一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积
§ 10.3 格林公式及其应用上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、格林公式
单连通与复连通区域
区域的边界曲线的方向当观察者沿区域 D的边界曲线 L行走时?如果左手在区域
D内?则行走方向是 L的正向?
单连通区域 复连通区域下页设 D为平面区域? 如果 D内任一闭曲线所围的部分都属于
D? 则称 D为平面单连通区域?否则称为复连通区域?
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L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )(?
定理 1
设闭区域 D由分段光滑的曲线 L围成?函数 P(x? y)及 Q(x?y)
在 D上具有一阶连续偏导数?则有其中 L是 D的取正向的边界曲线?>>>
—— 格林公式定理证明应注意的问题,
对复连通区域 D? 格林公式右端应包括沿区域 D的全部边界的曲线积分? 且边界的方向对区域 D来说都是正向?
下页上页 下页 铃结束返回首页提示,
格林公式,
用格林公式计算区域的面积下页
L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )(?
设区域 D的边界曲线为 L?则
DL
dx dyx dyy dx 2? 或 L
D
y dxx dyd x d yA 21?
在格林公式中?令 Py? Q?x?则有
L y d xx d yA 21?
DL
dx dyx dyy dx 2? 或 L
D
y dxx dyd x d yA 21?
上页 下页 铃结束返回首页格林公式,
用格林公式计算区域的面积例 1 求椭圆 x?acosq?y?bsinq所围成图形的面积 A?
L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )(?
设区域 D的边界曲线为 L?则
L y d xx d yA 21?
解 设 L是由椭圆曲线?则
L y d xx d yA 21 qqq20 22 )c o ss in(21 dabab
q? abdab2021?
L y d xx d yA 21 qqq20 22 )c o ss in(21 dabab
q? abdab2021?
下页上页 下页 铃结束返回首页提示,
因此? 由格林公式有下页
L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )(?
格林公式,
用格林公式计算二重积分例 2 计算
D
y d x d ye 2? 其中 D 是以 O (0? 0 )? A (1? 1 )? B (0? 1 )
为顶点的三角形闭区域?
解要使 2yeyPxQ 只需 P? 0? 2yxeQ
令 P? 0? 2yxeQ 则 2yeyPxQ
上页 下页 铃结束返回首页因此? 由格林公式有下页
L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )(?
格林公式,
用格林公式计算二重积分例 2 计算
D
y d x d ye 2? 其中 D 是以 O (0? 0 )? A (1? 1 )? B (0? 1 )
为顶点的三角形闭区域?
解
BOABOA
y
D
y dyxed x d ye 22
)1(21 11
0
22 edxxedyxe x
OA
y? )1(
2
1 11
0
22 edxxedyxe x
OA
y? )1(
2
1 11
0
22 edxxedyxe x
OA
y?
ABOAD
y dyd x d ye 22
令 P? 0? 2yxeQ 则 2yeyPxQ
上页 下页 铃结束返回首页
用格林公式求闭曲线积分令 P?2xy?Q?x2?则证因此?由格林公式有下页
L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )(?
格林公式,
例 3 设 L是任意一条分段光滑的闭曲线?证明
L dyxx y d x 02 2?
022 xxyPxQ?
002 2 d x d ydyxx y d x
DL
002 2 d x d ydyxx y d x
DL
上页 下页 铃结束返回首页提示,
解
y
P
yx
xy
x
Q
222
22
)(?
022L yx y d xx d y?
下页例 4 计算L yx y d xx d y 22? 其中 L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线?L的方向为逆时针方向?
当 (0? 0)?D时? 由格林公式得记 L所围成的闭区域为 D?
这 里 22 yx yP 22 yx xQ
当 x2?y2?0时?有上页 下页 铃结束返回首页在 D内取一圆周 l:x2?y2?r2(r>0)?
例 4 计算L yx y d xx d y 22? 其中 L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线?L的方向为逆时针方向?
当 (0? 0)?D时?
解 记 L所围成的闭区域为 D?
记 L及 l所围成的复连通区域为 D1?应用格林公式得
0)(
1
22
d x d yyPxQyx y d xx d y
D
lL?
