一、集合二、映射三、函数
§ 1.1 映射与函数上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页
1.集合
集合集合是指具有某种特定性质的事物的总体,
集合可用大写的字母 A,B,C,D 等标识,
元素组成集合的事物称为集合的元素,
集合的元素可用小写的字母 a,b,c,d 等标识,
a是集合 M的元素记为 a?M,读作 a属于 M.
a不是集合 M的元素记为 a?M,读作 a不属于 M.
一、集合下页上页 下页 铃结束返回首页
集合的表示
列举法把集合的全体元素一一列举出来,
例如 A?{a,b,c,d,e,f,g}.
描述法若集合 M是由元素具有某种性质 P的元素 x的全体所组成,则 M可表示为
M?{x | x具有性质 P }.
例如 M?{(x,y)| x,y为实数,x2?y2?1}.
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几个数集所有自然数构成的集合记为 N,称为自然数集,
所有实数构成的集合记为 R,称为实数集,
所有整数构成的集合记为 Z,称为整数集,
所有有理数构成的集合记为 Q,称为有理集,
子集如果集合 A的元素都是集合 B的元素,则称 A是 B的子集,记为 A?B(读作 A包含于 B).
A?B?若 x?A,则 x?B.
显然,N?Z,Z?Q,Q?R.
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2.集合的运算设 A,B是两个集合,则
A?B?{x|x?A或 x?B}称为 A与 B的并集 (简称并 ).
A?B?{x|x?A且 x?B}称为 A与 B的交集 (简称交 ).
A\B?{x|x?A且 x?B}称为 A与 B的差集 (简称差 ).
AC?I\A?{x|x?A}为称 A的余集或补集,其中 I为全集,
提示,
如果研究某个问题限定在一个大的集合 I中进行,所研究的其他集合 A都是 I的子集,则称集合 I为全集或基本集,
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集合运算的法则设 A,B,C为任意三个集合,则有
(1)交换律 A?B?B?A,
A?B?B?A;
(2)结合律 (A?B)?C?A?(B?C),
(A?B)?C?A?(B?C);
(3)分配律 (A?B)?C?(A?C)?(B?C),
(A?B)?C?(A?C)?(B?C);
(4)对偶律 (A?B)C?AC?BC,(A?B)C?AC?BC.
(A?B)C?AC?BC的证明下页所以 (A?B)C?AC?BC,?x?AC?BC,
x?AC且 x?BC?x?A?B?x?A且 x?Bx?(A?B)C
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直积 (笛卡儿乘积 )
设 A,B是任意两个集合,则有序对集合
A?B?{(x,y)|x?A且 y?B}
称为集合 A与集合 B的直积,
例如,R?R?{(x,y)| x?R且 y?R }即为 xOy面上全体点的集合,R?R常记作 R2.
下页上页 下页 铃结束返回首页数集 {x|a<x<b}称为开区间,
记为 (a,b),即 (a,b)?{x|a<x<b}.
[a,b]?{x|a?x?b}—— 闭区间,
[a,b)?{x|a?x<b}—— 半开区间,
(a,b]?{x|a<x?b}—— 半开区间,
有限区间上述区间都是有限区间,其中
a和 b称为区间的端点,b-a 称为区间的长度,
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3.区间和邻域上页 下页 铃结束返回首页
(-?,b]?{ x|x?b},
(-?,)?{ x| |x|<}.
[a,)?{ x|a?x},
无限区间
(-?,b)?{ x|x<b},
(a,)?{ x|a<x},
下页
3.区间和邻域上页 下页 铃结束返回首页
邻域以点 a为中心的任何开区间称为点 a的邻域,记作 U(a).
设?>0,则称
U(a,?)?(a-?,a)?{x| |x-a|<?}
为点 a的?邻域,其中点 a称为邻域的中心,? 称为邻域的半径,
去心邻域
U(a,?)?{x|0<|x-a|<?}.
。
首页上页 下页 铃结束返回首页二、映射
1.映射的概念设 X,Y是两个非空集合,如果存在一个法则 f,使得对 X中每个元素 x,按法则 f,在 Y中有唯一确定的元素 y与之对应,则称 f为从 X到 Y的映射,记作
f,X?Y.
定义
y称为元素 x(在映射 f下 )的像,并记作 f(x),即 y?f(x),
X中所有元素的像所组成的集合称为映射 f的值域,记为
Rf,或 f(X),即
Rf?f(X)?{f(x)|x?X}.
元素 x称为元素 y(在映射 f下 )的一个原像 ;
集合 X称为映射 f的定义域,记作 Df,即 Df?X.
下页上页 下页 铃结束返回首页二、映射
1.映射的概念设 X,Y是两个非空集合,如果存在一个法则 f,使得对 X中每个元素 x,按法则 f,在 Y中有唯一确定的元素 y与之对应,则称 f为从 X到 Y的映射,记作
f,X?Y.
定义
(1)构成一个映射必须具备以下三个要素,集合 X,即定义域 Df?X; 集合 Y,即值域的范围,Rf?Y; 对应法则 f,使对每个 x?X,有唯一确定的 y?f(x)与之对应,
需要注意的问题下页上页 下页 铃结束返回首页二、映射
1.映射的概念设 X,Y是两个非空集合,如果存在一个法则 f,使得对 X中每个元素 x,按法则 f,在 Y中有唯一确定的元素 y与之对应,则称 f为从 X到 Y的映射,记作
f,X?Y.
