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6,对于数列 { x n } 若 x 2 k? a ( k ),x 2 k? 1? a ( k ),
证明,x n? a ( n ),
4,au n
n
lim,证明 ||||lim au n
n
,并举例说明,如果数列
{| x n |} 有极限,但数列 { x n } 未必有极限,
2,设数列 { x n } 的一般项
n
n
x n
2
c o s
,问 n
n
x
li m
求出 N,使当 n > N 时,x
n
与其极限之差的绝对值小于正数?,
当 0,0 0 1 时,求出数 N,
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2,设数列 { x n } 的一般项
n
n
x n
2
c o s
,问 n
n
x
li m
求出 N,使当 n > N 时,x
n
与其极限之差的绝对值小于正数?,
当 0,0 0 1 时,求出数 N,
解 0lim nn x,
nn
n
x n 1
|2c o s|
|0|
> 0,要使 | x n? 0 | <?,只要n1,也就是?1?n,
取 ]1[N,则? n > N,有 | x n? 0 | <?,
当 0,001 时,]1[N? 1000,
解
nn
n
xn 1
|2cos|
|0|
当 0,001 时,]1[N? 1000,
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4,au n
n
lim,证明 ||||lim au n
n
,并举例说明,如果数列
{| x n |} 有极限,但数列 { x n } 未必有极限,
证明 因为 un?a(n),
|un?a|
从而这就证明了 |un|?|a|(n),
||un|?|a||?|un?a|,
所以>0,?N?N,当 n>N时,有数列 {|xn|}有极限不能保证数列 {xn}也有极限,
例如 1|)1(|l i m nn,但 nn )1(l i m 不存在,
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6,对于数列 { x n } 若 x 2 k? a ( k ),x 2 k? 1? a ( k ),
证明,x n? a ( n ),
K1,当 2k>2K1时,有 |x2k?a|<? ;
K2,当 2k+1>2K2+1时,有 |x2k+1?a|<?,
取 N?max{2K1,2K2+1},只要 n>N,就有
|xn?a|<?,
因此 xn?a (n),
证明 因为 x2k?a (k),x2k?1?a (k),所以>0,
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3,当 x?2时,y?x2?4,问?等于多少,使当 |x?2|<?时,
|y?4|<0,001？
7,证明,若 x及 x时,函数 f(x)的极限都存在且都等于 A,则 f(x)?A(x),
8,根据极限的定义证明,函数 f(x)当 x?x0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等,
9,试给出 x时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明,
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3,当 x?2时,y?x2?4,问?等于多少,使当 |x?2|<?时,
|y?4|<0,001？
取0.0002,则当 0?|x?2|时,就有 |x2?4|?0,001,
解 由于 x?2,|x?2|?0,
要使
|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0,001,
只要 |x?2|?0.0002.
不妨设 |x?2|?1,即 1?x?3,
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7,证明,若 x及 x时,函数 f(x)的极限都存在且都等于 A,则 f(x)?A(x),
X1?0,使当 xX1时,有 |f(x)?A| ;
X2?0,使当 x?X2时,有 |f(x)?A|,
取 X?max{X1,X2},则当 |x|?X时,有
|f(x)?A|,
即 f(x)?A(x),
证明 因为 f(x)?A(x)?f(x)?A(x),所以>0,
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8,根据极限的定义证明,函数 f(x)当 x?x0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等,
使当 0<|x?x0|<? 时,有
|f(x)?A|<?,
因此当 x0<x<x0和 x0<x<x0时都有
|f(x)?A|<?,
这说明 f(x)当 x?x0时左右极限都存在并且都等于 A,
必要性证明 设 f(x)?A(x?x0),则>0,0,
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8,根据极限的定义证明,函数 f(x)当 x?x0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等,
充分性证明
1>0,使当 x01<x<x0时,有 | f(x)?A<?;
2>0,使当 x0<x<x0+?2时,有 | f(x)?A|<?,
取min{?1,?2},则当 0<|x?x0|<? 时,有
x01<x<x0及 x0<x<x0+?2,
从而有
| f(x)?A|<?,
即 f(x)?A(x?x0).
设 f(x0?)?f(x0?)?A,则 >0,
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9,试给出 x时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明,
局部有界性的定理? 如果 f(x)当 x时的极限存在? 则存在 X?0及 M?0?使当 |x|?X时? |f(x)|?M?
解这就是说存在 X?0及 M?0?使当 |x|?X时? |f(x)|?M? 其中 M?1?|A|?
局部有界性的定理的证明?
设 f(x)?A(x)? 则对于1X?0?当 |x|?X时? 有
|f(x)?A|1?
所以 |f(x)|?|f(x)?A?A|?|f(x)?A|?|A|?1?|A|?
