一、对坐标的曲面积分的概念与性质二、对坐标的曲面积分的计算法三、两类曲面积分之间的联系
§ 10.5 对坐标的曲面积分上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页当 cos0时?n所指的一侧是上侧?
当 cos0时?n所指的一侧是下侧?
一、对坐标的曲面积分的概念与性质下页
有向曲面通常我们遇到的曲面都是双侧的?
例如?由方程 z?z(x?y)表示的曲面分为上侧与下侧?
设 n?(cos cos cos?)为曲面上的法向量?
上页 下页 铃结束返回首页当 cos0时?n所指的一侧是上侧? 当 cos0时?n所指的一侧是下侧?
一、对坐标的曲面积分的概念与性质下页
有向曲面通常我们遇到的曲面都是双侧的?
例如?由方程 z?z(x?y)表示的曲面分为上侧与下侧?
设 n?(cos cos cos?)为曲面上的法向量?
类似地?如果曲面的方程为 y?y(z?x)?则曲面分为左侧与右侧?在曲面的右侧 cos0?在曲面的左侧 cos0?
如果曲面的方程为 x?x(y?z)?则曲面分为前侧与后侧?在曲面的前侧 cos0?在曲面的后侧 cos0?
闭曲面有内侧与外侧之分?
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曲面在坐标面上的投影下页在有向曲面?上取一小块曲面?S? 用 ()xy表示?S在 xOy
面上的投影区域的面积? 假定?S上各点处的法向量与 z轴的夹角?的余弦 cos?有相同的符号 (即 cos?都是正的或都是负的 )?
我们规定?S在 xOy面上的投影 (?S)xy为类似地可以定义?S在 yOz面及在 zOx面上的投影 (?S)yz及
(?S)zx?
0c os 0
0c os )(
0c os )(
)(
xy
xy
xyS?
上页 下页 铃结束返回首页提示?通过?Si流向指定侧的流量近似为?
vi?ni?Si?
iii
n
i
S
nv
1
流向曲面一侧的流量相关知识 下页设稳定流动的不可压缩流体的速度场由
v(x?y? z)?(P(x? y? z)? Q(x? y? z)? R(x? y? z))
给出是速度场中的一片有向曲面?函数 v(x?y? z)在?上连续?
求在单位时间内流向?指定侧的流体的质量?即流量
把曲面?分成 n小块S1S2Sn(?Si也代表曲面面积 )?
在?Si上任取一点 (?iii )?
通过?流向指定侧的流量?近似为?
>>>
>>>
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流向曲面一侧的流量下页设稳定流动的不可压缩流体的速度场由
v(x?y? z)?(P(x? y? z)? Q(x? y? z)? R(x? y? z))
给出是速度场中的一片有向曲面?函数 v(x?y? z)在?上连续?
求在单位时间内流向?指定侧的流体的质量?即流量
把曲面?分成 n小块S1S2Sn(?Si也代表曲面面积 )?
在?Si上任取一点 (?iii )?
通过?流向指定侧的流量?近似为?
]))(,,())(,,())(,,([
1
xyiiiizxiiiiyziiii
n
i
SRSQSP
在上述和中?令各小曲面直径中的最大值0?就得到流量?
的精确值?
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对坐标的曲面积分的定义下页设?为光滑的有向曲面?函数 R(x? y? z)在?上有界?
把?任意分成 n块小曲面S1S2Sn(?Si也代表曲面面积 )Si在 xOy面上的投影为 (?Si)xy?(?i,?i,?i )是?Si上任意取定的一点?如果当各小块曲面的直径的最大值0时?极限
xyiiii
n
i
SR ))(,,(lim
10
总存在?则称此极限为函数 R(x?y? z)在有向曲面?上对坐标 x、
y 的曲面积分? 记作
d x d yzyxR ),,(? 即
dx dyzyxR ),,( xyiiii
n
i
SR ))(,,(lim
10
上页 下页 铃结束返回首页类似地?可定义对坐标 y,z的曲面积分和对坐标 z,x的曲面积分?
