一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算
§ 10.1 对弧长的曲线积分上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页
把曲线弧 L分成 n个小段s1s2sn(?si也表示弧长 )?
一,对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量下页设曲线形构件所占的位置在 xOy面内的一段曲线弧 L上?
已知曲线形构件在点 (x?y)处的线密度为?(x?y)?
任取 (?ii)si? 得第 i小段质量的近似值?(?ii)?si?
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令max{?s1s2sn}?0?则整个曲线形构件的质量为
iii
n
i
sM
),(
1
整个曲线形构件的质量近似为下页一,对弧长的曲线积分的概念与性质设曲线形构件所占的位置在 xOy面内的一段曲线弧 L上?
已知曲线形构件在点 (x?y)处的线密度为?(x?y)?
iii
n
i
sM
),(lim
10
曲线形构件的质量
把曲线弧 L分成 n个小段s1s2sn(?si也表示弧长 )?
任取 (?ii)si? 得第 i小段质量的近似值?(?ii)?si?
上页 下页 铃结束返回首页将 L任意分成 n个小弧段?
s1s2sn(?si也表示第 i个小弧段的长度 )?
在每个小弧段?si上任取一点 (?ii)?作和
对弧长的曲线积分下页设 L为 xOy面内的一条光滑曲线弧?函数 f(x?y)在 L上有界?
iii
n
i
sf?
),(
1
iii
n
iL
sfdsyxf
),(lim),(
10
如果当max{?s1s2sn}?0时? 这和的极限总存在? 则称此极限为函数 f(x? y)在曲线弧 L上对弧长的曲线积分? 记作
dsyxfL ),( 即其中 f(x?y)叫做被积函数?L叫做积分弧段?
>>>光滑曲线上页 下页 铃结束返回首页
iii
n
iL
sfdsyxf
),(lim),(
10
下页
对弧长的曲线积分说明?
当函数 f(x? y)在光滑曲线弧 L上连续时? 函数 f(x? y)在曲线弧 L
上对弧长的曲线积分是存在的? 以后我们总假定 f(x? y)在 L上是连续的?
对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分?
曲线形构件的质量就是曲线积分 的值?
dsyxL ),(
iiii
n
i
sfdszyxf
),,(lim),,(
10
类似地可以定义函数 f(x? y? z)在空间曲线弧?上对弧长的曲线积分?
上页 下页 铃结束返回首页
iii
n
iL
sfdsyxf
),(lim),(
10
下页
对弧长的曲线积分
如果 L(或?)是分段光滑的? 则规定函数在 L(或?)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和?
例如?设 L可分成两段光滑曲线弧 L1及 L2?则规定
dsyxfdsyxfdsyxf LLLL ),(),(),(
2121
函数 f(x?y)在闭曲线 L上对弧长的曲线积分记作?
dsyxfL ),(?
说明?
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对弧长的曲线积分的性质首页
性质 1 设 c1,c2为常数? 则
dsyxgcdsyxfcdsyxgcyxfc LLL ),(),()],(),([ 2121
性质 2 若积分弧段 L可分成两段光滑曲线弧 L1和 L2?则
dsyxfdsyxfdsyxf LLL ),(),(),(
21
性质 3 设在 L上 f(x?y)?g(x?y)?则
LL dsyxgdsyxf ),(),(?
特别地?有
LL dsyxfdsyxf |),(||),(|?
上页 下页 铃结束返回首页提示?
二、对弧长的曲线积分的计算下页根据对弧长的曲线积分的定义?如果曲线形构件 L的线密度为 f(x?y)?则曲线形构件 L的质量为
L dsyxf ),(?
另一方面?如果曲线 L是光滑的?其 参数方程为
x(t)?y (t) (t)?
则曲线形构件 L的质量为曲线形构件 L的质量元素为
dtttttfdsyxf )()()]( ),([),( 22
dtttttf )()()]( ),([ 22?
上页 下页 铃结束返回首页二、对弧长的曲线积分的计算根据对弧长的曲线积分的定义?如果曲线形构件 L的线密度为 f(x?y)?则曲线形构件 L的质量为
L dsyxf ),(?
dtttttf )()()]( ),([ 22?
于 是 dtttttfdsyxfL )()()]( ),([),( 22?
下页另一方面?如果曲线 L是光滑的?其 参数方程为
x(t)?y (t) (t)?
则曲线形构件 L的质量为上页 下页 铃结束返回首页则曲线积分 dsyxfL ),(? 存在? 并 且
dtttttfdsyxfL )()()](),([),( 22 ( )?
二、对弧长的曲线积分的计算
定理下页设 f(x?y)在曲线弧 L上有定义且连续?L的参数方程为
x(t)?y(t) (t)?
其中?(t),?(t)在 []上具有一阶连续导数?且2(t)2(t)?0?
