一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理
§ 1.10 闭区间上连续函数的性质上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、有界性与最大值最小值定理
最大值与最小值对于在区间 I上有定义的函数 f(x)? 如果有 x0?I? 使得对于任一 x?I都有
f(x)?f(x0) (f(x)?f(x0))?
则称 f(x0)是函数 f(x)在区间 I上的最大值 (最小值 )?
最大值与最小值举例,
函数 f(x)=1+sinx在区间
[0?2p]上有最大值 2 和最小值 0?
下页上页 下页 铃结束返回首页函数 y=sgn x 在区间 (-+?)
内有最大值 1和最小值 -1? 但在开区间 (0?+?)内? 它的最大值和最小值都是 1?
下页最大值与最小值举例,
一、有界性与最大值最小值定理
最大值与最小值对于在区间 I上有定义的函数 f(x)? 如果有 x0?I? 使得对于任一 x?I都有
f(x)?f(x0) (f(x)?f(x0))?
则称 f(x0)是函数 f(x)在区间 I上的最大值 (最小值 )?
上页 下页 铃结束返回首页并非任何函数都有最大值和最小值?
例如,函数 f(x)=x在开区间
(a?b)内既无最大值又无最小值?
应注意的问题,
下页一、有界性与最大值最小值定理
最大值与最小值对于在区间 I上有定义的函数 f(x)? 如果有 x0?I? 使得对于任一 x?I都有
f(x)?f(x0) (f(x)?f(x0))?
则称 f(x0)是函数 f(x)在区间 I上的最大值 (最小值 )?
上页 下页 铃结束返回首页说明,
定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值?
下页又至少有一点 x2?[a?b]? 使 f(x2)是 f(x)在 [a?b]上的最小值?
至少有一点 x1?[a?b]? 使 f(x1)是 f(x)在 [a?b]上的最大值?
定理说明? 如果函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续?那么上页 下页 铃结束返回首页应注意的问题,
如果函数仅在开区间内连续? 或函数在闭区间上有间断点? 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值?
例如? 函数 f(x)=x在开区间 (a?b)
内既无最大值又无最小值?
下页
定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值?
上页 下页 铃结束返回首页 下页又如? 如下 函数在闭区间 [0?2]
内既无最大值又无最小值?
+-
=
+-
==
21 3
1 1
10 1
)(
xx
x
xx
xfy?
应注意的问题,
如果函数仅在开区间内连续? 或函数在闭区间上有间断点? 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值?
定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值?
上页 下页 铃结束返回首页
定理 2(有界性定理 )
在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界?
证明 设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续?
根据定理 1? 存在 f(x)在区间 [a? b]上的最大值 M和最小值
m? 使任一 x?[a?b]满足
m?f(x)?M?
上式表明? f(x)在 [a?b]上有上界 M和下界 m? 因此函数 f(x)在
[a?b]上有界?
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定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值?
上页 下页 铃结束返回首页二、零点定理与介值定理注,
如果 x0使 f(x0)=0? 则 x0称为函数 f(x)的零点?
下页
定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续?且 f(a)与 f(b)异号?那么在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)=0?
上页 下页 铃结束返回首页例 1 证明方程 x3-4x2+1=0在区间 (0?1)内至少有一个根?
证明 设 f(x)=x3-4x2+1?则 f(x)在闭区间 [0?1]上连续?
并且 f(0)=1>0? f(1)=-2<0?
根据零点定理? 在 (0? 1)内至少有一点 x? 使得 f(x)=0?
即 x3-4x2+1=0?
这说明方程 x3-4x2+1=0在区间 (0?1)内至少有一个根是 x?
下页二、零点定理与介值定理
定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续?且 f(a)与 f(b)异号?那么在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)=0?
上页 下页 铃结束返回首页
定理 4(介值定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续?且 f(a)?f(b)?那么? 对于
f(a)与 f(b)之间的任意一个数 C?在开区间 (a?b)内至少有一点 x?
使得 f(x)=C?>>>
下页二、零点定理与介值定理
定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续?且 f(a)与 f(b)异号?那么在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)=0?
上页 下页 铃结束返回首页二、零点定理与介值定理
定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续?且 f(a)与 f(b)异号?那么在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)=0?