下页
dx dyzyxR ),,( xyiiii
n
i
SR ))(,,(lim
10
对坐标的曲面积分的定义
函数 R(x?y? z)在有向曲面?上对坐标 x,y的曲面积分?
上页 下页 铃结束返回首页 下页
dx dyzyxR ),,( xyiiii
n
i
SR ))(,,(lim
10
对坐标的曲面积分的定义
函数 R(x?y? z)在有向曲面?上对坐标 x,y的曲面积分?
函数 P(x? y? z)在有向曲面?上对坐标 y,z的曲面积分?
yziiii
n
i
SPd y d zzyxP ))(,,(lim),,(
10
函数 Q(x?y? z)在有向曲面?上对坐标 z,x的曲面积分?
zxiiii
n
i
SQd z d xzyxQ ))(,,(lim),,(
10
上述曲面积分也称为第二类曲面积分?其中 P,Q,R叫做被积函数叫做积分曲面?
上页 下页 铃结束返回首页 下页
对坐标的曲面积分的简写形式
d x d yzyxRd z d xzyxQd y d zzyxP ),,(),,(),,(
在应用上出现较多的是
d x d yzyxRd z d xzyxQd y d zzyxP ),,(),,(),,(?
为简便起见?这种合起来的形式简记为说明?
如果是分片光滑的有向曲面?我们规定函数在?上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和?
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对坐标的曲面积分的性质对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质?
(1)如果把?分成?1和?2?则
(2)设?是有向曲面表示与?取相反侧的有向曲面?则首页
R d x d yQ d z d xP d y d z
R d x d yQ d z d xP d y d zR d x d yQ d z d xP d y d z
21
R d x d yQ d z d xP d y d zR d x d yQ d z d xP d y d z
上页 下页 铃结束返回首页二、对坐标的曲面积分的计算法讨论?
如何把其它两个对坐标的曲面积分化为二重积分？
>>>
下页设积分曲面?由方程 z?z(x? y)给出的在 xOy面上的投影区域为 Dxy? 函数 z?z(x? y)在 Dxy上具有一阶连续偏导数? 被积函数 R(x?y? z)在?上连续?则有
dx d yyxzyxRdx d yzyxR
xyD
)],(,,[),,(
其中当?取上侧时?积分前取,?”?当?取下侧时?积分前取
,?”?
>>>
应注意的问题?
(3)曲面?取哪一侧?
(2)向哪个坐标面投影?(1)曲面?用什么方程表示?
(4)积分前取什么符号?
上页 下页 铃结束返回首页
d y d zxd y d zxd y d zx 222
43
d y d zd y d za
yzyz DD
02
下页方体?的整个表面的外侧{(x?y? z)|0?x?a? 0?y?b?0?z?c}?
例 1 计算曲面积分 d x d yzd z d xyd y d zx 222
其中? 是长把?的上下面分别记为?1和?2? 前后面分别记为?3和
4?左右面分别记为?5和?6?
解除?3,?4外? 其余四片曲面在 yOz面上的投影为零?因此上页 下页 铃结束返回首页
d y d zxd y d zxd y d zx 222
43
d y d zd y d za
yzyz DD
02
下页方体?的整个表面的外侧{(x?y? z)|0?x?a? 0?y?b?0?z?c}?
例 1 计算曲面积分 d x d yzd z d xyd y d zx 222
其中? 是长把?的上下面分别记为?1和?2? 前后面分别记为?3和
4?左右面分别记为?5和?6?
解除?3,?4外? 其余四片曲面在 yOz面上的投影为零?因此
d y d zxd y d zxd y d zx 222
43
d y d zd y d za
yzyz DD
02
a2bc?
类似地可得
acbd z d xy 22?
abcd x d yz 22?
于是所求曲面积分为 (a?b?c)abc?