6,对于数列 { x n } 若 x 2 k? a ( k ),x 2 k? 1? a ( k ),
证明,x n? a ( n ),
4,au n
n
lim,证明 ||||lim au n
n
,并举例说明,如果数列
{| x n |} 有极限,但数列 { x n } 未必有极限,
2,设数列 { x n } 的一般项
n
n
x n
2
c o s
,问 n
n
x
li m
求出 N,使当 n > N 时,x
n
与其极限之差的绝对值小于正数?,
当 0,0 0 1 时,求出数 N,
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2,设数列 { x n } 的一般项
n
n
x n
2
c o s
,问 n
n
x
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求出 N,使当 n > N 时,x
n
与其极限之差的绝对值小于正数?,
当 0,0 0 1 时,求出数 N,
解 0lim nn x,
nn
n
x n 1
|2c o s|
|0|
> 0,要使 | x n? 0 | <?,只要n1,也就是?1?n,
取 ]1[N,则? n > N,有 | x n? 0 | <?,
当 0,001 时,]1[N? 1000,
解
nn
n
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|2cos|
|0|
当 0,001 时,]1[N? 1000,
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4,au n
n
lim,证明 ||||lim au n
n
,并举例说明,如果数列
{| x n |} 有极限,但数列 { x n } 未必有极限,
证明 因为 un?a(n),
|un?a|
从而这就证明了 |un|?|a|(n),
||un|?|a||?|un?a|,
所以>0,?N?N,当 n>N时,有数列 {|xn|}有极限不能保证数列 {xn}也有极限,
例如 1|)1(|l i m nn,但 nn )1(l i m 不存在,
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6,对于数列 { x n } 若 x 2 k? a ( k ),x 2 k? 1? a ( k ),
证明,x n? a ( n ),
K1,当 2k>2K1时,有 |x2k?a|<? ;
K2,当 2k+1>2K2+1时,有 |x2k+1?a|<?,
取 N?max{2K1,2K2+1},只要 n>N,就有
|xn?a|<?,
因此 xn?a (n),
证明 因为 x2k?a (k),x2k?1?a (k),所以>0,
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3,当 x?2时,y?x2?4,问?等于多少,使当 |x?2|<?时,
|y?4|<0,001？
7,证明,若 x及 x时,函数 f(x)的极限都存在且都等于 A,则 f(x)?A(x),
8,根据极限的定义证明,函数 f(x)当 x?x0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等,
9,试给出 x时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明,
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3,当 x?2时,y?x2?4,问?等于多少,使当 |x?2|<?时,
|y?4|<0,001？
取0.0002,则当 0?|x?2|时,就有 |x2?4|?0,001,
解 由于 x?2,|x?2|?0,
要使
|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0,001,
只要 |x?2|?0.0002.
不妨设 |x?2|?1,即 1?x?3,
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7,证明,若 x及 x时,函数 f(x)的极限都存在且都等于 A,则 f(x)?A(x),
X1?0,使当 xX1时,有 |f(x)?A| ;
X2?0,使当 x?X2时,有 |f(x)?A|,
取 X?max{X1,X2},则当 |x|?X时,有
|f(x)?A|,
即 f(x)?A(x),
证明 因为 f(x)?A(x)?f(x)?A(x),所以>0,
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8,根据极限的定义证明,函数 f(x)当 x?x0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等,
使当 0<|x?x0|<? 时,有
|f(x)?A|<?,
因此当 x0<x<x0和 x0<x<x0时都有
|f(x)?A|<?,
这说明 f(x)当 x?x0时左右极限都存在并且都等于 A,
必要性证明 设 f(x)?A(x?x0),则>0,0,
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8,根据极限的定义证明,函数 f(x)当 x?x0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等,
充分性证明
1>0,使当 x01<x<x0时,有 | f(x)?A<?;
2>0,使当 x0<x<x0+?2时,有 | f(x)?A|<?,
取min{?1,?2},则当 0<|x?x0|<? 时,有
x01<x<x0及 x0<x<x0+?2,
从而有
| f(x)?A|<?,
即 f(x)?A(x?x0).
设 f(x0?)?f(x0?)?A,则 >0,
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9,试给出 x时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明,
局部有界性的定理? 如果 f(x)当 x时的极限存在? 则存在 X?0及 M?0?使当 |x|?X时? |f(x)|?M?
解这就是说存在 X?0及 M?0?使当 |x|?X时? |f(x)|?M? 其中 M?1?|A|?
局部有界性的定理的证明?
设 f(x)?A(x)? 则对于1X?0?当 |x|?X时? 有
|f(x)?A|1?
所以 |f(x)|?|f(x)?A?A|?|f(x)?A|?|A|?1?|A|?
