?无穷小的性质
极限的四则运算法则
§ 1.5 极限运算法则上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页证明设?及?是当 x?x0时的两个无穷小? 则0?
1?0? 当 0?|x?x0|1 时? 有 |?|
2?0? 当 0?|x?x0|2 时? 有 |?|
取min{?12}? 则当 0?|x?x0|时? 有这说明 也是当 x?x0时的无穷小?
||?|?|?|?|?2
定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小?
无穷小的性质仅就两个 x?x0时的无穷小情形证明?
举例,当 x?0时? x与 sin x都是无穷小? 所以 x?sin x也是当
x?0时的无穷小?
下页上页 下页 铃结束返回首页设函数 u在 x0的某一去心邻域 {x|0?|x?x0|1}内有界?即?M?0? 使当 0?|x?x0|1时? 有 |u|?M?
又设?是当 x?x0时的无穷小? 即0? 存在?2?0? 使当
0?|x?x0|2时? 有 |?|
取min{?12}? 则当 0?|x?x0| 时? 有
|u|?|u|?|?|?M
这说明 u 也是当 x?x0时的无穷小?
证明
定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小?
定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小?
无穷小的性质下页上页 下页 铃结束返回首页举例,
当 x 时? x1 是无穷小? a r c ta n x 是有界函数?
所以 x1 a r c ta n x 也是无穷小?
推论 2 有限个无穷小的乘积也是无穷小?
定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小?
定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小?
无穷小的性质
推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小?
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(2)lim f(x)?g(x)?lim f(x)?lim g(x)?A?B?
推论 1 如果 lim f(x)存在? 而 c为常数? 则
lim[c?f(x)]?c?limf(x)?
推论 2 如果 limf(x)存在? 而 n是正整数? 则
lim[f(x)]n?[limf(x)]n?
定理 3
如果 lim f(x)?A? lim g(x)?B? 那么下页
极限的四则运算法则
( 3 ) BAxg xfxg xf )(lim )(lim)( )(lim ( B? 0 )?
(1)lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?B? >>>
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数列极限的四则运算法则
定理 5 如果 j(x)?y(x)? 而 limj(x)?a? limy(x)?b? 那么 a?b?
不等式
( 1 ) BAyx nnn )(lim?
( 2 ) BAyx nnn )(lim?
( 3 ) 当 0?ny ( n? 1? 2) 且 B? 0 时? BAyx
n
n
n
l i m?
定理 4 设有数列 {xn}和 {yn}? 如果
Ax n
n
lim? By n
n
l i m?
那么下页上页 下页 铃结束返回首页
求极限举例
讨论
提示例 1? 求 )12(lim
1
x
x
例 1
解下页若 nnnn axaxaxaxP 1110 )(? 则?)(l i m
0
xPxx
)()(lim 0
0
xPxPxx
>>>
解?
)35(lim
)1(lim
35
1lim
2
2
3
2
2
3
2
xx
x
xx
x
x
x
x
373102 122 3
例 2? 求 35 1lim 2 3 2 xx xx?
例 2
解解?
)35(lim
)1(
35
1lim
2
2
3
2
2
3
2
xx
x
xx
x
x
x
x
373102 122 3
提问
11121lim21lim2lim)12(lim 1 1 1 1 xxx xxxx? 11121lim21li2lim)12(li 1 1 1 xxx xxxx? 1121lim21li2lim)12(lim 1 1 1 1 xxx xxxx? 1121lim22lim)12(lim 1 1 1 1 xxx xxx?
上页 下页 铃结束返回首页解例 3
例 3? 求 93lim 2 3 xxx?
解? 31lim)3)(3( 3lim93lim 3 32 3 xxx xxx xxx
6
1
)3(lim
1lim
3
3?
x
x
x?
解? 31lim)3)(3( 3lim93lim 3 32 3 xxx xx xxx 解? 31lim)3)(3( 3lim93lim 3 32 3 xxx xx xxx
6
1
)3(lim
1lim
3
3?
x
x
x?
