 再证第二部分,
可用反证法证明,倘若幂级数当 x?x0时发散而有一点 x1适合 |x1|>|x0|使幂级数收敛,则根据本定理的第一部分,幂级数当
x?x0时应收敛,这与所设矛盾,定理得证,
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