上页 下页 铃结束返回首页例 2 计算曲面积分 x y z d x d y
其中? 是球面 x 2? y 2? z 2? 1
外侧在 x?0?y?0的部分?
把有向曲面?分成上下两部分?解
221 1,yxz ( x? 0? y? 0) 的上侧?
222 1,yxz ( x? 0? y? 0) 的下侧?
1和?2在 xOy面上的投影区域都是
Dxy? x2?y2?1(x?0?y?0)?
于是
21
x y z d x d yx y z d x d yx y z d x d y
15
2)1(1 2222
xyxy DD
d x dyyxxyd x dyyxxy? 152)1(1 2222
xyxy DD
dxdyyxydxdyyxxy?
>>>
首页上页 下页 铃结束返回首页三、两类曲面积分之间的联系设 cos?,cos?,cos?是有向曲面?上点 (x?y? z)处的法向量的方向余弦?则综合起来有
>>>
下页
dSzyxRd x d yzyxR?c o s),,(),,(?
dSzyxPd y d zzyxP?c o s),,(),,(?
dSzyxPd z d xzyxQ?c o s),,(),,(?
dSRQPR d x d yQ d z d xP d y d z )c o sc o sc o s(
上页 下页 铃结束返回首页 下页三、两类曲面积分之间的联系设 cos?,cos?,cos?是有向曲面?上点 (x?y? z)处的法向量的方向余弦?则
dSRQPR d x d yQ d z d xP d y d z )c o sc o sc o s(
两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式?
dSd nASA? 或
dSAd nSA?
其中 A?(P? Q? R)? n?(cos cos cos?)是有向曲面?上点 (x? y? z)
处的单位法向量? dS?ndS?(dydz? dzdx? dxdy)称为有向曲面元?
An为向量 A在向量 n上的投影?
上页 下页 铃结束返回首页提示?
dSRQPR d x d yQ d z d xP d y d z )c o sc o sc o s(
提示 曲面?上向下的法向量为 (zx?zy1)?(x?y1)?所以
221c o s yx
x
221
1c o s
yx
d x d yyxdS 221
dSzxzz d x d yd y d zxz ]coscos)[()( 22
下页例 3 计算曲面积分 z d x d yd y d zxz
)( 2? 其中? 是曲面
)(21 22 yxz 介于平面 z? 0 及 z? 2 之间的部分的下侧?
解 由两类曲面积分之间的关系?可得
dSzxzz d x yd y d zxz ]coscos)[()( 22
d x d yyxxxyx
yx
})1()(21])(41{[
4
22222
22
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下页例 3 计算曲面积分 z d x d yd y d zxz
)( 2? 其中? 是曲面
)(21 22 yxz 介于平面 z? 0 及 z? 2 之间的部分的下侧?
解 由两类曲面积分之间的关系?可得
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4
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4
222
4
222
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4
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22
0)(4
yx
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)( 2? 其中? 是曲面
)(21 22 yxz 介于平面 z? 0 及 z? 2 之间的部分的下侧?
解 由两类曲面积分之间的关系?可得
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22
4
222
4
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当 cos0时?n所指的一侧是下侧?
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有向曲面通常我们遇到的曲面都是双侧的?
例如?由方程 z?z(x?y)表示的曲面分为上侧与下侧?
设 n?(cos cos cos?)为曲面上的法向量?
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一、对坐标的曲面积分的概念与性质下页
有向曲面通常我们遇到的曲面都是双侧的?
例如?由方程 z?z(x?y)表示的曲面分为上侧与下侧?
设 n?(cos cos cos?)为曲面上的法向量?
类似地?如果曲面的方程为 y?y(z?x)?则曲面分为左侧与右侧?在曲面的右侧 cos0?在曲面的左侧 cos0?
如果曲面的方程为 x?x(y?z)?则曲面分为前侧与后侧?在曲面的前侧 cos0?在曲面的后侧 cos0?
闭曲面有内侧与外侧之分?
