一、连续函数的和、积及商的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性
§ 1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、连续函数的和、积及商的连续性
定理 1
设函数 f(x)和 g(x)在点 x0连续? 则函数在点 x0也连续?
f ( x )? g ( x )? f ( x )?g ( x )? )( )( xg xf ( 当 0)( 0?xg 时 )
例 1 因为 sin x和 cos x都在区间 (- +?)内连续?
所以 tan x和 cot x在它们的定义域内是连续的?
三角函数 sin x,cos x,sec x,csc x,tan x,cot x 在其有定义的区间内都是连续的?
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上页 下页 铃结束返回首页二、反函数与复合函数的连续性
定理 2
如果函数 f(x)在区间 Ix上单调增加 (或减少 )且连续? 那么它的反函数 x?f -1(y)在区间 Iy?{y|y?f(x)? x?Ix}上也是单调增加 (或减少 )且连续的?
所以它的反函数 y?arcsin x 在区间 [-1? 1]上也是连续的?
下页例 2
例 2? 由于 y? s i n x 在区间 ]2,2[- 上单调 增加 且连续?
同样? y?arccos x 在区间 [-1? 1]上是连续的?
y?arctan x 在区间 (- +?)内是连续的?
y?arccot x 在区间 (- +?)内是连续的?
上页 下页 铃结束返回首页反三角函数 arcsin x,arccos x,arctan x,arccot x在它们的定义域内都是连续的?
下页二、反函数与复合函数的连续性
定理 2
如果函数 f(x)在区间 Ix上单调增加 (或减少 )且连续? 那么它的反函数 x?f -1(y)在区间 Iy?{y|y?f(x)? x?Ix}上也是单调增加 (或减少 )且连续的?
所以它的反函数 y?arcsin x 在区间 [-1? 1]上也是连续的?
例 2
例 2? 由于 y? s i n x 在区间 ]2,2[- 上单调 增加 且连续?
上页 下页 铃结束返回首页注,
(1)把定理中的 x?x0换成 x可得类似的定理?
( 2 ) 定理 的 结 论 也 可 写 成 )](lim[)]([lim
00
xgfxgf xxxx
提示,
9
3lim
23 -
-
x
x
x 6
1 函数 uy? 在点
6
1?u 连续?
定理 3
例 3
例 3? 求 93lim 23 --? xxx?
解? 93lim 23 --? xxx 93lim 23 -- xxx 61
解下页设函数 y?f[g(x)]由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成?
gfDxU?
)(
0? 若 0)lim
0
uxg
xx
而 函数 y? f ( u ) 在 0u 连续? 则
)()(lim)][lim 0
00
ufufxgf uuxx
解? 9323 --xx 93lim 23 -- xxx 61 解? 93lim 23 --? xxx 93lim 23 -- xxx 61
9
3
2 -
-?
x
xy 是由 uy? 与
9
3
2 -
-?
x
xu 复合而成的?
>>>
上页 下页 铃结束返回首页设函数 y?f[g(x)]由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成?
U(x0)?Df o g? 若函数 u?g(x) 在点 x0 连续? 函数 y?f(u)在点
u0?g(x0)连续? 则复合函数 y?f[j(x)]在点 x0也连续?
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定理 4
定理 3
设函数 y?f[g(x)]由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成?
gfDxU?
)(
0? 若 0)lim
0
uxg
xx
而 函数 y? f ( u ) 在 0u 连续? 则
)()(lim)][lim 0
00
ufufxgf uuxx
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sin u 当 -?<u<+?时是连续的?
例 4
例 4? 讨论函数 xy 1s i n? 的连续性?
解? 函数 xy 1s i n? 是由 y? s i n u 及 xu 1? 复合而成的?
x
1 当 -? < x <0 和 0< x < +? 时是连续的?
首页解内是连续的?
根据定理 4? 函数 x1s i n 在无限区间 ( - 0 ) 和 (0? +? )
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结论基本初等函数在它们的定义域内都是连续的?
一切初等函数在其定义区间内都是连续的?
注,
所谓定义区间? 就是包含在定义域内的区间?
下页上页 下页 铃结束返回首页例 8? 求 x xax )1(lo glim 0 +
例 6
例 5
例 7? 求 xx
x
11lim 2
0
-+
解? xx
x
11lim 2
0
-+
)11(
)11)(11(lim
2
22
0 ++
++-+?
xx
xx
x
02011lim 2
0
++?
x
x
x
解? x xa
x
)1(lo glim
0
+
xa
x
x
1
0
)1(lo glim +?
a
ea ln 1log
解解解? xx
x
11l i m 2
0
-+
)11(
)11)(11(lim
2
22
0 ++
++-+?
xx
xx
x
02011lim 2
0
+?
x
x
x
解? x xa
x
)1(lo glim
0
+
xa
x
x
1
0
)1(lo glim +
a
ea ln 1log 解? x xa
x
)1(lo gli + x
ax x
1
0
)1(lo glim +?
a
ea ln 1l
下页
利用连续性求极限举例上页 下页 铃结束返回首页例 7
例 9? 求 xa xx 1lim 0 -
令 a x-1?t?解
x
a x
x
1lim
0
-
att
at
ln)1(lo glim
0
+
xa x
x
1l
0
-? a
t
t
at
ln)1(lo glim
0
+
xa x
x
1li
0
-? a
t
t
at
ln1(loglim
0
+
则 x?log a(1+t)? x?0时 t?0? 于是结束
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定理 1
设函数 f(x)和 g(x)在点 x0连续? 则函数在点 x0也连续?
f ( x )? g ( x )? f ( x )?g ( x )? )( )( xg xf ( 当 0)( 0?xg 时 )
例 1 因为 sin x和 cos x都在区间 (- +?)内连续?