定义
需要注意的问题
(2)对每个 x?X,元素 x的像 y是唯一的 ; 而对每个 y?Rf,
元素 y的原像不一定是唯一的 ; 映射 f的值域 Rf是 Y的一个子集,即 Rf?Y,不一定 Rf?Y,
下页上页 下页 铃结束返回首页说明,
Rf 是 R的一个真子集,
对于 Rf中的元素 y,除 y?0外,它的原像不是唯一的,
如 y?4的原像就有 x?2和 x?-2两个,
例 1 设 f,R?R,对每个 x?R,f(x)?x2.
f 是一个映射,f 的定义域 Df?R,值域 Rf?{y|y?0}.
例 2 设 X?{(x,y)|x2?y2?1},Y?{(x,0)||x|?1},f,X?Y,
对每个 (x,y)?X,有唯一确定的 (x,0)?Y与之对应,
f 是一个映射,f 的定义域 Df?X,值域 Rf?Y.
说明在几何上,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到 x轴的区间 [-1,1]上,
下页上页 下页 铃结束返回首页例 1 设 f,R?R,对每个 x?R,f(x)?x2.
f 是一个映射,f 的定义域 Df?R,值域 Rf?{y|y?0}.
例 2 设 X?{(x,y)|x2?y2?1},Y?{(x,0)||x|?1},f,X?Y,
对每个 (x,y)?X,有唯一确定的 (x,0)?Y与之对应,
f 是一个映射,f 的定义域 Df?X,值域 Rf?Y.
例 3 设 f,]2,2[-? [ - 1,1 ],对每个 x? ]2,2[-,
例 3
f(x)?sin x,
f 是一个映射,定义域 D f? ]2,2[-,值域 R f? [ - 1,1 ],
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满射,单射和双射设 f是从集合 X到集合 Y的映射,
若 Rf?Y,即 Y中任一元素 y都是 X中某元素的像,则称 f为 X
到 Y上的映射或满射 ;
若对 X中任意两个不同元素 x1?x2,它们的像 f(x1)?f(x2),则称 f为 X到 Y的单射 ;
若映射 f既是单射,又是满射,则称 f为一一映射 (或双射 ).
讨论,下述三个映射各是什么映射？
(1) f,R?R,对每个 x?R,f(x)?x2.
(2)设 X?{(x,y)|x2?y2?1},Y?{(x,0)||x|?1},f,X?Y,对每个 (x,y)?X,有唯一确定的 (x,0)?Y与之对应,
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满射,单射和双射设 f是从集合 X到集合 Y的映射,
若 Rf?Y,即 Y中任一元素 y都是 X中某元素的像,则称 f为 X
到 Y上的映射或满射 ;
若对 X中任意两个不同元素 x1?x2,它们的像 f(x1)?f(x2),则称 f为 X到 Y的单射 ;
若映射 f既是单射,又是满射,则称 f为一一映射 (或双射 ).
讨论,下述三个映射各是什么映射？
( 3 ) f,]
2,2[
-? [ - 1,1 ],对每个 x? ]
2,2[
-,f ( x )? s i n x,
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2.逆映射与复合映射设 f是 X到 Y的单射,则由定义,对每个 y?Rf,有唯一的
x?X,适合 f(x)?y,于是,我们可定义一个从 Rf 到 X的新映射
g,即
g,R f?X,
对每个 y?Rf,规定 g(y)?x,这 x满足 f(x)?y,这个映射 g称为 f
的逆映射,记作 f -1,其定义域为 Rf,值域为 X,
逆映射讨论,下述三个映射是否存在逆映射？
(1) f,R?R,对每个 x?R,f(x)?x2.
(2)设 X?{(x,y)|x2?y2?1},Y?{(x,0)||x|?1},f,X?Y,对每个 (x,y)?X,有唯一确定的 (x,0)?Y与之对应,
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2.逆映射与复合映射设 f是 X到 Y的单射,则由定义,对每个 y?Rf,有唯一的
x?X,适合 f(x)?y,于是,我们可定义一个从 Rf 到 X的新映射
g,即
g,Rf?X,
对每个 y?Rf,规定 g(y)?x,这 x满足 f(x)?y,这个映射 g称为 f
的逆映射,记作 f -1,其定义域为 Rf,值域为 X,
逆映射讨论,下述三个映射是否存在逆映射？
( 3 ) f,]
2,2[
-? [ - 1,1 ],对每个 x? ]
2,2[
-,f ( x )? s i n x,
下页上页 下页 铃结束返回首页说明,
映射 g和 f构成复合映射的条件是,g的值域 Rg必须包含在 f的定义域内,Rg?Df,否则,不能构成复合映射,
说明映射的复合是有顺序的,f o g有意义并不表示 g o f 也有意义,即使它们都有意义,f o g与 g o f也未必相同,
2.逆映射与复合映射设有两个映射 g,X?Y1,f,Y2?Z,其中 Y1?Y2,则由映射 g和 f可以定出一个从 X到 Z的对应法则,它将每个 x?X映射成 f[g(x)]?Z,显然,这个对应法则确定了一个从 X到 Z的映射,这个映射称为映射 g和 f构成的复合映射,记作 f o g,
即
f o g,X?Z,(f o g)(x)?f[g(x)],x?X,
复合映射下页上页 下页 铃结束返回首页例 4 设有映射 g,R?[-1,1],对每个 x?R,g(x)?sin x,
映射 f,[ - 1,1 ]? [ 0,1 ],对每个 u? [ - 1,1 ],21)( uuf -?,
则映射 g和 f构成复映射 f o g,R?[0,1],对每个 x?R,有
|c o s|s i n1)( s i n)]([))(( 2 xxxfxgfxgf?-,
首页上页 下页 铃结束返回首页说明,
记号 f和 f(x)的区别,前者表示自变量 x和因变量 y之间的对应法则,而后者表示与自变量 x对应的函数值,
说明为了叙述方便,常用记号,f(x),x?D”或,y?f(x),x?D”来表示定义在 D上的函数,这时应理解为由它所确定的函数 f.