其中 l的方向取顺时针方向?于是
lL yx y d xx d yyx y d xx d y 2222 qqq20 2 2222 s inc o s dr rr? 2
lL yx y d xx d yyx y d xx d y 2222 qqq20 2 2222 s inc o s dr rr? 2 lL yx ydxxdyyx ydxxdy 2222 qqq20 2 2222 sincos dr rr?2
上页 下页 铃结束返回首页二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关下页设 G是一个开区域? P(x? y),Q(x? y)在区域 G内具有一阶连续偏导数?
21 LL Q d yP d xQ d yP d x
与路径无关?否则说与路径有关?
如果对于 G内任意指定的两个点 A,B以及 G内从点 A到点
B的任意两条曲线 L1,L2?等式恒成立? 就说曲线积分L Q d yP d x 在 G 内上页 下页 铃结束返回首页二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关这是因为?设 L1和 L2是 G内任意两条从点 A到点 B的曲线?则 L1?(L2?)是 G内一条任意的闭曲线?而且 有
0
21
LL Q d yP d xQ d yP d x? 0)(
21
LL Q d yP d x?
21 LL Q d yP d xQ d yP d x
0
21
LL Q d yP d xQ d yP d x
意 闭曲线 C 的曲线积分
L
QdyPdx 等于零?
曲线积分
L
QdyPdx 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任下页上页 下页 铃结束返回首页在 G 内恒成立?
x
Q
y
P
闭曲线的曲线积分为零 ) 的充分必要条件是等式数? 则曲线积分
L
QdyPdx 在 G 内与路径无关 ( 或沿 G 内任意设 函数 P ( x? y ) 及 Q ( x? y ) 在 单连通域 G 内具有一阶连续偏导二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关
定理 2 (曲线积分与路径无关的判断方法 )
下页
>>>定理证明意 闭曲线 C 的曲线积分
L
QdyPdx 等于零?
曲线积分
L
QdyPdx 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任上页 下页 铃结束返回首页
应用定理 2应注意的问题
(1)区域 G是单连通区域?
(2)函数 P(x?y)及 Q(x?y)在 G内具有一阶连续偏导数?
如果这两个条件之一不能满足? 那么定理的结论不能保证成立?
下页
.0 xQyPQ d yP d xQ d yP d x LL 与路径无关讨论,
设 L为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线? L的方向为逆时针方向?问 是否一定成立？
022L yx y d xx d y
提示,>>>
上页 下页 铃结束返回首页则 ABOAL dyxx y d xdyxx y d xdyxx y d x 222 222
.0 xQyPQ d yP d xQ d yP d x LL 与路径无关解 这里 P?2xy?Q?x2?
选择从 O(0?0)到 A(1?0)再到 B(1?1)的折线作为积分路线?
1110 2 dy?
因为 xxQyP 2 所 以 积分
L dyxx y d x 22 与路径无关?
例 5 计算L dyxx y d x 22? 其中 L 为抛物线 y?x2上从 O(0?0)到 B(1?1)的一段弧?
首页上页 下页 铃结束返回首页三、二元函数的全微分求积表达式 P(x? y)dx?Q(x?y)dy与函数的全微分有相同的结构?
但它未必就是某个函数的全微分?
那么在 什么条件下表达式 P(x?y)dx?Q(x?y)dy是某个二元函数 u(x?y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时?怎样求出这个二元函数呢？
二元函数 u(x?y)的全微分为
du(x?y)?ux(x?y)dx?uy(x?y)dy?
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原函数如果函数 u(x? y)满足 du(x? y)?P(x? y)dx?Q(x? y)dy? 则 函数
u(x?y)称为 P(x? y)dx?Q(x?y)dy的原函数?
定理证明 下页
>>>
设函数 P(x? y)及 Q(x? y)在单连通域 G内具有一阶连续偏导数? 则 P(x? y)dx?Q(x? y)dy在 G内为某一函数 u(x? y)的全微分的充分必要条件是等式在 G内恒成立?
x
Q
y
P
定理 3
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求原函数的公式下页
),( ),( 00 ),(),(),( yx yx dyyxQdxyxPyxu?
yyxx dyyxQdxyxPyxu 00 ),(),(),( 0?
xxyy dxyxPdyyxQyxu 00 ),(),(),( 0?
上页 下页 铃结束返回首页解 这里因为 P,Q在右半平面内具有一阶连续偏导数?且有
y
P
yx
xy
x
Q
222
22
)(?