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曲面在坐标面上的投影下页在有向曲面?上取一小块曲面?S? 用 ()xy表示?S在 xOy
面上的投影区域的面积? 假定?S上各点处的法向量与 z轴的夹角?的余弦 cos?有相同的符号 (即 cos?都是正的或都是负的 )?
我们规定?S在 xOy面上的投影 (?S)xy为类似地可以定义?S在 yOz面及在 zOx面上的投影 (?S)yz及
(?S)zx?
0c os 0
0c os )(
0c os )(
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vi?ni?Si?
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流向曲面一侧的流量相关知识 下页设稳定流动的不可压缩流体的速度场由
v(x?y? z)?(P(x? y? z)? Q(x? y? z)? R(x? y? z))
给出是速度场中的一片有向曲面?函数 v(x?y? z)在?上连续?
求在单位时间内流向?指定侧的流体的质量?即流量
把曲面?分成 n小块S1S2Sn(?Si也代表曲面面积 )?
在?Si上任取一点 (?iii )?
通过?流向指定侧的流量?近似为?
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流向曲面一侧的流量下页设稳定流动的不可压缩流体的速度场由
v(x?y? z)?(P(x? y? z)? Q(x? y? z)? R(x? y? z))
给出是速度场中的一片有向曲面?函数 v(x?y? z)在?上连续?
求在单位时间内流向?指定侧的流体的质量?即流量
把曲面?分成 n小块S1S2Sn(?Si也代表曲面面积 )?
在?Si上任取一点 (?iii )?
通过?流向指定侧的流量?近似为?
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SRSQSP
在上述和中?令各小曲面直径中的最大值0?就得到流量?
的精确值?
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对坐标的曲面积分的定义下页设?为光滑的有向曲面?函数 R(x? y? z)在?上有界?
把?任意分成 n块小曲面S1S2Sn(?Si也代表曲面面积 )Si在 xOy面上的投影为 (?Si)xy?(?i,?i,?i )是?Si上任意取定的一点?如果当各小块曲面的直径的最大值0时?极限
xyiiii
n
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总存在?则称此极限为函数 R(x?y? z)在有向曲面?上对坐标 x、
y 的曲面积分? 记作
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dx dyzyxR ),,( xyiiii
n
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dx dyzyxR ),,( xyiiii
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对坐标的曲面积分的定义
函数 R(x?y? z)在有向曲面?上对坐标 x,y的曲面积分?
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dx dyzyxR ),,( xyiiii
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对坐标的曲面积分的定义
函数 R(x?y? z)在有向曲面?上对坐标 x,y的曲面积分?
函数 P(x? y? z)在有向曲面?上对坐标 y,z的曲面积分?
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10
函数 Q(x?y? z)在有向曲面?上对坐标 z,x的曲面积分?
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上述曲面积分也称为第二类曲面积分?其中 P,Q,R叫做被积函数叫做积分曲面?
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对坐标的曲面积分的简写形式
d x d yzyxRd z d xzyxQd y d zzyxP ),,(),,(),,(
在应用上出现较多的是
d x d yzyxRd z d xzyxQd y d zzyxP ),,(),,(),,(?
为简便起见?这种合起来的形式简记为说明?
如果是分片光滑的有向曲面?我们规定函数在?上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和?
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对坐标的曲面积分的性质对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质?
(1)如果把?分成?1和?2?则
(2)设?是有向曲面表示与?取相反侧的有向曲面?则首页
R d x d yQ d z d xP d y d z
R d x d yQ d z d xP d y d zR d x d yQ d z d xP d y d z
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R d x d yQ d z d xP d y d zR d x d yQ d z d xP d y d z
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如何把其它两个对坐标的曲面积分化为二重积分？
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dx d yyxzyxRdx d yzyxR
xyD
)],(,,[),,(
其中当?取上侧时?积分前取,?”?当?取下侧时?积分前取
,?”?
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应注意的问题?
(3)曲面?取哪一侧?
(2)向哪个坐标面投影?(1)曲面?用什么方程表示?
