一、函数的连续性二、函数的间断点
§ 1.8 函数的连续性与间断点上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、函数的连续性
变量的增量设函数 y?f(x)在点 x0的某一个邻域 U(x0)内有定义?
下页称 Dy?f(x0+Dx)-f(x0)函数 y的增量为?
在邻域 U(x0)内? 若自变量 x从初值 x0变到终值 x1?
则称 Dx?x1-x0为自变量 x的增量?
Dx
Dy
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函数的连续性定义提示,
下页
0lim 0?D?D yx? 0)]()([lim 0
0
-? xfxfxx? )()(lim 0
0
xfxfxx
设 x?x0+Dx?则当 Dx?0时?x?x0?因此设函数 y?f(x) 在点 x0的某一个邻域内有定义? 如果那么就称函数 y?f(x) 在点 x0处连续?
0lim 0?D?D yx? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx 0l i m 0?D?D yx? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx
Dy?f(x0+Dx)-f(x0)?
0l i m 0 D?D yx? 0)]()([lim
0
-? xfxfxx? )()(lim 0
0
xfxfxx 0lim 0?D?D yx? 0)](([lim 0
0
-? xfxfxx? )()(lim 0
0
xfxfxx
上页 下页 铃结束返回首页讨论,
如何用 e-d 语言叙述函数的连续性定义？
e >0d >0? 当 |x-x0|<d? 有 |f(x)-f(x0)|<e?
提示,
)()(lim 0
0
xfxfxx
下页
函数的连续性定义设函数 y?f(x) 在点 x0的某一个邻域内有定义? 如果那么就称函数 y?f(x) 在点 x0处连续?
0lim 0?D?D yx? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx 0l i m 0?D?D yx? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx
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左连续与右连续
结论函数 y?f(x)在点 x0处连续?函数 y?f(x)在点 x0处左连续且右连续?
下页如果 )()(lim 0
0
xfxf
xx
-
则称 y? f ( x ) 在点 0x 处左连续?
如果 )()(lim 0
0
xfxf
xx
+
则称 y? f ( x ) 在点 0x 处右连续?
函数的连续性定义设函数 y?f(x) 在点 x0的某一个邻域内有定义? 如果那么就称函数 y?f(x) 在点 x0处连续?
0lim 0?D?D yx? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx 0l i m 0?D?D yx? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx
上页 下页 铃结束返回首页注,
连续函数在区间上每一点都连续的函数? 叫做在该区间上的连续函数? 或者说函数在该区间上连续?
连续函数举例
1?多项式函数 P(x)在区间 (- +?)内是连续的?
这是因为? 函数 P(x)在 (- +?)内任意一点 x0处有定义? 并且
)()(lim 0
0
xPxPxx
下页如果区间包括端点? 那么函数在右端点连续是指左连续?
在左端点连续是指右连续?
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2? 函数 y?sin x 在区间 (- +?)内是连续的?
这是因为? 函数 y?sin x在 (- +?)内任意一点 x处有定义? 并且
]s i n)[ s i n (limlim 00 xxxy xx -D+?D?D?D
0)2c o s (2s i n2lim 0?D+DD xxxx?
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连续函数在区间上每一点都连续的函数? 叫做在该区间上的连续函数? 或者说函数在该区间上连续?
连续函数举例上页 下页 铃结束返回首页二、函数的间断点
间断点的定义设函数 f(x)在点 x0的某去心邻域内有定义? 在此前提下? 如果函数 f(x)有下列三种情形之一?
(1)在 x0没有定义?
则函数 f(x)在点 x0不连续? 而点 x0称为函数 f(x)的不连续点或间断点?
(2)虽然在 x0有定义? 但 f(x)不存在?
0
limxx?
(3)虽然在 x0有定义且 f(x)存在? 但 f(x)?f(x0)?
0
limxx?
0
limxx?
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间断点举例例 1
例 1? 正切函数 y? ta n x 在 2x 处没有定义?
所以点 2x 是函数 ta n x 的间断点?
因为
x
x
t a nlim
2
故称 2x 为函数 ta n x 的无穷间断点?