解例 4
例 4? 求 45 32lim 2 1 xx xx?
解? 0312 415132 45lim 22 1 x xxx?
45
32lim
2 1
xx
x
x
根据无穷大与无穷小的关系得解? 0312 41512 45lim 22 1 xxx?
下页因为提问上页 下页 铃结束返回首页有理函数的极限?)( )(l i m
0
xQ
xP
xx
讨论
提示当 Q(x0)?P(x0)?0时? 约去分子分母的公因式 (x?x0)?
当 0)( 0?xQ 时? )( )()( )(lim
0
0
0 xQ
xP
xQ
xP
xx
当 0)( 0?xQ 且 0)( 0?xP 时
)(
)(lim
0 xQ
xP
xx
下页上页 下页 铃结束返回首页先用 x3去除分子及分母? 然后取极限?
解 先用 x3去除分子及分母? 然后取极限?
例 5
例 5? 求 357 243lim 23 23 xx xxx?
解,
7
3
357
243
lim
357
243lim
3
3
23
23
xx
xx
xx
xx
xx
7
3
357
243
lim
357
243lim
3
3
23
23
xx
xx
xx
xx
xx
7
3
37
23
lim
357
243lim
23
23
x
x
xx
xx
xx
例 6
例 6? 求 52 123lim 232 xx xxx?
0
2
0
512
123
lim
52
123lim
3
32
23
2
xx
xxx
xx
xx
xx
0
2
0
512
123
lim
52
123lim
3
32
23
2
xx
xxx
xx
xx
xx
0
2
0
12
123
lim
52
123lim
3
3
23
2
x
xxx
x
xx
xx
下页上页 下页 铃结束返回首页
讨论
提示例 7? 求 123 52lim 2 23 xx xxx?
例 7
解解? 因为 052 123lim 232 xx xxx? 所以
123 52lim 2 23 xx xxx?
所以有理函数的极限? l i m 1
10
110
mmm
nnn
x bxbxb
axaxa
mn
mn
b
a
mn
bxbxb
axaxa
m
mm
n
nn
x
0
l i m
0
0
1
10
1
10?
mn
mn
b
a
mn
bxxb
axaxa
m
mm
n
nn
x
0
lim
0
0
1
10
1
10?
下页上页 下页 铃结束返回首页解 当 x时? 分子及分母的极限都不存在? 故关于商的极限的运算法则不能应用?
例 8
例 8? 求 x xx s inlim
所以 0s inli m x xx?
因为 xxx x s i n1s i n 是是无穷小与有界函数的乘积?
下页上页 下页 铃结束返回首页
定理 6(复合函数的极限运算法则 )
说明设函数 y?f[g(x)]是由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成?
f[g(x)]在点 x0的某去心邻域内有定义? 若 g(x)?u0(x?x0)?
f(u)?A(u?u0)?且在 x0的某去心邻域内 g(x)?u0? 则
Aufxgf uuxx )(lim)]([lim
00
把定理中 g(x)?u0(x?x0)换成 g(x)(x?x0或 x)?
而把 f(u)?A(u?u0)换成 f(u)?A(u)可类似结果?
下页
>>>
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定理 6(复合函数的极限运算法则 )
结束设函数 y?f[g(x)]是由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成?
f[g(x)]在点 x0的某去心邻域内有定义? 若 g(x)?u0(x?x0)?
f(u)?A(u?u0)?且在 x0的某去心邻域内 g(x)?u0? 则
Aufxgf uuxx )(lim)]([lim
00
例 9 求 39lim
2
3?
x
x
x
例 9
解? 392 xxy 是由 uy? 与 392 xxu 复合而成的?
解因 为 639l i m
2
3
x
x
x
所 以 6l i m39l i m
6
2
3
uxx
ux
因 为 639lim
2
3
x
x
x
所 以 6lim39lim
6
2
3
uxx
ux
因 为 639lim
2
3
x
x
x
所 以 6lim39lim
6
2
3
ux
ux
因 为 639lim
2
x
x
x
所 以 6im39lim
6
2
3
uxx
x
极限的四则运算法则
§ 1.5 极限运算法则上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页证明设?及?是当 x?x0时的两个无穷小? 则0?