说明函数的记号是可以任意选取的,除了用 f 外,还可用,g”
、,F”、,?”等,此时函数就记作 y?g(x),y?F(x),y(x)
等,
但在同一问题中,不同的函数应选用不同的记号,
三、函数设数集 D?R,则称映射 f,D?R为定义在 D上的函数,
通常简记为
y?f(x),x?D,
其中 x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作 Df,
即 Df?D.
1.函数概念
定义下页上页 下页 铃结束返回首页构成函数的要素是定义域 Df及对应法则 f.
如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的,
函数的两要素函数的定义域通常按以下两种情形来确定,
对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定,
函数的定义域对抽象地用算式表达的函数,其定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合,这种定义域称为函数的自然定义域,
求函数的定义域举例 >>>
下页上页 下页 铃结束返回首页
单值函数与多值函数在函数的定义中,对每个 x?D,对应的函数值 y总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数,
如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个 x?D,总有确定的 y值与之对应,但这个 y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数,
例如,由方程 x2?y2?r2确定的函数是一个多值函数,
下页此多值函数附加条件,y?0”后可得到一个单值分支
221 )( xrxyy -,
22 xry -,
上页 下页 铃结束返回首页 下页表示函数的主要方法有三种,表格法,图形法,解析法 (公式法 ).
用图形法表示函数是基于函数图形的概念,坐标平面上的点集
{P(x,y)|y?f(x),x?D}
称为函数 y?f(x),x?D的图形,
函数的表示法上页 下页 铃结束返回首页此函数称为绝对值函数,
其定义域为 D?(-?,+?),
其值域为 Rf?[0,+?).
例 6,函数 <- 0 0 || xx xxxy,
例 6
例 5 函数 y?2.
这是一个常值函数,
其定义域为 D?(-?,),
其值域为 Rf?{2}.
下页
函数举例上页 下页 铃结束返回首页此函数称为符号函数,
其 定义域为 D?(-?,+?),
其值域为 Rf?{-1,0,1}.
例 8 函数 y?[x].
例 7
例 7,函数
<-
01
00
0 1
s g n
x
x
x
xy
,
下页注,设 x为任上实数,不超过 x的最大整数称为 x的整数部分,记作 [x],
此函数 称为取整函数,
其定义域为 D?(-?,+?),
其值域为 Rf?Z.
上页 下页 铃结束返回首页例 6,函数
11
10 2
xx
xxy
,
例 9
此函数 的 定义域为 D?[0,1]?(0,)?[0,).
当 0? x? 1 时,xy 2 当 x >1 时,y? 1? x,
例 如 2212)21(f?
2 1 2)1(f?
f(3)?1?3?4.
例 如 2212)21(f?
2 1 2)1(f?
分段函数在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数,
当 0? x? 1 时,xy 2 当 x >1 时,y? 1? x,
下页上页 下页 铃结束返回首页设函数 f(x)的定义域为 D,数集 X?D,
如果存在数 K1,使对任一 x?X,有 f(x)?K1,则称函数 f(x)
在 X上有上界,
(1)函数的有界性如果存在数 K2,使对任一 x?X,有 f(x)?K2,则称函数 f(x)
在 X上有下界,
如果存在正数 M,使对任一 x?X,
有 |f(x)|?M,则称函数 f(x)在 X上有界 ;
如果这样的 M不存在,则称函数 f(x)
在 X上无界,
下页
2.函数的几种特性上页 下页 铃结束返回首页
f(x)?sin x在 (-?,+?)上是有界的,|sin x|?1.
函数 xxf 1)(? 在开区间 (0,1 ) 内是无 上 界的,
Mxxf
11
1)(,
所以函数无上界,
函数 xxf 1)(? 在 ( 1,2 ) 内是有界的,
这 是 因 为,对 于 任 一 M >1,总有 1x,110 1 <<< Mx,使下页
函数的有界性举例上页 下页 铃结束返回首页设函数 y?f(x)在区间 I上有定义,x1及 x2为区间 I上任意两点,且 x1<x2.
如果恒有 f(x1)<f(x2),则称 f(x)在 I上是单调增加的,
(2)函数的单调性如果恒有 f(x1)>f(x2),则称 f(x)在 I上是单调减少的,
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数,
下页上页 下页 铃结束返回首页设函数 f(x)的定义域 D关于原点对称,
如果在 D上有 f(-x)?f(x),则称 f(x)为偶函数,
如果在 D上有 f(-x)?-f(x),则称 f(x)为奇函数,
(3)函数的奇偶性
奇偶函数举例
y?x2,y?cos x都是偶函数,
y?x3,y?sin x 都是奇函数,
下页上页 下页 铃结束返回首页奇函数的图形对称于原点偶函数的图形对称于 y轴
奇偶函数的图形特点下页设函数 f(x)的定义域 D关于原点对称,
如果在 D上有 f(-x)?f(x),则称 f(x)为偶函数,
如果在 D上有 f(-x)?-f(x),则称 f(x)为奇函数,
(3)函数的奇偶性上页 下页 铃结束返回首页
(4)函数的周期性设函数 f(x)的定义域为 D,如果存在一个不为零的数 l,
使得对于任一 x?D有 (x?l)?D,且 f(x+l)?f(x),则称 f(x)为周期函数,l称为 f(x)的周期,
周期函数的图形特点下页上页 下页 铃结束返回首页 下页
3.反函数与复合函数
反函数设函数 f,D?f(D)是单射,则它存在逆映射
f -1,f(D)?D,
称此映射 f -1为函数 f 的反函数,
按习惯,y?f(x),x?D的反函数记成 y?f -1(x),x?f(D).
