§ 1.7 无穷小的比较
观察与比较观察两个无穷小比值的极限两个无穷小比值的极限的各种不同情况? 反映了不同的无穷小趋于零的,快慢,程度?
在 x?0的过程中? x2比 3x趋于零的速度 快些? 反过来
3x比 x2趋于零的速度 慢些? 而 sin x与 x趋于零的速度 相仿?
03lim 20 xxx 20 3l i m x xx? 1s i nl i m 0 x xx?
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无穷小的阶设 a 及 b 为 同一个自变量的变化过程中的无穷小?
下页如果 0l i m?ab? 就说 b 是比 a 高阶的无穷小? 记为 b? o ( a )?
如果abl i m? 就说 b 是比 a 低阶的无穷小?
如果 0l i m cab? 就说 b 与 a 是同阶无穷小?
如果 0lim ckab? k >0? 就说 b 是关于 a 的 k 阶无穷小?
如果 1lim?ab? 就说 b 与 a 是等价无穷小? 记为 a ~ b?
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阶的比较举例所以当 x?0时? 3x2是比 x高阶的无穷小? 即 3x2?o(x)(x?0)?
所以当 x?3时? x2-9与 x-3是同阶无穷小?
所以当 n 时? n1 是比 21n 低阶的无穷小?
因为
2
1
1
lim
n
n
n
例 2
例 3? 因为 639lim 23?--? xxx?
例 3
例 1? 因为 03lim 20 xxx?
例 1
下页上页 下页 铃结束返回首页所以当 x?0时? 1-cos x 是关于 x 的二阶无穷小?
所以当 x?0时? sin x 与 x是等价无穷小? 即 sin x~x(x?0)?
例 4? 因为 21c os1l i m 20?-? x xx?
例 4
例 5? 因为 1s inlim 0 x xx?
例 5
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阶的比较举例上页 下页 铃结束返回首页
定理 1
b与 a是等价无穷小的充分必要条件为
b?a+o(a)?
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关于等价无穷小的定理必要性,证明
01lim)1lim (lim?-?-?- ababa ab?
所以 b –a?o(a)?
因为设 a~b? 只需证 b –a?o(a)?
01lim)1lim (lim?-?-?- ababa ab? 01lim)1li (lim?-?-?- ababa ab?
充分性,设 b?a+o(a)? 则
1])(1lim[)(limlim?+?+? aaaaaab oo? 1])(1lim [)(limlim?+?+? aaa aaab oo? 1])(1lim [)(limlim?+?+? aaa aaab oo? ])(1lim[)(limlim?+?+? aaaaaab oo?
因此 a~b?
上页 下页 铃结束返回首页所以当 x?0时? 有
sin x?x+o(x)?
tan x?x+o(x)?
1 - c o s x? )(21 22 xox +?
例 6? 因为当 x? 0 时 s i n x ~ x? ta n x ~ x? 1 - c o s x ~ 221 x?
例 6
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定理 1
b与 a是等价无穷小的充分必要条件为
b?a+o(a)?
关于等价无穷小的定理上页 下页 铃结束返回首页 下页
定理 1
b与 a是等价无穷小的充分必要条件为
b?a+o(a)?
关于等价无穷小的定理设 a ~ a b ~ b 且 ablim 存在? 则 abab limlim?
定理 2
a
a
a
b
b
b
a
b
limlim
a
b
a
a
a
b
b
b
limlimlimlim?
证明
a
a
a
b
b
b
a
b
lim
a
b
a
a
a
b
b
b
limlimlimlim?
上页 下页 铃结束返回首页求两个无穷小比值的极限时? 分子及分母都可用等价无穷小来代替? 因此? 如果用来代替的无穷小选取得适当? 则可使计算简化?
定理 2的意义,
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定理 1
b与 a是等价无穷小的充分必要条件为
b?a+o(a)?
关于等价无穷小的定理设 a ~ a b ~ b 且 ablim 存在? 则 abab limlim?
定理 2
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3
1
3
1lim
3lim3
s inlim
203030?+?+?+ xxx
x
xx
x
xxx
解 当 x?0时? tan 2x~2x? sin 5x~5x? 所以解 当 x?0时 sin x~x? 无穷小 x3+3x与它本身显然是等价的? 所以若 a ~ a b ~ b 且 ablim 存在? 则 abab limlim?
例 7
例 求 xxx 5s in 2t a nlim 0
x
x
x 5s in
2ta nlim
0? 5
2
5
2lim
0 x
x
x?
例 8
例 求 xx xx 3s inlim 30 +
x
x
x 5s in
2tanlim
0? 5
2
5
2lim
0 x
x
x? x
x
x 5sin
2tanlim
0 5
2
5
2lim
0 x
x
x?