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M与最小值 m
之间的任何值?>>>
定理 4(介值定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续?且 f(a)?f(b)?那么? 对于
f(a)与 f(b)之间的任意一个数 C?在开区间 (a?b)内至少有一点 x?
使得 f(x)=C?
结束
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最大值与最小值对于在区间 I上有定义的函数 f(x)? 如果有 x0?I? 使得对于任一 x?I都有
f(x)?f(x0) (f(x)?f(x0))?
则称 f(x0)是函数 f(x)在区间 I上的最大值 (最小值 )?
最大值与最小值举例,
函数 f(x)=1+sinx在区间
[0?2p]上有最大值 2 和最小值 0?
下页上页 下页 铃结束返回首页函数 y=sgn x 在区间 (-+?)
内有最大值 1和最小值 -1? 但在开区间 (0?+?)内? 它的最大值和最小值都是 1?
下页最大值与最小值举例,
一、有界性与最大值最小值定理
最大值与最小值对于在区间 I上有定义的函数 f(x)? 如果有 x0?I? 使得对于任一 x?I都有
f(x)?f(x0) (f(x)?f(x0))?
则称 f(x0)是函数 f(x)在区间 I上的最大值 (最小值 )?
上页 下页 铃结束返回首页并非任何函数都有最大值和最小值?
例如,函数 f(x)=x在开区间
(a?b)内既无最大值又无最小值?
应注意的问题,
下页一、有界性与最大值最小值定理
最大值与最小值对于在区间 I上有定义的函数 f(x)? 如果有 x0?I? 使得对于任一 x?I都有
f(x)?f(x0) (f(x)?f(x0))?
则称 f(x0)是函数 f(x)在区间 I上的最大值 (最小值 )?
上页 下页 铃结束返回首页说明,
定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值?
下页又至少有一点 x2?[a?b]? 使 f(x2)是 f(x)在 [a?b]上的最小值?
至少有一点 x1?[a?b]? 使 f(x1)是 f(x)在 [a?b]上的最大值?
定理说明? 如果函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续?那么上页 下页 铃结束返回首页应注意的问题,
如果函数仅在开区间内连续? 或函数在闭区间上有间断点? 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值?
例如? 函数 f(x)=x在开区间 (a?b)
内既无最大值又无最小值?
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定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值?
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内既无最大值又无最小值?
+-
=
+-
==
21 3
1 1
10 1
)(
xx
x
xx
xfy?
应注意的问题,
如果函数仅在开区间内连续? 或函数在闭区间上有间断点? 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值?
定理 1(最大值和最小值定理 )
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值?
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定理 2(有界性定理 )
在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界?
证明 设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续?
根据定理 1? 存在 f(x)在区间 [a? b]上的最大值 M和最小值
m? 使任一 x?[a?b]满足
m?f(x)?M?
上式表明? f(x)在 [a?b]上有上界 M和下界 m? 因此函数 f(x)在
[a?b]上有界?
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在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值?
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如果 x0使 f(x0)=0? 则 x0称为函数 f(x)的零点?
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定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续?且 f(a)与 f(b)异号?那么在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)=0?
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证明 设 f(x)=x3-4x2+1?则 f(x)在闭区间 [0?1]上连续?
并且 f(0)=1>0? f(1)=-2<0?
根据零点定理? 在 (0? 1)内至少有一点 x? 使得 f(x)=0?
即 x3-4x2+1=0?
这说明方程 x3-4x2+1=0在区间 (0?1)内至少有一个根是 x?
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定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续?且 f(a)与 f(b)异号?那么在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)=0?
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定理 4(介值定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续?且 f(a)?f(b)?那么? 对于
f(a)与 f(b)之间的任意一个数 C?在开区间 (a?b)内至少有一点 x?
使得 f(x)=C?>>>
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定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续?且 f(a)与 f(b)异号?那么在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)=0?
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定理 3(零点定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续?且 f(a)与 f(b)异号?那么在开区间 (a?b)内至少一点 x?使 f(x)=0?
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M与最小值 m
之间的任何值?>>>
定理 4(介值定理 )
设函数 f(x)在闭区间 [a?b]上连续?且 f(a)?f(b)?那么? 对于
f(a)与 f(b)之间的任意一个数 C?在开区间 (a?b)内至少有一点 x?
使得 f(x)=C?
结束