例如,函数 y?x3,x?R是单射,所以它的反函数存在,
其反函数为
3
1
xy?,x? R,
3
1
yx?,y? R,
函数 y?x3,x?R的反函数是提问,下列结论是否正确？
上页 下页 铃结束返回首页
3.反函数与复合函数
反函数设函数 f,D?f(D)是单射,则它存在逆映射
f -1,f(D)?D,
称此映射 f -1为函数 f 的反函数,
按习惯,y?f(x),x?D的反函数记成 y?f -1(x),x?f(D).
若 f 是定义在 D上的单调函数,则 f,D?f(D)是单射,
于是 f 的反函数 f -1必定存在,而且容易证明 f -1也是 f(D)上的单调函数,
下页上页 下页 铃结束返回首页相对于反函数 y?f -1(x)来说,
原来的函数 y?f(x)称为直接函数,
函数 y?f(x)和 y?f -1(x)的图形关于直线 y?x 是对称的,
3.反函数与复合函数
反函数设函数 f,D?f(D)是单射,则它存在逆映射
f -1,f(D)?D,
称此映射 f -1为函数 f 的反函数,
按习惯,y?f(x),x?D的反函数记成 y?f -1(x),x?f(D).
下页上页 下页 铃结束返回首页
3.反函数与复合函数设函数 y?f(u)的定义域为 D1,函数 u?g(x)在 D上有定义且 g(D)?D1,则由
y?f[g(x)],x?D
确定的函数称为由函数 u?g(x)和函数 y?f(u)构成的复合函数,它的定义域为 D,变量 u称为中间变量,
复合函数函数 g与函数 f 构成的复合函数通常记为 f o g,即
(f o g)(x)?f[g(x)].
说明,g与 f 构成的复合函数 f o g的条件是,是函数 g在 D上的值域 g(D)必须含在 f 的定义域 Df 内,即 g(D)?Df,否则,
不能构成复合函数,例如 >>>
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4.函数的运算设函数 f(x),g(x)的定义域依次为 D1,D2,D?D1?D2,
则可以定义这两个函数的下列运算,
和 (差 ) f?g,(f?g)(x)?f(x)?g(x),x?D;
积 f?g,(f?g)(x)?f(x)?g(x),x?D;
商 gf,)( )())(( xg xfxgf?,x? D \ { x | g ( x )? 0 },
下页上页 下页 铃结束返回首页例 10 设函数 f(x)的定义域为 (-l,l),证明必存在 (-l,l)
上的偶函数 g(x)及奇函数 h(x),使得 f(x)?g(x)?h(x).
提示,如果 f(x)?g(x)?h(x),则 f(-x)?g(x)-h(x),于是
)]()([21)( xfxfxg -,)]()([21)( xfxfxh --?,
证 作 )]()([21)( xfxfxg -,)]()([21)( xfxfxh --?,
证则 f(x)?g(x)?h(x),且
)()]()([21)( xgxfxfxg-?-,
)()]()([21)]()([21)( xhxfxfxfxfxh -?---?--?-,
)()]()([21) xgxfxfxg-?-,)()]()([21)( xgxfxfxg?-?-,
)()]()([21)]()([21) xhxfxfxfxfxh -?---?-?-,)()]()([21)]()([21)( xhxfxfxfxfxh -?---?--?-,)()]()([21)]()([21)( hxfxfxfxfxh?---?--?-,
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基本初等函数幂函数,y?x? (R是常数 );
指数函数,y?a x(a?0且 a?1);
对数函数,y?loga x (a?0且 a?1),
特别当 a?e时,记为 y?ln x;
三角函数,y?sin x,y?cos x,
y?tan x,y?cot x,
y?sec x,y?csc x;
5.初等函数下页反三角函数,y?arcsin x,y?arccos x,
y?arctan x,y?arccot x,>>>
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5.初等函数
初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,
称为初等函数,
都是初等函数,
例如,函数
21 xy -?,xy 2s i n?,2c o t xy?
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双曲函数应用上常遇到的双曲函数是,
双曲正弦,
2s h
xx eex --?
双曲余弦,
2c h
xx eex -
双曲正切,
xx
xx
ee
ee
x
xx
-
-
-
ch
shth
下页
双曲函数与反双曲函数上页 下页 铃结束返回首页
双曲函数与反双曲函数
双曲函数的性质比较 sin(x?y)?sin x cos y?cos x sin y,
sh(x?y)?sh x ch y?ch x sh y,>>>
ch2 x- sh2 x?1,
ch(x?y)?ch x ch y?sh x sh y,
sh 2x?2sh x ch x,
ch 2x?ch2x+sh2x,
比较 cos(x?y)?cos x cos y sin x sin y,?
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双曲函数与反双曲函数
反双曲函数双曲函数 y?sh x,y?ch x,y?th x的反函数依次记为反双曲正弦,y=arsh x,
反双曲余弦,y=arch x,
反双曲正切,y=arth x.
