一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法
§ 10.4 对面积的曲面积分上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、对面积的曲面积分的概念与性质设?为一物质曲面?其 面密度为?(x? y? z)?求其质量?
物质曲面的质量问题
求质量的近似值?
取极限求质量的精确值?
S1S2Sn (?Si也代表曲面的面积 )?
把曲面?分成 n个小块?
下页
iiii
n
i
S?
),,(
1
((? i,? i,? i ) 是? S i 上任意一点 )?
iiii
n
i
SM
),,(lim
10
(? 为 各小块曲面直径的最大值 )?
上页 下页 铃结束返回首页把?任意分成
n小块?
S1S2Sn (?Si也代表曲面的面积 )?
在?Si上任意一点 (?iii )?
对面积的曲面积分的定义下页则称此极限为函数 f(x? y? z) 在曲面?上对面积的曲面积分 或 第 一 类 曲 面 积分? 记 作
dSzyxf ),,(? 即
iiii
n
i
SfdSzyxf
),,(lim),,(
10
设曲面?是光滑的?函数 f(x?y? z)在?上有界?
iiii
n
i
Sf?
),,(lim
10
如果当各小块曲面的直径的最大值0时?极限总存在?
>>>
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在积分中?f(x? y? z)叫做被积函数叫做积分曲面?
如果 f(x?y? z)在光滑曲面?上连续时对面积的曲面积分是存在的?今后总假定 f(x?y? z)在?上连续?
如果?是分片光滑的?例如?可分成两片光滑曲面?1及?2(记作
12)? 就规定说明?
对面积的曲面积分有对弧长的曲线积类似的性质?
首页
对面积的曲面积分的定义
iiii
n
i
SfdSzyxf
),,(lim),,(
10
2121
),,(),,(),,( dSzyxfdSzyxfdSzyxf?
上页 下页 铃结束返回首页二、对面积的曲面积分的计算法下页面密度为 f(x?y? z)的物质曲面的质量为
dSzyxfSfM iiiin
i
),,(),,(lim
10
另一方面? 如果?由方程 z?z(x? y)给出在 xOy面上的投影区域为 D?那么曲面的质量元素为
d x d yyxzyxzyxzyxfdAyxzyxf yx ),(),(1)],(,,[)],(,,[ 22
根据元素法?曲面的质量为
D
yx d x d yyxzyxzyxzyxfM ),(),(1)],(,,[ 22?
因此
D
yx d x d yyxzyxzyxzyxfdSzyxf ),(),(1)],(,,[),,( 22?
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zxD
xz dz dxxzyxzyzxzyxfdSzyxf ),(),(1]),,(,[),,( 22?
下页
化曲面积分为二重积分设曲面?的方程为 z?z(x?y)在 xOy面上的投影区域为 Dxy?
函数 z?z(x?y)在 Dxy上具有连续偏导数?被积函数 f(x?y? z)在?上连续?则
xyD
yx d x d yyxzyxzyxzyxfdSzyxf ),(),(1)],(,,[),,(
22?
讨论?
如果积分曲面?由方程 y?y(z?x)给出或由 x?x(y?z)给出?那么 f(x? y? z)在?上对面积的曲线面积分如何计算?
提示?
对于 y?y(z?x)?有上页 下页 铃结束返回首页解下页例 1 计算曲面积分
dSz1? 其中? 是球面 x 2? y 2? z 2? a 2
被平面 z?h(0?h?a)截出的顶部?
的方程为 222 yxaz
Dxy? x2?y2?a2?h2?
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20 0 2222 ha ra r d rda haa ln2
xyD
dxdyyxa adSz 2221
解下页例 1 计算曲面积分
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222 yxa
xz
x
222 yxa
yz
y
因为所以
dx dy
yxa
adx dyzzdS
yx 222
221
222 yxa
xz
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>>>
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d x d yyxa adSz 2221
20 0 2222 ha ra r d rda haa ln2
上页 下页 铃结束返回首页例 2 计算 曲 面 积 分
x y z d S? 其中? 是由平 面 x? 0? y? 0?
z?0及 x?y?z?1所围成的四面体的整个边界曲面?
解 整个边界曲面?在平面 x?0,y?0,z?0及 x?y?z?1上的部分依次记为?1,?2,?3及?4?于是
4321
x y z d Sx y z d Sx y z d Sx y z d Sx y z d S
10 10 )1(3 x dyyxyx d x 120 3
4
000 x y z d S
xyD
d x d yyxxy )1(3
结束
>>>
10 10 )1(3 x dyyxyxdx 1203
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物质曲面的质量问题
求质量的近似值?
取极限求质量的精确值?
S1S2Sn (?Si也代表曲面的面积 )?
把曲面?分成 n个小块?
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n小块?
S1S2Sn (?Si也代表曲面的面积 )?
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对面积的曲面积分的定义下页则称此极限为函数 f(x? y? z) 在曲面?上对面积的曲面积分 或 第 一 类 曲 面 积分? 记 作
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如果当各小块曲面的直径的最大值0时?极限总存在?
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在积分中?f(x? y? z)叫做被积函数叫做积分曲面?
如果 f(x?y? z)在光滑曲面?上连续时对面积的曲面积分是存在的?今后总假定 f(x?y? z)在?上连续?
如果?是分片光滑的?例如?可分成两片光滑曲面?1及?2(记作
12)? 就规定说明?
对面积的曲面积分有对弧长的曲线积类似的性质?
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iiii
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另一方面? 如果?由方程 z?z(x? y)给出在 xOy面上的投影区域为 D?那么曲面的质量元素为
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根据元素法?曲面的质量为
D
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化曲面积分为二重积分设曲面?的方程为 z?z(x?y)在 xOy面上的投影区域为 Dxy?
函数 z?z(x?y)在 Dxy上具有连续偏导数?被积函数 f(x?y? z)在?上连续?则
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讨论?
如果积分曲面?由方程 y?y(z?x)给出或由 x?x(y?z)给出?那么 f(x? y? z)在?上对面积的曲线面积分如何计算?
提示?
对于 y?y(z?x)?有上页 下页 铃结束返回首页解下页例 1 计算曲面积分
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被平面 z?h(0?h?a)截出的顶部?
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x y z d S? 其中? 是由平 面 x? 0? y? 0?
z?0及 x?y?z?1所围成的四面体的整个边界曲面?
解 整个边界曲面?在平面 x?0,y?0,z?0及 x?y?z?1上的部分依次记为?1,?2,?3及?4?于是
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