1?0? 当 0?|x?x0|1 时? 有 |?|
2?0? 当 0?|x?x0|2 时? 有 |?|
取min{?12}? 则当 0?|x?x0|时? 有这说明 也是当 x?x0时的无穷小?
||?|?|?|?|?2
定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小?
无穷小的性质仅就两个 x?x0时的无穷小情形证明?
举例,当 x?0时? x与 sin x都是无穷小? 所以 x?sin x也是当
x?0时的无穷小?
下页上页 下页 铃结束返回首页设函数 u在 x0的某一去心邻域 {x|0?|x?x0|1}内有界?即?M?0? 使当 0?|x?x0|1时? 有 |u|?M?
又设?是当 x?x0时的无穷小? 即0? 存在?2?0? 使当
0?|x?x0|2时? 有 |?|
取min{?12}? 则当 0?|x?x0| 时? 有
|u|?|u|?|?|?M
这说明 u 也是当 x?x0时的无穷小?
证明
定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小?
定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小?
无穷小的性质下页上页 下页 铃结束返回首页举例,
当 x 时? x1 是无穷小? a r c ta n x 是有界函数?
所以 x1 a r c ta n x 也是无穷小?
推论 2 有限个无穷小的乘积也是无穷小?
定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小?
定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小?
无穷小的性质
推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小?
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(2)lim f(x)?g(x)?lim f(x)?lim g(x)?A?B?
推论 1 如果 lim f(x)存在? 而 c为常数? 则
lim[c?f(x)]?c?limf(x)?
推论 2 如果 limf(x)存在? 而 n是正整数? 则
lim[f(x)]n?[limf(x)]n?
定理 3
如果 lim f(x)?A? lim g(x)?B? 那么下页
极限的四则运算法则
( 3 ) BAxg xfxg xf )(lim )(lim)( )(lim ( B? 0 )?
(1)lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?B? >>>
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数列极限的四则运算法则
定理 5 如果 j(x)?y(x)? 而 limj(x)?a? limy(x)?b? 那么 a?b?
不等式
( 1 ) BAyx nnn )(lim?
( 2 ) BAyx nnn )(lim?
( 3 ) 当 0?ny ( n? 1? 2) 且 B? 0 时? BAyx
n
n
n
l i m?
定理 4 设有数列 {xn}和 {yn}? 如果
Ax n
n
lim? By n
n
l i m?
那么下页上页 下页 铃结束返回首页
求极限举例
讨论
提示例 1? 求 )12(lim
1
x
x
例 1
解下页若 nnnn axaxaxaxP 1110 )(? 则?)(l i m
0
xPxx
)()(lim 0
0
xPxPxx
>>>
解?
)35(lim
)1(lim
35
1lim
2
2
3
2
2
3
2
xx
x
xx
x
x
x
x
373102 122 3
例 2? 求 35 1lim 2 3 2 xx xx?
例 2
解解?
)35(lim
)1(
35
1lim
2
2
3
2
2
3
2
xx
x
xx
x
x
x
x
373102 122 3
提问
11121lim21lim2lim)12(lim 1 1 1 1 xxx xxxx? 11121lim21li2lim)12(li 1 1 1 xxx xxxx? 1121lim21li2lim)12(lim 1 1 1 1 xxx xxxx? 1121lim22lim)12(lim 1 1 1 1 xxx xxx?
上页 下页 铃结束返回首页解例 3
例 3? 求 93lim 2 3 xxx?
解? 31lim)3)(3( 3lim93lim 3 32 3 xxx xxx xxx
6
1
)3(lim
1lim
3
3?
x
x
x?
解? 31lim)3)(3( 3lim93lim 3 32 3 xxx xx xxx 解? 31lim)3)(3( 3lim93lim 3 32 3 xxx xx xxx
6
1
)3(lim
1lim
3
3?
x
x
x?