结束
3
1
3
1lim
3lim3
s inlim
203030?+?+?+ xxx
x
xx
x
xxx
3lim3lim3s inlim 2
03030?+?+ xxx
x
xx
x
xxx
31lim3lim3sinlim 2
03030?+?+?+ xxx
x
x
x
xxx
观察与比较观察两个无穷小比值的极限两个无穷小比值的极限的各种不同情况? 反映了不同的无穷小趋于零的,快慢,程度?
在 x?0的过程中? x2比 3x趋于零的速度 快些? 反过来
3x比 x2趋于零的速度 慢些? 而 sin x与 x趋于零的速度 相仿?
03lim 20 xxx 20 3l i m x xx? 1s i nl i m 0 x xx?
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无穷小的阶设 a 及 b 为 同一个自变量的变化过程中的无穷小?
下页如果 0l i m?ab? 就说 b 是比 a 高阶的无穷小? 记为 b? o ( a )?
如果abl i m? 就说 b 是比 a 低阶的无穷小?
如果 0l i m cab? 就说 b 与 a 是同阶无穷小?
如果 0lim ckab? k >0? 就说 b 是关于 a 的 k 阶无穷小?
如果 1lim?ab? 就说 b 与 a 是等价无穷小? 记为 a ~ b?
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阶的比较举例所以当 x?0时? 3x2是比 x高阶的无穷小? 即 3x2?o(x)(x?0)?
所以当 x?3时? x2-9与 x-3是同阶无穷小?
所以当 n 时? n1 是比 21n 低阶的无穷小?
因为
2
1
1
lim
n
n
n
例 2
例 3? 因为 639lim 23?--? xxx?
例 3
例 1? 因为 03lim 20 xxx?
例 1
下页上页 下页 铃结束返回首页所以当 x?0时? 1-cos x 是关于 x 的二阶无穷小?
所以当 x?0时? sin x 与 x是等价无穷小? 即 sin x~x(x?0)?
例 4? 因为 21c os1l i m 20?-? x xx?
例 4
例 5? 因为 1s inlim 0 x xx?
例 5
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定理 1
b与 a是等价无穷小的充分必要条件为
b?a+o(a)?
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关于等价无穷小的定理必要性,证明
01lim)1lim (lim?-?-?- ababa ab?
所以 b –a?o(a)?
因为设 a~b? 只需证 b –a?o(a)?
01lim)1lim (lim?-?-?- ababa ab? 01lim)1li (lim?-?-?- ababa ab?
充分性,设 b?a+o(a)? 则
1])(1lim[)(limlim?+?+? aaaaaab oo? 1])(1lim [)(limlim?+?+? aaa aaab oo? 1])(1lim [)(limlim?+?+? aaa aaab oo? ])(1lim[)(limlim?+?+? aaaaaab oo?
因此 a~b?
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sin x?x+o(x)?
tan x?x+o(x)?
1 - c o s x? )(21 22 xox +?
例 6? 因为当 x? 0 时 s i n x ~ x? ta n x ~ x? 1 - c o s x ~ 221 x?
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定理 1
b与 a是等价无穷小的充分必要条件为
b?a+o(a)?
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定理 1
b与 a是等价无穷小的充分必要条件为
b?a+o(a)?
关于等价无穷小的定理设 a ~ a b ~ b 且 ablim 存在? 则 abab limlim?
定理 2
a
a
a
b
b
b
a
b
limlim
a
b
a
a
a
b
b
b
limlimlimlim?
证明
a
a
a
b
b
b
a
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lim
a
b
a
a
a
b
b
b
limlimlimlim?
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定理 2的意义,
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定理 1
b与 a是等价无穷小的充分必要条件为
b?a+o(a)?
关于等价无穷小的定理设 a ~ a b ~ b 且 ablim 存在? 则 abab limlim?
定理 2
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3
1
3
1lim
3lim3
s inlim
203030?+?+?+ xxx
x
xx
x
xxx
解 当 x?0时? tan 2x~2x? sin 5x~5x? 所以解 当 x?0时 sin x~x? 无穷小 x3+3x与它本身显然是等价的? 所以若 a ~ a b ~ b 且 ablim 存在? 则 abab limlim?
例 7
例 求 xxx 5s in 2t a nlim 0
x
x
x 5s in
2ta nlim
0? 5
2
5
2lim
0 x
x
x?
例 8
例 求 xx xx 3s inlim 30 +
x
x
x 5s in
2tanlim
0? 5
2
5
2lim
0 x
x
x? x
x
x 5sin
2tanlim
0 5
2
5
2lim
0 x
x
x?
结束
3
1
3
1lim
3lim3
s inlim
203030?+?+?+ xxx
x
xx
x
xxx
3lim3lim3s inlim 2
03030?+?+ xxx
x
xx
x
xxx
31lim3lim3sinlim 2
03030?+?+?+ xxx
x
x
x
xxx