可以证明
)1l n (a r s h 2 xxxy,
)1l n (a r c h 2 - xxxy,
x
xxy
-
1
1ln
2
1a r th,
结束
>>>
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1.集合
集合集合是指具有某种特定性质的事物的总体,
集合可用大写的字母 A,B,C,D 等标识,
元素组成集合的事物称为集合的元素,
集合的元素可用小写的字母 a,b,c,d 等标识,
a是集合 M的元素记为 a?M,读作 a属于 M.
a不是集合 M的元素记为 a?M,读作 a不属于 M.
一、集合下页上页 下页 铃结束返回首页
集合的表示
列举法把集合的全体元素一一列举出来,
例如 A?{a,b,c,d,e,f,g}.
描述法若集合 M是由元素具有某种性质 P的元素 x的全体所组成,则 M可表示为
M?{x | x具有性质 P }.
例如 M?{(x,y)| x,y为实数,x2?y2?1}.
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几个数集所有自然数构成的集合记为 N,称为自然数集,
所有实数构成的集合记为 R,称为实数集,
所有整数构成的集合记为 Z,称为整数集,
所有有理数构成的集合记为 Q,称为有理集,
子集如果集合 A的元素都是集合 B的元素,则称 A是 B的子集,记为 A?B(读作 A包含于 B).
A?B?若 x?A,则 x?B.
显然,N?Z,Z?Q,Q?R.
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2.集合的运算设 A,B是两个集合,则
A?B?{x|x?A或 x?B}称为 A与 B的并集 (简称并 ).
A?B?{x|x?A且 x?B}称为 A与 B的交集 (简称交 ).
A\B?{x|x?A且 x?B}称为 A与 B的差集 (简称差 ).
AC?I\A?{x|x?A}为称 A的余集或补集,其中 I为全集,
提示,
如果研究某个问题限定在一个大的集合 I中进行,所研究的其他集合 A都是 I的子集,则称集合 I为全集或基本集,
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集合运算的法则设 A,B,C为任意三个集合,则有
(1)交换律 A?B?B?A,
A?B?B?A;
(2)结合律 (A?B)?C?A?(B?C),
(A?B)?C?A?(B?C);
(3)分配律 (A?B)?C?(A?C)?(B?C),
(A?B)?C?(A?C)?(B?C);
(4)对偶律 (A?B)C?AC?BC,(A?B)C?AC?BC.
(A?B)C?AC?BC的证明下页所以 (A?B)C?AC?BC,?x?AC?BC,
x?AC且 x?BC?x?A?B?x?A且 x?Bx?(A?B)C
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直积 (笛卡儿乘积 )
设 A,B是任意两个集合,则有序对集合
A?B?{(x,y)|x?A且 y?B}
称为集合 A与集合 B的直积,
例如,R?R?{(x,y)| x?R且 y?R }即为 xOy面上全体点的集合,R?R常记作 R2.
下页上页 下页 铃结束返回首页数集 {x|a<x<b}称为开区间,
记为 (a,b),即 (a,b)?{x|a<x<b}.
[a,b]?{x|a?x?b}—— 闭区间,
[a,b)?{x|a?x<b}—— 半开区间,
(a,b]?{x|a<x?b}—— 半开区间,
有限区间上述区间都是有限区间,其中
a和 b称为区间的端点,b-a 称为区间的长度,
下页
3.区间和邻域上页 下页 铃结束返回首页
(-?,b]?{ x|x?b},
(-?,)?{ x| |x|<}.
[a,)?{ x|a?x},
无限区间
(-?,b)?{ x|x<b},
(a,)?{ x|a<x},
下页
3.区间和邻域上页 下页 铃结束返回首页
邻域以点 a为中心的任何开区间称为点 a的邻域,记作 U(a).
设?>0,则称
U(a,?)?(a-?,a)?{x| |x-a|<?}
为点 a的?邻域,其中点 a称为邻域的中心,? 称为邻域的半径,
去心邻域
U(a,?)?{x|0<|x-a|<?}.
。
首页上页 下页 铃结束返回首页二、映射
1.映射的概念设 X,Y是两个非空集合,如果存在一个法则 f,使得对 X中每个元素 x,按法则 f,在 Y中有唯一确定的元素 y与之对应,则称 f为从 X到 Y的映射,记作
f,X?Y.
定义
y称为元素 x(在映射 f下 )的像,并记作 f(x),即 y?f(x),
X中所有元素的像所组成的集合称为映射 f的值域,记为
Rf,或 f(X),即
Rf?f(X)?{f(x)|x?X}.
元素 x称为元素 y(在映射 f下 )的一个原像 ;
集合 X称为映射 f的定义域,记作 Df,即 Df?X.
下页上页 下页 铃结束返回首页二、映射
1.映射的概念设 X,Y是两个非空集合,如果存在一个法则 f,使得对 X中每个元素 x,按法则 f,在 Y中有唯一确定的元素 y与之对应,则称 f为从 X到 Y的映射,记作
f,X?Y.
定义
(1)构成一个映射必须具备以下三个要素,集合 X,即定义域 Df?X; 集合 Y,即值域的范围,Rf?Y; 对应法则 f,使对每个 x?X,有唯一确定的 y?f(x)与之对应,
需要注意的问题下页上页 下页 铃结束返回首页二、映射
1.映射的概念设 X,Y是两个非空集合,如果存在一个法则 f,使得对 X中每个元素 x,按法则 f,在 Y中有唯一确定的元素 y与之对应,则称 f为从 X到 Y的映射,记作
f,X?Y.