应注意的问题?定积分的下限?一定要小于上限
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dtttttfdsyxfL )()()](),([),( 22 ( )?
设曲线 L的参数方程为 x(t)?y(t) (t)?则讨论?
( 1 ) 若曲线 L 的方程为 y ( x )( a? x? b )? 则 dsyxfL ),(？
( 2 ) 若曲线 L 的方程为 x ( y )( c? y? d )? 则 dsyxfL ),(？
提示?
(1)L的参数方程为 x?x?y(x)(a?x?b)?
dxxxxfdsyxf baL )(1)](,[),( 2
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dtttttfdsyxfL )()()](),([),( 22 ( )?
设曲线 L的参数方程为 x(t)?y(t) (t)?则讨论?
( 1 ) 若曲线 L 的方程为 y ( x )( a? x? b )? 则 dsyxfL ),(？
( 2 ) 若曲线 L 的方程为 x ( y )( c? y? d )? 则 dsyxfL ),(？
提示?
(2)L的参数方程为 x(y)?y?y(c?y?d)?
dyyyyfdsyxf dcL 1)(]),([),( 2
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设曲线 L的参数方程为 x(t)?y(t) (t)?则讨论?
(3)若曲线?的参数方程为 x(t)?y(t)?z(t)(t)?
则 dszyxf ),,(？
提示?
dtttttttfdszyxf )()()()](),(),([),,( 222
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dtttttfdsyxfL )()()](),([),( 22 ( )?
设曲线 L的参数方程为 x(t)?y(t) (t)?则例 1 计算 dsyL 其中 L 是抛物线 y? x 2 上点 O (0? 0 ) 与点
B(1?1)之间的一段弧?
曲线 L的参数方程为 x?x?y?x2 (0?x?1)?因此解
10 222 )(1 dxxxdsyL
10 241 dxxx )155(121
10 241 dxxx )155(121
10 222 )(1 dxxxdsyL
上页 下页 铃结束返回首页 下页例 2 计算半径为 R,中心角为 2?的圆弧 L对于它的对称轴的转动惯量 I(设线密度为1)?
取坐标系如图所示?则曲线 L的参数方程为解
dtttttfdsyxfL )()()](),([),( 22 ( )?
设曲线 L的参数方程为 x(t)?y(t) (t)?则
x?Rcosy?Rsin? ()?
于是所求转动惯量 I为
L dsyI 2
提示?
转动惯量的元素为 dI?y2?ds?y2ds?
上页 下页 铃结束返回首页 下页例 2 计算半径为 R,中心角为 2?的圆弧 L对于它的对称轴的转动惯量 I(设线密度为1)?
取坐标系如图所示?则曲线 L的参数方程为解
dtttttfdsyxfL )()()](),([),( 22 ( )?
设曲线 L的参数方程为 x(t)?y(t) (t)?则于是所求转动惯量 I为
L dsyI 2
dRRR 2222 )c o s()s i n(s i n
)c o ss in(s in 323 RdR? )c o ss n(s in 323 RdR?
x?Rcosy?Rsin? ()?
上页 下页 铃结束返回首页例 3 计算曲线积分 dszyx )( 222 其中? 为螺旋线
x?acost,y?asint,z?kt上相应于 t从 0到达 2?的一段弧?
解
x2?y2?z2?(acost)2?(asint)2?(kt)2?a2?k2t2?
在曲线?上有并且
dtkadtktatads 22222 )c o s()s i n(
所 以 dszyx )( 22220 22222 )( dtkatka
下页上页 下页 铃结束返回首页所 以 dszyx )( 22220 22222 )( dtkatka
结束
)43(32 22222 kaka
所 以 dszyx )( 22220 22222 )( dtkatka
例 3 计算曲线积分 dszyx )( 222 其中? 为螺旋线
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一,对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量下页设曲线形构件所占的位置在 xOy面内的一段曲线弧 L上?
已知曲线形构件在点 (x?y)处的线密度为?(x?y)?
任取 (?ii)si? 得第 i小段质量的近似值?(?ii)?si?
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令max{?s1s2sn}?0?则整个曲线形构件的质量为
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1
整个曲线形构件的质量近似为下页一,对弧长的曲线积分的概念与性质设曲线形构件所占的位置在 xOy面内的一段曲线弧 L上?
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曲线形构件的质量
把曲线弧 L分成 n个小段s1s2sn(?si也表示弧长 )?
任取 (?ii)si? 得第 i小段质量的近似值?(?ii)?si?
上页 下页 铃结束返回首页将 L任意分成 n个小弧段?
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在每个小弧段?si上任取一点 (?ii)?作和
对弧长的曲线积分下页设 L为 xOy面内的一条光滑曲线弧?函数 f(x?y)在 L上有界?
