一、无穷小二、无穷大
§ 1.4 无穷小与无穷大上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、无穷小如果函数 f(x)当 x?x0(或 x)时的极限为零? 那么称函数 f(x)为当 x?x0(或 x)时的无穷小?
无穷小的定义下页讨论?
很小很小的数是否是无穷小？ 0是否为无穷小？
提示?
无穷小是这样的函数? 在 x?x0(或 x)的过程中? 极限为零? 很小很小的数? 作为常数函数在自变量的任何变化过程中? 其极限就是这个常数本身?
上页 下页 铃结束返回首页一、无穷小例 1
下页因为 01lim?
xx
所以函数 x1 为 当 x 时 的 无穷小?
因为 0)1(l im
1
x
x
所以函数 为 x? 1 当 x? 1 时 的 无穷小?
因为 011l im
nn
所以数列 { 11?n } 为 当 n 时 的 无穷小?
因为 01l i m?
xx
所以函数 x1 为 当 x 时 的 无穷小?
因为 0)1(l i m
1
x
x
所以函数 为 x? 1 当 x? 1 时 的 无穷小?
因为 011l i m
nn
所以数列 11?n } 为 当 n 时 的 无穷小?
如果函数 f(x)当 x?x0(或 x)时的极限为零? 那么称函数 f(x)为当 x?x0(或 x)时的无穷小?
无穷小的定义上页 下页 铃结束返回首页一、无穷小如果函数 f(x)当 x?x0(或 x)时的极限为零? 那么称函数 f(x)为当 x?x0(或 x)时的无穷小?
无穷小的定义在自变量的同一变化过程 x?x0(或 x)中? 函数 f(x)
具有极限 A的充分必要条件是 f(x)?A?a? 其中 a是无穷小?
定理 1(无穷小与函数极限的关系 )
定理 1证明例如? 因为 33 3 2 12121 xxx 而 02 1l i m 3 xx?
所以 2121lim 3 3 xxx?
例如? 因为 33 3 2 12121 xxx 而 02 1lim 3 xx? 例如? 因为 333 22121 xxx 而 021lim 3x?
上页 下页 铃结束返回首页说明,
二,无穷大如果当 x?x0(或 x)时? 对应的函数值的绝对值 |f(x)|
无限增大? 那么称函数 f(x)为 x?x0(或 x)时的无穷大?
记为当 x?x0(或 x)时为无穷大的函数 f(x)? 按函数极限定义来说? 极限是不存在的? 但为了便于叙述函数的这一性态?我们也说,函数的极限是无穷大,?
无穷大的定义
)(lim
0
xfxx ( 或 )(l i m xfx )?
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讨论无穷大的精确定义如何叙述？ 很大很大的数是否是无穷大?
提示
)(lim
0
xfxx
M?0d?0? 当 0?|x?x0|?d 时?有 |f(x)|?M?
下页二,无穷大如果当 x?x0(或 x)时? 对应的函数值的绝对值 |f(x)|
无限增大? 那么称函数 f(x)为 x?x0(或 x)时的无穷大?
记为
无穷大的定义
)(lim
0
xfxx ( 或 )(l i m xfx )?
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正无穷大与负无穷大
)(lim
)(
0
xf
x
xx
)(lim
)(
0
xf
x
xx
下页二,无穷大如果当 x?x0(或 x)时? 对应的函数值的绝对值 |f(x)|
无限增大? 那么称函数 f(x)为 x?x0(或 x)时的无穷大?
记为
无穷大的定义
)(lim
0
xfxx ( 或 )(l i m xfx )?
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铅直渐近线
1
1
xy
1
的铅直渐近线?
如果 )(lim
0
xfxx? 则称直线 0xx? 是函数 y? f ( x ) 的图形下页例 2
例 2 证明 11lim 1 xx?
证证 因为? M? 0 M1?d?
当 0?|x?1|?d 时? 有
Mx |11|?
所 以 11lim 1 xx?
铅直渐近线上页 下页 铃结束返回首页
定理 2(无穷大与无穷小之间的关系 )
结束定理 2证明在自变量的同一变化过程中? 如果 f(x)为无穷大?