定义
需要注意的问题
(2)对每个 x?X,元素 x的像 y是唯一的 ; 而对每个 y?Rf,
元素 y的原像不一定是唯一的 ; 映射 f的值域 Rf是 Y的一个子集,即 Rf?Y,不一定 Rf?Y,
下页上页 下页 铃结束返回首页说明,
Rf 是 R的一个真子集,
对于 Rf中的元素 y,除 y?0外,它的原像不是唯一的,
如 y?4的原像就有 x?2和 x?-2两个,
例 1 设 f,R?R,对每个 x?R,f(x)?x2.
f 是一个映射,f 的定义域 Df?R,值域 Rf?{y|y?0}.
例 2 设 X?{(x,y)|x2?y2?1},Y?{(x,0)||x|?1},f,X?Y,
对每个 (x,y)?X,有唯一确定的 (x,0)?Y与之对应,
f 是一个映射,f 的定义域 Df?X,值域 Rf?Y.
说明在几何上,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到 x轴的区间 [-1,1]上,
下页上页 下页 铃结束返回首页例 1 设 f,R?R,对每个 x?R,f(x)?x2.
f 是一个映射,f 的定义域 Df?R,值域 Rf?{y|y?0}.
例 2 设 X?{(x,y)|x2?y2?1},Y?{(x,0)||x|?1},f,X?Y,
对每个 (x,y)?X,有唯一确定的 (x,0)?Y与之对应,
f 是一个映射,f 的定义域 Df?X,值域 Rf?Y.
例 3 设 f,]2,2[-? [ - 1,1 ],对每个 x? ]2,2[-,
例 3
f(x)?sin x,
f 是一个映射,定义域 D f? ]2,2[-,值域 R f? [ - 1,1 ],
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满射,单射和双射设 f是从集合 X到集合 Y的映射,
若 Rf?Y,即 Y中任一元素 y都是 X中某元素的像,则称 f为 X
到 Y上的映射或满射 ;
若对 X中任意两个不同元素 x1?x2,它们的像 f(x1)?f(x2),则称 f为 X到 Y的单射 ;
若映射 f既是单射,又是满射,则称 f为一一映射 (或双射 ).
讨论,下述三个映射各是什么映射？
(1) f,R?R,对每个 x?R,f(x)?x2.
(2)设 X?{(x,y)|x2?y2?1},Y?{(x,0)||x|?1},f,X?Y,对每个 (x,y)?X,有唯一确定的 (x,0)?Y与之对应,
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满射,单射和双射设 f是从集合 X到集合 Y的映射,
若 Rf?Y,即 Y中任一元素 y都是 X中某元素的像,则称 f为 X
到 Y上的映射或满射 ;
若对 X中任意两个不同元素 x1?x2,它们的像 f(x1)?f(x2),则称 f为 X到 Y的单射 ;
若映射 f既是单射,又是满射,则称 f为一一映射 (或双射 ).
讨论,下述三个映射各是什么映射？
( 3 ) f,]
2,2[
-? [ - 1,1 ],对每个 x? ]
2,2[
-,f ( x )? s i n x,
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2.逆映射与复合映射设 f是 X到 Y的单射,则由定义,对每个 y?Rf,有唯一的
x?X,适合 f(x)?y,于是,我们可定义一个从 Rf 到 X的新映射
g,即
g,R f?X,
对每个 y?Rf,规定 g(y)?x,这 x满足 f(x)?y,这个映射 g称为 f
的逆映射,记作 f -1,其定义域为 Rf,值域为 X,
逆映射讨论,下述三个映射是否存在逆映射？
(1) f,R?R,对每个 x?R,f(x)?x2.
(2)设 X?{(x,y)|x2?y2?1},Y?{(x,0)||x|?1},f,X?Y,对每个 (x,y)?X,有唯一确定的 (x,0)?Y与之对应,
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2.逆映射与复合映射设 f是 X到 Y的单射,则由定义,对每个 y?Rf,有唯一的
x?X,适合 f(x)?y,于是,我们可定义一个从 Rf 到 X的新映射
g,即
g,Rf?X,
对每个 y?Rf,规定 g(y)?x,这 x满足 f(x)?y,这个映射 g称为 f
的逆映射,记作 f -1,其定义域为 Rf,值域为 X,
逆映射讨论,下述三个映射是否存在逆映射？
( 3 ) f,]
2,2[
-? [ - 1,1 ],对每个 x? ]
2,2[
-,f ( x )? s i n x,
下页上页 下页 铃结束返回首页说明,
映射 g和 f构成复合映射的条件是,g的值域 Rg必须包含在 f的定义域内,Rg?Df,否则,不能构成复合映射,
说明映射的复合是有顺序的,f o g有意义并不表示 g o f 也有意义,即使它们都有意义,f o g与 g o f也未必相同,
2.逆映射与复合映射设有两个映射 g,X?Y1,f,Y2?Z,其中 Y1?Y2,则由映射 g和 f可以定出一个从 X到 Z的对应法则,它将每个 x?X映射成 f[g(x)]?Z,显然,这个对应法则确定了一个从 X到 Z的映射,这个映射称为映射 g和 f构成的复合映射,记作 f o g,
即
f o g,X?Z,(f o g)(x)?f[g(x)],x?X,
复合映射下页上页 下页 铃结束返回首页例 4 设有映射 g,R?[-1,1],对每个 x?R,g(x)?sin x,
映射 f,[ - 1,1 ]? [ 0,1 ],对每个 u? [ - 1,1 ],21)( uuf -?,
则映射 g和 f构成复映射 f o g,R?[0,1],对每个 x?R,有
|c o s|s i n1)( s i n)]([))(( 2 xxxfxgfxgf?-,
首页上页 下页 铃结束返回首页说明,
记号 f和 f(x)的区别,前者表示自变量 x和因变量 y之间的对应法则,而后者表示与自变量 x对应的函数值,
说明为了叙述方便,常用记号,f(x),x?D”或,y?f(x),x?D”来表示定义在 D上的函数,这时应理解为由它所确定的函数 f.