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如果当max{?s1s2sn}?0时? 这和的极限总存在? 则称此极限为函数 f(x? y)在曲线弧 L上对弧长的曲线积分? 记作
dsyxfL ),( 即其中 f(x?y)叫做被积函数?L叫做积分弧段?
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对弧长的曲线积分说明?
当函数 f(x? y)在光滑曲线弧 L上连续时? 函数 f(x? y)在曲线弧 L
上对弧长的曲线积分是存在的? 以后我们总假定 f(x? y)在 L上是连续的?
对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分?
曲线形构件的质量就是曲线积分 的值?
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类似地可以定义函数 f(x? y? z)在空间曲线弧?上对弧长的曲线积分?
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下页
对弧长的曲线积分
如果 L(或?)是分段光滑的? 则规定函数在 L(或?)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和?
例如?设 L可分成两段光滑曲线弧 L1及 L2?则规定
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2121
函数 f(x?y)在闭曲线 L上对弧长的曲线积分记作?
dsyxfL ),(?
说明?
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对弧长的曲线积分的性质首页
性质 1 设 c1,c2为常数? 则
dsyxgcdsyxfcdsyxgcyxfc LLL ),(),()],(),([ 2121
性质 2 若积分弧段 L可分成两段光滑曲线弧 L1和 L2?则
dsyxfdsyxfdsyxf LLL ),(),(),(
21
性质 3 设在 L上 f(x?y)?g(x?y)?则
LL dsyxgdsyxf ),(),(?
特别地?有
LL dsyxfdsyxf |),(||),(|?
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二、对弧长的曲线积分的计算下页根据对弧长的曲线积分的定义?如果曲线形构件 L的线密度为 f(x?y)?则曲线形构件 L的质量为
L dsyxf ),(?
另一方面?如果曲线 L是光滑的?其 参数方程为
x(t)?y (t) (t)?
则曲线形构件 L的质量为曲线形构件 L的质量元素为
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上页 下页 铃结束返回首页二、对弧长的曲线积分的计算根据对弧长的曲线积分的定义?如果曲线形构件 L的线密度为 f(x?y)?则曲线形构件 L的质量为
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下页另一方面?如果曲线 L是光滑的?其 参数方程为
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则曲线形构件 L的质量为上页 下页 铃结束返回首页则曲线积分 dsyxfL ),(? 存在? 并 且
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二、对弧长的曲线积分的计算
定理下页设 f(x?y)在曲线弧 L上有定义且连续?L的参数方程为
x(t)?y(t) (t)?
其中?(t),?(t)在 []上具有一阶连续导数?且2(t)2(t)?0?
应注意的问题?定积分的下限?一定要小于上限
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dtttttfdsyxfL )()()](),([),( 22 ( )?
设曲线 L的参数方程为 x(t)?y(t) (t)?则讨论?
( 1 ) 若曲线 L 的方程为 y ( x )( a? x? b )? 则 dsyxfL ),(？
( 2 ) 若曲线 L 的方程为 x ( y )( c? y? d )? 则 dsyxfL ),(？
提示?
(1)L的参数方程为 x?x?y(x)(a?x?b)?
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设曲线 L的参数方程为 x(t)?y(t) (t)?则讨论?
( 1 ) 若曲线 L 的方程为 y ( x )( a? x? b )? 则 dsyxfL ),(？
( 2 ) 若曲线 L 的方程为 x ( y )( c? y? d )? 则 dsyxfL ),(？
提示?
(2)L的参数方程为 x(y)?y?y(c?y?d)?
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(3)若曲线?的参数方程为 x(t)?y(t)?z(t)(t)?
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提示?
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设曲线 L的参数方程为 x(t)?y(t) (t)?则例 1 计算 dsyL 其中 L 是抛物线 y? x 2 上点 O (0? 0 ) 与点
B(1?1)之间的一段弧?
曲线 L的参数方程为 x?x?y?x2 (0?x?1)?因此解
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10 241 dxxx )155(121
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取坐标系如图所示?则曲线 L的参数方程为解
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设曲线 L的参数方程为 x(t)?y(t) (t)?则
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于是所求转动惯量 I为
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转动惯量的元素为 dI?y2?ds?y2ds?
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取坐标系如图所示?则曲线 L的参数方程为解
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设曲线 L的参数方程为 x(t)?y(t) (t)?则于是所求转动惯量 I为
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上页 下页 铃结束返回首页例 3 计算曲线积分 dszyx )( 222 其中? 为螺旋线
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解
x2?y2?z2?(acost)2?(asint)2?(kt)2?a2?k2t2?
在曲线?上有并且
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结束
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所 以 dszyx )( 22220 22222 )( dtkatka
例 3 计算曲线积分 dszyx )( 222 其中? 为螺旋线
x?acost,y?asint,z?kt上相应于 t从 0到达 2?的一段弧?
解 在曲线?上有并且
x2?y2?z2?(acost)2?(asint)2?(kt)2?a2?k2t2?
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