二,函数的极限的性质一,函数极限的定义
§ 1.3 函数的极限上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、函数极限的定义如果当 x无限地接近于 x0时? 函数 f(x)的值无限地接近于常数 A?则常数 A就叫做函数 f(x)当 x?x0时的极限? 记作
函数极限的通俗定义
0
lim xx? f ( x )? A 或 f ( x )? A ( 当 x? 0x )?
下页
1.自变量趋于有限值时函数的极限分析,
当 x?x0时? f(x)?A?
当 |x-x0|?0时? |f(x)-A|?0?
当 |x-x0|小于某一正数 d后? |f(x)-A|能小于给定的正数 e?
任给 e?0? 存在 d?0? 使 当 |x-x0|?d 时? 有 |f(x)-A|?e?
上页 下页 铃结束返回首页设函数 f(x)在点 x0的某一去心邻域内有定义? 如果存在常数 A? 对于任意给定的正数 e? 总存在正数 d? 使得当 x
满足不等式 0<|x-x0|?d 时? 对应的函数值 f(x)都满足不等式
|f(x)-A|?e?
那么常数 A就叫做函数 f(x)当 x?x0时的极限? 记为
函数极限的精确定义
0
lim xx? f ( x )? A 或 f ( x )? A ( 当 x? 0x )?
定义的简记形式
e >0d >0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e?
0
limxx? f(x )?A 或 f(x )? A (x? x 0 )。
下页上页 下页 铃结束返回首页
A
y=f(x)
x0
函数极限的几何意义当 0?|x-x0|?d 时? |f(x)-A|?e,
e >0:
d >0:
A-e
A+e
x0-d x0+d
下页
e>0d>0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e?
0
limxx? f(x )?A 或 f(x )? A (x? x 0 )。
上页 下页 铃结束返回首页所以 ccxx
0
lim?
例 1? 证明 cc
xx 0lim
例 1
证明 因为?e>0d>0? 当 0?|x-x0|?d 时? 都有
|f(x)-A|?|c-c|?0?e?
e>0d>0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e?
0
limxx? f(x )?A 或 f(x )? A (x? x 0 )。
下页分析,
|f(x)-A|?|c-c|?0.
e>0d>0? 当 0?|x-x0|?d 时? 都有 |f(x)-A|?e?
上页 下页 铃结束返回首页分析?
|f(x)-A|?|x-x0|?e?
当 0?|x-x0|?d 时? 有?d?e?因为?e?0?证明只要 |x-x0|?e?要使 |f(x)-A|?ee >0?
例 2
例 2? 证明 0
0
lim xxxx
|f(x)-A|?|x-x0|?
所以 0
0
lim xxxx
下页
e>0d>0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e?
0
limxx? f(x )?A 或 f(x )? A (x? x 0 )。
上页 下页 铃结束返回首页分析?
|f(x)-A|?|(2x-1)-1|?2|x-1|?
例 3
例 3? 证明 1)12(lim 1?-? xx?
因为?e?0?
所以 1)12(lim 1?-? xx?
证明
|f(x)-A|?|(2x-1)-1|?2|x-1|?e?
下页
e>0d>0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e?
0
limxx? f(x )?A 或 f(x )? A (x? x 0 )。
e >0?
当 0?|x-1|?d 时? 有?d?e /2?
只要 |x-1|<e /2?要使 |f(x)-A|<e?
上页 下页 铃结束返回首页
,|1||211||)(| 2 e?-?---?- xxxAxf
分析?
注意函数在 x?1是没有定义的? 但这与函数在该点是否有极限并无关系?
证明 因为?e >0d?e? 当 0?|x-1|?d 时? 有例 4
例 4? 证明 211lim 21?--? xxx?
所以 211lim 21?--? xxx?
下页分析当 x? 1 时? | f ( x ) - A | |21 1| 2 ---? xx? | x - 1|?
e >0? 只要 |x-1|?e?要使 |f(x)-A|<e?
e>0d>0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e?
0
limxx? f(x )?A 或 f(x )? A (x? x 0 )。
上页 下页 铃结束返回首页注,
单侧极限下页若当 x?x0-时? f(x)无限接近于某常数 A? 则常数 A叫做函数 f(x)当 x?x0时的左极限? 记为
Axfxx?-? )(lim
0
或 f(x0-)?A,
x?x0-表示 x从 x0的左侧 (即小于 x0)趋于 x0,
x?x0+表示 x从 x0的右侧 (即大于 x0)趋于 x0,
e>0d>0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e?
