返回上页 下页返回简要证明 设级数的前 n项部分和为 sn,
s2n?(u1-u2)?(u3-u4)(u2n-1-u2n),
及 s2n?u1-(u2-u3)-(u4-u5)--(u2n-2-u2n-1)-u2n,
设 s2n?s(n),则也 有 s2n?1?s2n?u2n?1?s(n),
所以 sn?s(n),因此级数是收敛的,且级数的和 s?u1,
可见数列 {s2n}单调增加 且有界 (s2n?u1),所以 数列 {s2n}收敛,
s2n可写成因为 |rn|?un?1-un?2也是收敛的交错级数,所以 |rn|?un?1.
定理 7(莱布尼茨定理 )
则级数收敛,且其和 s?u1,其余项 rn的绝对值 |rn|?un?1,
如果交错级数
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1
1)1(
n n
n u 满足条件?
( 1 ) u n? u n? 1 ( n? 1,2,3,)? ( 2 ) 0l i m nn u,