(4)积分前取什么符号?
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d y d zxd y d zxd y d zx 222
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d y d zd y d za
yzyz DD
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下页方体?的整个表面的外侧{(x?y? z)|0?x?a? 0?y?b?0?z?c}?
例 1 计算曲面积分 d x d yzd z d xyd y d zx 222
其中? 是长把?的上下面分别记为?1和?2? 前后面分别记为?3和
4?左右面分别记为?5和?6?
解除?3,?4外? 其余四片曲面在 yOz面上的投影为零?因此上页 下页 铃结束返回首页
d y d zxd y d zxd y d zx 222
43
d y d zd y d za
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02
下页方体?的整个表面的外侧{(x?y? z)|0?x?a? 0?y?b?0?z?c}?
例 1 计算曲面积分 d x d yzd z d xyd y d zx 222
其中? 是长把?的上下面分别记为?1和?2? 前后面分别记为?3和
4?左右面分别记为?5和?6?
解除?3,?4外? 其余四片曲面在 yOz面上的投影为零?因此
d y d zxd y d zxd y d zx 222
43
d y d zd y d za
yzyz DD
02
a2bc?
类似地可得
acbd z d xy 22?
abcd x d yz 22?
于是所求曲面积分为 (a?b?c)abc?
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其中? 是球面 x 2? y 2? z 2? 1
外侧在 x?0?y?0的部分?
把有向曲面?分成上下两部分?解
221 1,yxz ( x? 0? y? 0) 的上侧?
222 1,yxz ( x? 0? y? 0) 的下侧?
1和?2在 xOy面上的投影区域都是
Dxy? x2?y2?1(x?0?y?0)?
于是
21
x y z d x d yx y z d x d yx y z d x d y
15
2)1(1 2222
xyxy DD
d x dyyxxyd x dyyxxy? 152)1(1 2222
xyxy DD
dxdyyxydxdyyxxy?
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dSzyxRd x d yzyxR?c o s),,(),,(?
dSzyxPd y d zzyxP?c o s),,(),,(?
dSzyxPd z d xzyxQ?c o s),,(),,(?
dSRQPR d x d yQ d z d xP d y d z )c o sc o sc o s(
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dSRQPR d x d yQ d z d xP d y d z )c o sc o sc o s(
两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式?
dSd nASA? 或
dSAd nSA?
其中 A?(P? Q? R)? n?(cos cos cos?)是有向曲面?上点 (x? y? z)
处的单位法向量? dS?ndS?(dydz? dzdx? dxdy)称为有向曲面元?
An为向量 A在向量 n上的投影?
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dSRQPR d x d yQ d z d xP d y d z )c o sc o sc o s(
提示 曲面?上向下的法向量为 (zx?zy1)?(x?y1)?所以
221c o s yx
x
221
1c o s
yx
d x d yyxdS 221
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下页例 3 计算曲面积分 z d x d yd y d zxz
)( 2? 其中? 是曲面
)(21 22 yxz 介于平面 z? 0 及 z? 2 之间的部分的下侧?
解 由两类曲面积分之间的关系?可得
dSzxzz d x yd y d zxz ]coscos)[()( 22
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4
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22
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)( 2? 其中? 是曲面
)(21 22 yxz 介于平面 z? 0 及 z? 2 之间的部分的下侧?
解 由两类曲面积分之间的关系?可得
dSzxzz d x d yd y d zxz ]coscos)[()( 22
d x d yyxxxyx
yx
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4
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4
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)( 2? 其中? 是曲面
)(21 22 yxz 介于平面 z? 0 及 z? 2 之间的部分的下侧?
解 由两类曲面积分之间的关系?可得
dSzxzz d x d yd y d zxz ]coscos)[()( 22
d x d yyxxxyx
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4
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d x d yyxxd x d yyxx
8)21c o s(20 20 222 r d rrrd 8)21cos(20 20 222 rdrrrd?
dSzxzz d x d yy d zxz ]coscos)[()( 22
