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定理 4(函数极限与数列极限的关系 )
如果当 x?x0时 f(x)的极限存在?{xn}为 f(x)的定义域内任一收敛于 x0的数列?且满足 xn?x0(n?N?)?那么相应的函数值数列
{f(xn)}必收敛?且
)(lim)(lim
0
xfxf xxnn
设 f(x)?A(x?x0)?则00?当 0?|x?x0| 时?有
|f(x)?A|
又因为 xn?x0(n)?故对0N?N当 n?N时?有
|xn?x0|
由假设?xn?x0(n?N?)?故当 n?N时? 0?|x n?x 0| 从而
|f(xn)?A|
证明
)(lim)(lim
0
xfxf xxnn
即