则 )(1 xf 为无穷大?
则 )(1 xf 为无穷小? 反之? 如果 f ( x ) 为无穷小? 且 f ( x )? 0?
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无穷小的定义下页讨论?
很小很小的数是否是无穷小？ 0是否为无穷小？
提示?
无穷小是这样的函数? 在 x?x0(或 x)的过程中? 极限为零? 很小很小的数? 作为常数函数在自变量的任何变化过程中? 其极限就是这个常数本身?
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下页因为 01lim?
xx
所以函数 x1 为 当 x 时 的 无穷小?
因为 0)1(l im
1
x
x
所以函数 为 x? 1 当 x? 1 时 的 无穷小?
因为 011l im
nn
所以数列 { 11?n } 为 当 n 时 的 无穷小?
因为 01l i m?
xx
所以函数 x1 为 当 x 时 的 无穷小?
因为 0)1(l i m
1
x
x
所以函数 为 x? 1 当 x? 1 时 的 无穷小?
因为 011l i m
nn
所以数列 11?n } 为 当 n 时 的 无穷小?
如果函数 f(x)当 x?x0(或 x)时的极限为零? 那么称函数 f(x)为当 x?x0(或 x)时的无穷小?
无穷小的定义上页 下页 铃结束返回首页一、无穷小如果函数 f(x)当 x?x0(或 x)时的极限为零? 那么称函数 f(x)为当 x?x0(或 x)时的无穷小?
无穷小的定义在自变量的同一变化过程 x?x0(或 x)中? 函数 f(x)
具有极限 A的充分必要条件是 f(x)?A?a? 其中 a是无穷小?
定理 1(无穷小与函数极限的关系 )
定理 1证明例如? 因为 33 3 2 12121 xxx 而 02 1l i m 3 xx?
所以 2121lim 3 3 xxx?
例如? 因为 33 3 2 12121 xxx 而 02 1lim 3 xx? 例如? 因为 333 22121 xxx 而 021lim 3x?
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二,无穷大如果当 x?x0(或 x)时? 对应的函数值的绝对值 |f(x)|
无限增大? 那么称函数 f(x)为 x?x0(或 x)时的无穷大?
记为当 x?x0(或 x)时为无穷大的函数 f(x)? 按函数极限定义来说? 极限是不存在的? 但为了便于叙述函数的这一性态?我们也说,函数的极限是无穷大,?
无穷大的定义
)(lim
0
xfxx ( 或 )(l i m xfx )?
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讨论无穷大的精确定义如何叙述？ 很大很大的数是否是无穷大?
提示
)(lim
0
xfxx
M?0d?0? 当 0?|x?x0|?d 时?有 |f(x)|?M?
下页二,无穷大如果当 x?x0(或 x)时? 对应的函数值的绝对值 |f(x)|
无限增大? 那么称函数 f(x)为 x?x0(或 x)时的无穷大?
记为
无穷大的定义
)(lim
0
xfxx ( 或 )(l i m xfx )?
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正无穷大与负无穷大
)(lim
)(
0
xf
x
xx
)(lim
)(
0
xf
x
xx
下页二,无穷大如果当 x?x0(或 x)时? 对应的函数值的绝对值 |f(x)|
无限增大? 那么称函数 f(x)为 x?x0(或 x)时的无穷大?
记为
无穷大的定义
)(lim
0
xfxx ( 或 )(l i m xfx )?
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铅直渐近线
1
1
xy
1
的铅直渐近线?
如果 )(lim
0
xfxx? 则称直线 0xx? 是函数 y? f ( x ) 的图形下页例 2
例 2 证明 11lim 1 xx?
证证 因为? M? 0 M1?d?
当 0?|x?1|?d 时? 有
Mx |11|?
所 以 11lim 1 xx?
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定理 2(无穷大与无穷小之间的关系 )
结束定理 2证明在自变量的同一变化过程中? 如果 f(x)为无穷大?
则 )(1 xf 为无穷大?
则 )(1 xf 为无穷小? 反之? 如果 f ( x ) 为无穷小? 且 f ( x )? 0?