说明函数的记号是可以任意选取的,除了用 f 外,还可用,g”
、,F”、,?”等,此时函数就记作 y?g(x),y?F(x),y(x)
等,
但在同一问题中,不同的函数应选用不同的记号,
三、函数设数集 D?R,则称映射 f,D?R为定义在 D上的函数,
通常简记为
y?f(x),x?D,
其中 x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作 Df,
即 Df?D.
1.函数概念
定义下页上页 下页 铃结束返回首页构成函数的要素是定义域 Df及对应法则 f.
如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的,
函数的两要素函数的定义域通常按以下两种情形来确定,
对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定,
函数的定义域对抽象地用算式表达的函数,其定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合,这种定义域称为函数的自然定义域,
求函数的定义域举例 >>>
下页上页 下页 铃结束返回首页
单值函数与多值函数在函数的定义中,对每个 x?D,对应的函数值 y总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数,
如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个 x?D,总有确定的 y值与之对应,但这个 y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数,
例如,由方程 x2?y2?r2确定的函数是一个多值函数,
下页此多值函数附加条件,y?0”后可得到一个单值分支
221 )( xrxyy -,
22 xry -,
上页 下页 铃结束返回首页 下页表示函数的主要方法有三种,表格法,图形法,解析法 (公式法 ).
用图形法表示函数是基于函数图形的概念,坐标平面上的点集
{P(x,y)|y?f(x),x?D}
称为函数 y?f(x),x?D的图形,
函数的表示法上页 下页 铃结束返回首页此函数称为绝对值函数,
其定义域为 D?(-?,+?),
其值域为 Rf?[0,+?).
例 6,函数 <- 0 0 || xx xxxy,
例 6
例 5 函数 y?2.
这是一个常值函数,
其定义域为 D?(-?,),
其值域为 Rf?{2}.
下页
函数举例上页 下页 铃结束返回首页此函数称为符号函数,
其 定义域为 D?(-?,+?),
其值域为 Rf?{-1,0,1}.
例 8 函数 y?[x].
例 7
例 7,函数
<-
01
00
0 1
s g n
x
x
x
xy
,
下页注,设 x为任上实数,不超过 x的最大整数称为 x的整数部分,记作 [x],
此函数 称为取整函数,
其定义域为 D?(-?,+?),
其值域为 Rf?Z.
上页 下页 铃结束返回首页例 6,函数
11
10 2
xx
xxy
,
例 9
此函数 的 定义域为 D?[0,1]?(0,)?[0,).
当 0? x? 1 时,xy 2 当 x >1 时,y? 1? x,
例 如 2212)21(f?
2 1 2)1(f?
f(3)?1?3?4.
例 如 2212)21(f?
2 1 2)1(f?
分段函数在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数,
当 0? x? 1 时,xy 2 当 x >1 时,y? 1? x,
下页上页 下页 铃结束返回首页设函数 f(x)的定义域为 D,数集 X?D,
如果存在数 K1,使对任一 x?X,有 f(x)?K1,则称函数 f(x)
在 X上有上界,
(1)函数的有界性如果存在数 K2,使对任一 x?X,有 f(x)?K2,则称函数 f(x)
在 X上有下界,
如果存在正数 M,使对任一 x?X,
有 |f(x)|?M,则称函数 f(x)在 X上有界 ;
如果这样的 M不存在,则称函数 f(x)
在 X上无界,
下页
2.函数的几种特性上页 下页 铃结束返回首页
f(x)?sin x在 (-?,+?)上是有界的,|sin x|?1.
函数 xxf 1)(? 在开区间 (0,1 ) 内是无 上 界的,
Mxxf
11
1)(,
所以函数无上界,
函数 xxf 1)(? 在 ( 1,2 ) 内是有界的,
这 是 因 为,对 于 任 一 M >1,总有 1x,110 1 <<< Mx,使下页
函数的有界性举例上页 下页 铃结束返回首页设函数 y?f(x)在区间 I上有定义,x1及 x2为区间 I上任意两点,且 x1<x2.
如果恒有 f(x1)<f(x2),则称 f(x)在 I上是单调增加的,
(2)函数的单调性如果恒有 f(x1)>f(x2),则称 f(x)在 I上是单调减少的,
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数,
下页上页 下页 铃结束返回首页设函数 f(x)的定义域 D关于原点对称,
如果在 D上有 f(-x)?f(x),则称 f(x)为偶函数,
如果在 D上有 f(-x)?-f(x),则称 f(x)为奇函数,
(3)函数的奇偶性
奇偶函数举例
y?x2,y?cos x都是偶函数,
y?x3,y?sin x 都是奇函数,
下页上页 下页 铃结束返回首页奇函数的图形对称于原点偶函数的图形对称于 y轴
奇偶函数的图形特点下页设函数 f(x)的定义域 D关于原点对称,
如果在 D上有 f(-x)?f(x),则称 f(x)为偶函数,
如果在 D上有 f(-x)?-f(x),则称 f(x)为奇函数,
(3)函数的奇偶性上页 下页 铃结束返回首页
(4)函数的周期性设函数 f(x)的定义域为 D,如果存在一个不为零的数 l,
使得对于任一 x?D有 (x?l)?D,且 f(x+l)?f(x),则称 f(x)为周期函数,l称为 f(x)的周期,
周期函数的图形特点下页上页 下页 铃结束返回首页 下页
3.反函数与复合函数
反函数设函数 f,D?f(D)是单射,则它存在逆映射
f -1,f(D)?D,
称此映射 f -1为函数 f 的反函数,
按习惯,y?f(x),x?D的反函数记成 y?f -1(x),x?f(D).