下页上页 下页 铃结束返回首页例 2? 函数 xy 1s i n? 在点 x? 0 没有定义?
例 2
当 x?0时? 函数值在 -1与 +1之间变动无限多次?
所以点 x?0是函数的间断点?
所以点 x?0称为函数的振荡间断点?
下页
间断点举例
xy
1sin?
上页 下页 铃结束返回首页所以点 x?1是函数的间断点?
如果补充定义? 令 x?1时 y?2? 则所给函数在 x?1成为连续? 所以 x?1称为该函数的可去间断点?
例 3
例 3? 函数 112 --? xxy 在 x? 1 没有定义?
因为 11l i m 21 --? xxx 2)1(l i m 1?+ xx?
下页
间断点举例
1
12
-
-?
x
xy
上页 下页 铃结束返回首页所以 x?1是函数 f(x)的间断点?
如果改变函数 f(x)在 x?1处的定义? 令 f(1)?1? 则函数在
x?1成为连续? 所以 x?1也称为此函数的可去间断点?
例 4
例 4? 设函数
1
2
1
1
)( x
xx
xfy?
因为 1lim)(lim 11 xxf xx? 21)1(?f?
)1()(lim 1 fxfx
2
1)1(?f?
下页
间断点举例上页 下页 铃结束返回首页
)(lim)(lim
00
xfxf
xx +-
因函数 f(x)的图形在 x?0处产生跳跃现象? 我们称 x?0
为函数 f(x)的跳跃间断点?
例 5
例 5? 设函数
+
-
0 1
0 0
0 1
)(
xx
x
xx
xf?
所以极限 )(l i m 0 xfx? 不存在? x? 0 是函数 f ( x ) 的间断点? 所以极限 )(l i m 0 xfx? 不存在? x? 0 是函数 f ( x ) 的间断点?
下页
间断点举例因为 1)1(lim)(lim 00 -?-? -- xxf xx?
1)1(lim)(lim 00?+? ++ xxf xx?
上页 下页 铃结束返回首页通常把间断点分成两类?
设 x0是函数 f(x)的间断点? 如果左极限 f(x0-)及右极限
f(x0+)都存在? 那么 x0称为函数 f(x)的第一类间断点?
不属于第一类间断点的间断点? 称为第二类间断点?
在第一类间断点中? 左、右极限相等者称为可去间断点?不相等者称为跳跃间断点?
无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点?
间断点的类型结束
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变量的增量设函数 y?f(x)在点 x0的某一个邻域 U(x0)内有定义?
下页称 Dy?f(x0+Dx)-f(x0)函数 y的增量为?
在邻域 U(x0)内? 若自变量 x从初值 x0变到终值 x1?
则称 Dx?x1-x0为自变量 x的增量?
Dx
Dy
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函数的连续性定义提示,
下页
0lim 0?D?D yx? 0)]()([lim 0
0
-? xfxfxx? )()(lim 0
0
xfxfxx
设 x?x0+Dx?则当 Dx?0时?x?x0?因此设函数 y?f(x) 在点 x0的某一个邻域内有定义? 如果那么就称函数 y?f(x) 在点 x0处连续?
0lim 0?D?D yx? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx 0l i m 0?D?D yx? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx
Dy?f(x0+Dx)-f(x0)?
0l i m 0 D?D yx? 0)]()([lim
0
-? xfxfxx? )()(lim 0
0
xfxfxx 0lim 0?D?D yx? 0)](([lim 0
0
-? xfxfxx? )()(lim 0
0
xfxfxx
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如何用 e-d 语言叙述函数的连续性定义？
e >0d >0? 当 |x-x0|<d? 有 |f(x)-f(x0)|<e?
提示,
)()(lim 0
0
xfxfxx
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函数的连续性定义设函数 y?f(x) 在点 x0的某一个邻域内有定义? 如果那么就称函数 y?f(x) 在点 x0处连续?
0lim 0?D?D yx? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx 0l i m 0?D?D yx? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx
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左连续与右连续
结论函数 y?f(x)在点 x0处连续?函数 y?f(x)在点 x0处左连续且右连续?
