一、准则 I及第一个重要极限二、准则 II及第二个重要极限
§ 1.6 极限存在准则 两个重要极限上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、准则 I及第一个重要极限如果数列 {xn},{yn}及 {zn}满足下列条件?
(1)yn?xn?zn(n=1? 2? 3 )?
准则 I
准则 I?
如果函数 f(x),g(x)及 h(x)满足下列条件?
(1) g(x)?f(x)?h(x)?
(2)lim g(x)=A? lim h(x)=A?
那么 lim f(x)存在? 且 lim f(x)=A?
( 2 ) ay nn =l i m? az nn =l i m?
下页那么数列 { x n } 的极限存在? 且 ax nn =l i m?
>>>
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第一个重要极限显然 BC? AB?AD?
(
因此 sin x? x? tan x?
D
B
1
O C A
x
1s inlim
0
=
x
x
x
简要证明 参看附图? 设圆心角?AOB=x
( 2 0 x )?
从而 1s i nc o s x xx ( 此不等式当 x? 0 时也成立 )?
因为 1c o slim 0 =? xx?
根据准则 I 1s i nl i m 0 =? x xx?
下页上页 下页 铃结束返回首页注,
这是因为? 令 u=a(x)? 则 u?0? 于是在极限 )( )(s i nl i m x xa a 中? 只 要 a ( x ) 是无穷小? 就 有
1)( )(s inlim =x xa a?
)(
)(s i nl i m
x
x
a
a 1s i nl i m
0
==
u
u
u
下页
第一个重要极限
1s inlim
0
=
x
x
x
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20
c o s1lim
x
x
x
=
2
2
02
2
0
)
2
(
2
s in
lim
2
12s in2
lim
x
x
x
x
xx
=
1s i nl i m
0
=
x
x
x? 1)(
)(s i nlim =
x
x
a
a ( a ( x )? 0 )?
例 1
例 1? 求 x xx ta nlim 0
解? x xx ta nlim0? xx xx c o s1s inlim 0?=? 1c o s1lims inlim 00 =?= xx x xx?
解解? x xx t a nlim 0? xx x c o s1s inlim 0?=? 1c o s1lims inlim 00 =?= xx x xx? 解? x xx t a nlim 0? xx xx c o s1inlim 0?=? 1c o s1lims inlim 00 =?=? xx x xx? 解? xxx tanlim0? xxxx cos1sinlim0?=? 1cos1limsinlim 00 =?=? xxx xx?
解例 2
例 2? 求 20 c o s1lim x xx
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2
1
1
2
1
2
2
s in
lim
2
1
2
2
0
=?=

=
x
x
x
2
1
1
2
1
2
2
s in
lim
2
1
2
2
0
=?=

=
x
x
x
20
c o s1lim
x
x
x
=
2
2
02
2
0
)
2
(
2
s in
lim
2
12s in2
lim
x
x
x
x
xx
=
2
c o s
x
x =
2
2
02
2
0
)
2
(
2
s in
lim
2
12s in2
lim
x
x
x
x
xx
=
上页 下页 铃结束返回首页二、准则 II及第二个重要极限注,
如果 xn?xn+1? n?N+?就称数列 {xn}是单调增加的?
如果 xn?xn+1? n?N+?就称数列 {xn}是单调减少的?
单调增加和单调减少数列统称为单调数列?
下页
准则 II
单调有界数列必有极限?
提问,
收敛的数列是否一定有界？
有界的数列是否一定收敛？
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M
二、准则 II及第二个重要极限
准则 II
单调有界数列必有极限?
准则 II的几何解释
x1 x5x4x3x2 xn
A
以单调增加数列为例? 数列 的点只可能向右一个方向移动? 或者无限向右移动? 或者无限趋近于某一定点 A? 而对有界数列只可能后者情况发生?
上页 下页 铃结束返回首页根据准则 II? 数列 {xn}必有极限? 此极限用 e来表示? 即
第二个重要极限
e是个无理数? 它的值是
e=2? 718281828459045
en nn =+ )11(lim?
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准则 II
单调有界数列必有极限?
可以证明 (2)xn?3?(1)xn?xn+1? n?N+? >>>>>>
设 nn nx )11( +=?
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第二个重要极限二、准则 II及第二个重要极限
准则 II
单调有界数列必有极限?
ex xx =+ )11(lim?
我们还可以证明这就是第二个重要极限?
根据准则 II? 数列 {xn}必有极限? 此极限用 e来表示? 即
en nn =+ )11(lim?
可以证明 (2)xn?3?(1)xn?xn+1? n?N+?
设 nn nx )11( +=?
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第二个重要极限二、准则 II及第二个重要极限
准则 II
单调有界数列必有极限?
ex xx =+ )11(lim?
注,
在极限 )(1)](1l i m [ xx aa+ 中? 只 要 a ( x ) 是无穷小? 就 有
ex x =+ )(1)](1lim [ aa?
>>>
上页 下页 铃结束返回首页解
ex x
x
=+

)11(l i m? ex x =+ )(
1
)](1l i m [ aa ( a ( x )? 0)?
例 3
例 3? 求 xx x )11(lim
令 t=?x? 则 x时? t 于是
x
x x
)11(lim?

t
t t

+= )11(lim
e
t
tt
1
)11(
1lim =
+
=

x
x x
)11(lim?

t
t t

+= )11(lim
e
t
tt
1
)11(
lim =
+
=

x
x x
)11(lim?

t
t t

+= )11(lim
e
t
tt
1
)11(
1lim =
+
=

x
x x
)11(lim?

t
t t

+= )1(lim
e
t
tt
1
)11(
1lim =
+
=

或 )1()11(lim)11(lim

+=? x
x
x
x xx
11])11(lim[
=?+= ex
x
x?
或 )1()11(lim)11(lim

+=? x
x
x
x xx
11])11(lim[
=?+= ex
x
x?
结束