解例 4
例 4? 求 45 32lim 2 1 xx xx?
解? 0312 415132 45lim 22 1 x xxx?
45
32lim
2 1
xx
x
x
根据无穷大与无穷小的关系得解? 0312 41512 45lim 22 1 xxx?
下页因为提问上页 下页 铃结束返回首页有理函数的极限?)( )(l i m
0
xQ
xP
xx
讨论
提示当 Q(x0)?P(x0)?0时? 约去分子分母的公因式 (x?x0)?
当 0)( 0?xQ 时? )( )()( )(lim
0
0
0 xQ
xP
xQ
xP
xx
当 0)( 0?xQ 且 0)( 0?xP 时
)(
)(lim
0 xQ
xP
xx
下页上页 下页 铃结束返回首页先用 x3去除分子及分母? 然后取极限?
解 先用 x3去除分子及分母? 然后取极限?
例 5
例 5? 求 357 243lim 23 23 xx xxx?
解,
7
3
357
243
lim
357
243lim
3
3
23
23
xx
xx
xx
xx
xx
7
3
357
243
lim
357
243lim
3
3
23
23
xx
xx
xx
xx
xx
7
3
37
23
lim
357
243lim
23
23
x
x
xx
xx
xx
例 6
例 6? 求 52 123lim 232 xx xxx?
0
2
0
512
123
lim
52
123lim
3
32
23
2
xx
xxx
xx
xx
xx
0
2
0
512
123
lim
52
123lim
3
32
23
2
xx
xxx
xx
xx
xx
0
2
0
12
123
lim
52
123lim
3
3
23
2
x
xxx
x
xx
xx
下页上页 下页 铃结束返回首页
讨论
提示例 7? 求 123 52lim 2 23 xx xxx?
例 7
解解? 因为 052 123lim 232 xx xxx? 所以
123 52lim 2 23 xx xxx?
所以有理函数的极限? l i m 1
10
110
mmm
nnn
x bxbxb
axaxa
mn
mn
b
a
mn
bxbxb
axaxa
m
mm
n
nn
x
0
l i m
0
0
1
10
1
10?
mn
mn
b
a
mn
bxxb
axaxa
m
mm
n
nn
x
0
lim
0
0
1
10
1
10?
下页上页 下页 铃结束返回首页解 当 x时? 分子及分母的极限都不存在? 故关于商的极限的运算法则不能应用?
例 8
例 8? 求 x xx s inlim
所以 0s inli m x xx?
因为 xxx x s i n1s i n 是是无穷小与有界函数的乘积?
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定理 6(复合函数的极限运算法则 )
说明设函数 y?f[g(x)]是由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成?
f[g(x)]在点 x0的某去心邻域内有定义? 若 g(x)?u0(x?x0)?
f(u)?A(u?u0)?且在 x0的某去心邻域内 g(x)?u0? 则
Aufxgf uuxx )(lim)]([lim
00
把定理中 g(x)?u0(x?x0)换成 g(x)(x?x0或 x)?
而把 f(u)?A(u?u0)换成 f(u)?A(u)可类似结果?
下页
>>>
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定理 6(复合函数的极限运算法则 )
结束设函数 y?f[g(x)]是由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成?
f[g(x)]在点 x0的某去心邻域内有定义? 若 g(x)?u0(x?x0)?
f(u)?A(u?u0)?且在 x0的某去心邻域内 g(x)?u0? 则
Aufxgf uuxx )(lim)]([lim
00
例 9 求 39lim
2
3?
x
x
x
例 9
解? 392 xxy 是由 uy? 与 392 xxu 复合而成的?
解因 为 639l i m
2
3
x
x
x
所 以 6l i m39l i m
6
2
3
uxx
ux
因 为 639lim
2
3
x
x
x
所 以 6lim39lim
6
2
3
uxx
ux
因 为 639lim
2
3
x
x
x
所 以 6lim39lim
6
2
3
ux
ux
因 为 639lim
2
x
x
x
所 以 6im39lim
6
2
3
uxx
x