下页如果 )()(lim 0
0
xfxf
xx
-
则称 y? f ( x ) 在点 0x 处左连续?
如果 )()(lim 0
0
xfxf
xx
+
则称 y? f ( x ) 在点 0x 处右连续?
函数的连续性定义设函数 y?f(x) 在点 x0的某一个邻域内有定义? 如果那么就称函数 y?f(x) 在点 x0处连续?
0lim 0?D?D yx? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx 0l i m 0?D?D yx? 或 )()(lim 0
0
xfxfxx
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连续函数在区间上每一点都连续的函数? 叫做在该区间上的连续函数? 或者说函数在该区间上连续?
连续函数举例
1?多项式函数 P(x)在区间 (- +?)内是连续的?
这是因为? 函数 P(x)在 (- +?)内任意一点 x0处有定义? 并且
)()(lim 0
0
xPxPxx
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在左端点连续是指右连续?
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2? 函数 y?sin x 在区间 (- +?)内是连续的?
这是因为? 函数 y?sin x在 (- +?)内任意一点 x处有定义? 并且
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0)2c o s (2s i n2lim 0?D+DD xxxx?
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间断点的定义设函数 f(x)在点 x0的某去心邻域内有定义? 在此前提下? 如果函数 f(x)有下列三种情形之一?
(1)在 x0没有定义?
则函数 f(x)在点 x0不连续? 而点 x0称为函数 f(x)的不连续点或间断点?
(2)虽然在 x0有定义? 但 f(x)不存在?
0
limxx?
(3)虽然在 x0有定义且 f(x)存在? 但 f(x)?f(x0)?
0
limxx?
0
limxx?
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间断点举例例 1
例 1? 正切函数 y? ta n x 在 2x 处没有定义?
所以点 2x 是函数 ta n x 的间断点?
因为
x
x
t a nlim
2
故称 2x 为函数 ta n x 的无穷间断点?
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例 2
当 x?0时? 函数值在 -1与 +1之间变动无限多次?
所以点 x?0是函数的间断点?
所以点 x?0称为函数的振荡间断点?
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间断点举例
xy
1sin?
上页 下页 铃结束返回首页所以点 x?1是函数的间断点?
如果补充定义? 令 x?1时 y?2? 则所给函数在 x?1成为连续? 所以 x?1称为该函数的可去间断点?
例 3
例 3? 函数 112 --? xxy 在 x? 1 没有定义?
因为 11l i m 21 --? xxx 2)1(l i m 1?+ xx?
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间断点举例
1
12
-
-?
x
xy
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如果改变函数 f(x)在 x?1处的定义? 令 f(1)?1? 则函数在
x?1成为连续? 所以 x?1也称为此函数的可去间断点?
例 4
例 4? 设函数
1
2
1
1
)( x
xx
xfy?
因为 1lim)(lim 11 xxf xx? 21)1(?f?
)1()(lim 1 fxfx
2
1)1(?f?
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)(lim)(lim
00
xfxf
xx +-
因函数 f(x)的图形在 x?0处产生跳跃现象? 我们称 x?0
为函数 f(x)的跳跃间断点?
例 5
例 5? 设函数
+
-
0 1
0 0
0 1
)(
xx
x
xx
xf?
所以极限 )(l i m 0 xfx? 不存在? x? 0 是函数 f ( x ) 的间断点? 所以极限 )(l i m 0 xfx? 不存在? x? 0 是函数 f ( x ) 的间断点?
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间断点举例因为 1)1(lim)(lim 00 -?-? -- xxf xx?
1)1(lim)(lim 00?+? ++ xxf xx?
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设 x0是函数 f(x)的间断点? 如果左极限 f(x0-)及右极限
f(x0+)都存在? 那么 x0称为函数 f(x)的第一类间断点?
不属于第一类间断点的间断点? 称为第二类间断点?
在第一类间断点中? 左、右极限相等者称为可去间断点?不相等者称为跳跃间断点?
无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点?
间断点的类型结束