例如,函数 y?x3,x?R是单射,所以它的反函数存在,
其反函数为
3
1
xy?,x? R,
3
1
yx?,y? R,
函数 y?x3,x?R的反函数是提问,下列结论是否正确？
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3.反函数与复合函数
反函数设函数 f,D?f(D)是单射,则它存在逆映射
f -1,f(D)?D,
称此映射 f -1为函数 f 的反函数,
按习惯,y?f(x),x?D的反函数记成 y?f -1(x),x?f(D).
若 f 是定义在 D上的单调函数,则 f,D?f(D)是单射,
于是 f 的反函数 f -1必定存在,而且容易证明 f -1也是 f(D)上的单调函数,
下页上页 下页 铃结束返回首页相对于反函数 y?f -1(x)来说,
原来的函数 y?f(x)称为直接函数,
函数 y?f(x)和 y?f -1(x)的图形关于直线 y?x 是对称的,
3.反函数与复合函数
反函数设函数 f,D?f(D)是单射,则它存在逆映射
f -1,f(D)?D,
称此映射 f -1为函数 f 的反函数,
按习惯,y?f(x),x?D的反函数记成 y?f -1(x),x?f(D).
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3.反函数与复合函数设函数 y?f(u)的定义域为 D1,函数 u?g(x)在 D上有定义且 g(D)?D1,则由
y?f[g(x)],x?D
确定的函数称为由函数 u?g(x)和函数 y?f(u)构成的复合函数,它的定义域为 D,变量 u称为中间变量,
复合函数函数 g与函数 f 构成的复合函数通常记为 f o g,即
(f o g)(x)?f[g(x)].
说明,g与 f 构成的复合函数 f o g的条件是,是函数 g在 D上的值域 g(D)必须含在 f 的定义域 Df 内,即 g(D)?Df,否则,
不能构成复合函数,例如 >>>
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4.函数的运算设函数 f(x),g(x)的定义域依次为 D1,D2,D?D1?D2,
则可以定义这两个函数的下列运算,
和 (差 ) f?g,(f?g)(x)?f(x)?g(x),x?D;
积 f?g,(f?g)(x)?f(x)?g(x),x?D;
商 gf,)( )())(( xg xfxgf?,x? D \ { x | g ( x )? 0 },
下页上页 下页 铃结束返回首页例 10 设函数 f(x)的定义域为 (-l,l),证明必存在 (-l,l)
上的偶函数 g(x)及奇函数 h(x),使得 f(x)?g(x)?h(x).
提示,如果 f(x)?g(x)?h(x),则 f(-x)?g(x)-h(x),于是
)]()([21)( xfxfxg -,)]()([21)( xfxfxh --?,
证 作 )]()([21)( xfxfxg -,)]()([21)( xfxfxh --?,
证则 f(x)?g(x)?h(x),且
)()]()([21)( xgxfxfxg-?-,
)()]()([21)]()([21)( xhxfxfxfxfxh -?---?--?-,
)()]()([21) xgxfxfxg-?-,)()]()([21)( xgxfxfxg?-?-,
)()]()([21)]()([21) xhxfxfxfxfxh -?---?-?-,)()]()([21)]()([21)( xhxfxfxfxfxh -?---?--?-,)()]()([21)]()([21)( hxfxfxfxfxh?---?--?-,
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基本初等函数幂函数,y?x? (R是常数 );
指数函数,y?a x(a?0且 a?1);
对数函数,y?loga x (a?0且 a?1),
特别当 a?e时,记为 y?ln x;
三角函数,y?sin x,y?cos x,
y?tan x,y?cot x,
y?sec x,y?csc x;
5.初等函数下页反三角函数,y?arcsin x,y?arccos x,
y?arctan x,y?arccot x,>>>
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5.初等函数
初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,
称为初等函数,
都是初等函数,
例如,函数
21 xy -?,xy 2s i n?,2c o t xy?
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双曲函数应用上常遇到的双曲函数是,
双曲正弦,
2s h
xx eex --?
双曲余弦,
2c h
xx eex -
双曲正切,
xx
xx
ee
ee
x
xx
-
-
-
ch
shth
下页
双曲函数与反双曲函数上页 下页 铃结束返回首页
双曲函数与反双曲函数
双曲函数的性质比较 sin(x?y)?sin x cos y?cos x sin y,
sh(x?y)?sh x ch y?ch x sh y,>>>
ch2 x- sh2 x?1,
ch(x?y)?ch x ch y?sh x sh y,
sh 2x?2sh x ch x,
ch 2x?ch2x+sh2x,
比较 cos(x?y)?cos x cos y sin x sin y,?
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双曲函数与反双曲函数
反双曲函数双曲函数 y?sh x,y?ch x,y?th x的反函数依次记为反双曲正弦,y=arsh x,
反双曲余弦,y=arch x,
反双曲正切,y=arth x.
可以证明
)1l n (a r s h 2 xxxy,
)1l n (a r c h 2 - xxxy,
x
xxy
-
1
1ln
2
1a r th,
结束
>>>