所以 tan x和 cot x在它们的定义域内是连续的?
三角函数 sin x,cos x,sec x,csc x,tan x,cot x 在其有定义的区间内都是连续的?
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定理 2
如果函数 f(x)在区间 Ix上单调增加 (或减少 )且连续? 那么它的反函数 x?f -1(y)在区间 Iy?{y|y?f(x)? x?Ix}上也是单调增加 (或减少 )且连续的?
所以它的反函数 y?arcsin x 在区间 [-1? 1]上也是连续的?
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例 2? 由于 y? s i n x 在区间 ]2,2[- 上单调 增加 且连续?
同样? y?arccos x 在区间 [-1? 1]上是连续的?
y?arctan x 在区间 (- +?)内是连续的?
y?arccot x 在区间 (- +?)内是连续的?
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定理 2
如果函数 f(x)在区间 Ix上单调增加 (或减少 )且连续? 那么它的反函数 x?f -1(y)在区间 Iy?{y|y?f(x)? x?Ix}上也是单调增加 (或减少 )且连续的?
所以它的反函数 y?arcsin x 在区间 [-1? 1]上也是连续的?
例 2
例 2? 由于 y? s i n x 在区间 ]2,2[- 上单调 增加 且连续?
上页 下页 铃结束返回首页注,
(1)把定理中的 x?x0换成 x可得类似的定理?
( 2 ) 定理 的 结 论 也 可 写 成 )](lim[)]([lim
00
xgfxgf xxxx
提示,
9
3lim
23 -
-
x
x
x 6
1 函数 uy? 在点
6
1?u 连续?
定理 3
例 3
例 3? 求 93lim 23 --? xxx?
解? 93lim 23 --? xxx 93lim 23 -- xxx 61
解下页设函数 y?f[g(x)]由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成?
gfDxU?
)(
0? 若 0)lim
0
uxg
xx
而 函数 y? f ( u ) 在 0u 连续? 则
)()(lim)][lim 0
00
ufufxgf uuxx
解? 9323 --xx 93lim 23 -- xxx 61 解? 93lim 23 --? xxx 93lim 23 -- xxx 61
9
3
2 -
-?
x
xy 是由 uy? 与
9
3
2 -
-?
x
xu 复合而成的?
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U(x0)?Df o g? 若函数 u?g(x) 在点 x0 连续? 函数 y?f(u)在点
u0?g(x0)连续? 则复合函数 y?f[j(x)]在点 x0也连续?
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定理 4
定理 3
设函数 y?f[g(x)]由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成?
gfDxU?
)(
0? 若 0)lim
0
uxg
xx
而 函数 y? f ( u ) 在 0u 连续? 则
)()(lim)][lim 0
00
ufufxgf uuxx
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sin u 当 -?<u<+?时是连续的?
例 4
例 4? 讨论函数 xy 1s i n? 的连续性?
解? 函数 xy 1s i n? 是由 y? s i n u 及 xu 1? 复合而成的?
x
1 当 -? < x <0 和 0< x < +? 时是连续的?
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根据定理 4? 函数 x1s i n 在无限区间 ( - 0 ) 和 (0? +? )
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结论基本初等函数在它们的定义域内都是连续的?
一切初等函数在其定义区间内都是连续的?
注,
所谓定义区间? 就是包含在定义域内的区间?
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例 6
例 5
例 7? 求 xx
x
11lim 2
0
-+
解? xx
x
11lim 2
0
-+
)11(
)11)(11(lim
2
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0 ++
++-+?
xx
xx
x
02011lim 2
0
++?
x
x
x
解? x xa
x
)1(lo glim
0
+
xa
x
x
1
0
)1(lo glim +?
a
ea ln 1log
解解解? xx
x
11l i m 2
0
-+
)11(
)11)(11(lim
2
22
0 ++
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xx
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x
02011lim 2
0
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x
x
x
解? x xa
x
)1(lo glim
0
+
xa
x
x
1
0
)1(lo glim +
a
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x
)1(lo gli + x
ax x
1
0
)1(lo glim +?
a
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例 9? 求 xa xx 1lim 0 -
令 a x-1?t?解
x
a x
x
1lim
0
-
att
at
ln)1(lo glim
0
+
xa x
x
1l
0
-? a
t
t
at
ln)1(lo glim
0
+
xa x
x
1li
0
-? a
t
t
at
ln1(loglim
0
+
则 x?log a(1+t)? x?0时 t?0? 于是结束
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