0
limxx? f(x )?A 或 f(x )? A (x? x 0 )。
e?0d?0? 当 x0-d?x?x0? 有 |f(x)-A|<e?
Axfxx?-? )(lim
0
精确定义上页 下页 铃结束返回首页
单侧极限若当 x?x0-时? f(x)无限接近于某常数 A? 则常数 A叫做函数 f(x)当 x?x0时的左极限? 记为
Axfxx?-? )(lim
0
或 f(x0-)?A,
e>0d>0? 当 0<|x-x0|<d? 有 |f(x)-A|<e?
0
limxx? f(x )?A 或 f(x )? A (x? x 0 )。
e?0d?0? 当 x0-d?x?x0? 有 |f(x)-A|<e?
Axfxx?-? )(lim
0
类似地可定义右极限,
结论
Axf
xx
)(l i m
0
Axf
xx
-
)(l i m
0
且 Axf
xx
+
)(lim
0
精确定义下页上页 下页 铃结束返回首页这是因为例 5 函数当 x?0时的极限不存在?

+
-
0 1
0 0
0 1
)(
xx
x
xx
xf
Axfxx )(l i m
0
Axf
xx
-
)(l i m
0
且 Axf
xx
+
)(lim
0
1)1(l i m)(l i m 00 -?-? -- xxf xx?
1)1(l i m)(l i m 00?+? ++ xxf xx?
)(lim)(lim 00 xfxf xx
+-

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xlim f ( x )? A?
-xlim f ( x )? A 和 +xlim f ( x )? A?
类似地可定义如果当 |x|无限增大时? f(x)无限接近于某一常数 A? 则常数 A叫做函数 f(x)当 x时的极限? 记为下页
2.自变量趋于无穷大时函数的极限
e?0X?0?当 |x|?X时? 有 |f(x)-A|?e?
xlim f (x )? A?
精确定义结论xlim f ( x )? A? -x lim f ( x )? A 且 +x lim f ( x )? A?
结论上页 下页 铃结束返回首页
e?0X?0?当 |x|?X时? 有 |f(x)-A|?e?
xlim f (x )? A?
极限的定义的几何意义
e?0:
X?0:
当 |x|>X时? 有 |f(x)-A|<e:
如果
x
lim f ( x )? c? 则直线 y? c 称为函数 y? f ( x ) 的图形的水平渐近线?
水平渐近线下页上页 下页 铃结束返回首页分析?
例 6? 证明 01lim xx?
例 6
证明
||
1|01||)(|
xxAxf?-?-? e?
所以 01lim xx?
||
1|01||)(|
xxAxf?-?-?
e?0X?0?当 |x|?X时? 有 |f(x)-A|?e?
xlim f (x )? A?
e? 0? 要使 |f ( x ) - A |? e? 只要 e1||?x?
因为? e? 0 01 eX? 当 |x |? X 时? 有
e? 0? 要使 |f ( x )- A |? e? 只要 e1||?x?
因为? e? 0 01 eX? 当 |x |? X 时? 有 因为? e? 0 01? eX? 当 |x |? X 时? 有首页上页 下页 铃结束返回首页二、函数极限的性质
定理 1(函数极限的唯一性 )
定理 2(函数极限的局部有界性 )
如果 f(x)?A(x?x0)? 那么 f(x)在 x0的某一去心邻域内有界?
定理 3(函数极限的局部保号性 )
如果 f(x)?A(x?x0)? 而且 A?0(或 A?0)? 那么在 x0的某一去心邻域内? 有 f(x)?0(或 f(x)?0)?
如果当 x?x0时 f(x)的极限存? 那么这极限是唯一的?
如果在 x0的某一去心邻域内 f(x)?0(或 f(x)?0)? 而且
f(x)?A(x?x0)? 那么 A?0(或 A?0)?
推论
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定理 4(函数极限与数列极限的关系 )
如果当 x?x0时 f(x)的极限存在? {xn}为 f(x)的定义域内任一收敛于 x0的数列? 且满足 xn?x0(n?N+)? 那么相应的函数值数列 {f(xn)}必收敛? 且
)(lim)(lim
0
xfxf xxnn
>>>
结束