22 yx
yP
22 yx
xQ
所 以 在右半平面内? 22 yx y d xx d y
是某个函数的全微分?
),( )0,1( 22),( yx yx y d xx d yyxu
取积分路线为从 A(1?0)
到 B(x?0)再到 C(x?y)的折线?
y yx x d y0 220 xya r c ta n
y
yx
x d y
0 220 x
ya rc ta n
半平面内是某个函数的全微分?并求出一个这样的函数?
例 6 验证,22 yx y d xx d y 在右则所求函数为下页上页 下页 铃结束返回首页 结束例 7 验证,在整个 xOy面内?xy2dx?x2ydy是某个函数的全微分?并求出一个这样的函数?
这里 P?xy2? Q?x2y?解因为 P,Q在整个 xOy面内具有一阶连续偏导数?且有
y
Pxy
x
Q
2?
所以在整个 xOy面内?xy2dx?x2ydy是某个函数的全微分?
),( )0,0( 22),( yx y d yxdxxyyxu
20
22
0
2 yxy d yxy
取积分路线为从 O(0?0)到 A(x?0)再到
B(x?y)的折线?则所求函数为
20
22
0
2 yxy yxy
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单连通与复连通区域
区域的边界曲线的方向当观察者沿区域 D的边界曲线 L行走时?如果左手在区域
D内?则行走方向是 L的正向?
单连通区域 复连通区域下页设 D为平面区域? 如果 D内任一闭曲线所围的部分都属于
D? 则称 D为平面单连通区域?否则称为复连通区域?
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L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )(?
定理 1
设闭区域 D由分段光滑的曲线 L围成?函数 P(x? y)及 Q(x?y)
在 D上具有一阶连续偏导数?则有其中 L是 D的取正向的边界曲线?>>>
—— 格林公式定理证明应注意的问题,
对复连通区域 D? 格林公式右端应包括沿区域 D的全部边界的曲线积分? 且边界的方向对区域 D来说都是正向?
下页上页 下页 铃结束返回首页提示,
格林公式,
用格林公式计算区域的面积下页
L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )(?
设区域 D的边界曲线为 L?则
DL
dx dyx dyy dx 2? 或 L
D
y dxx dyd x d yA 21?
在格林公式中?令 Py? Q?x?则有
L y d xx d yA 21?
DL
dx dyx dyy dx 2? 或 L
D
y dxx dyd x d yA 21?
上页 下页 铃结束返回首页格林公式,
用格林公式计算区域的面积例 1 求椭圆 x?acosq?y?bsinq所围成图形的面积 A?
L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )(?
设区域 D的边界曲线为 L?则
L y d xx d yA 21?
解 设 L是由椭圆曲线?则
L y d xx d yA 21 qqq20 22 )c o ss in(21 dabab
q? abdab2021?
L y d xx d yA 21 qqq20 22 )c o ss in(21 dabab
q? abdab2021?
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因此? 由格林公式有下页
L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )(?
格林公式,
用格林公式计算二重积分例 2 计算
D
y d x d ye 2? 其中 D 是以 O (0? 0 )? A (1? 1 )? B (0? 1 )
为顶点的三角形闭区域?
解要使 2yeyPxQ 只需 P? 0? 2yxeQ
令 P? 0? 2yxeQ 则 2yeyPxQ
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L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )(?
格林公式,
用格林公式计算二重积分例 2 计算
D
y d x d ye 2? 其中 D 是以 O (0? 0 )? A (1? 1 )? B (0? 1 )
为顶点的三角形闭区域?
解
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0
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2
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令 P? 0? 2yxeQ 则 2yeyPxQ
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用格林公式求闭曲线积分令 P?2xy?Q?x2?则证因此?由格林公式有下页
L
D
Q d yPd xd x d yyPxQ )(?
格林公式,
例 3 设 L是任意一条分段光滑的闭曲线?证明
L dyxx y d x 02 2?
022 xxyPxQ?
002 2 d x d ydyxx y d x
DL
002 2 d x d ydyxx y d x
DL
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解
y
P
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Q
222
22
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下页例 4 计算L yx y d xx d y 22? 其中 L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线?L的方向为逆时针方向?
当 (0? 0)?D时? 由格林公式得记 L所围成的闭区域为 D?
这 里 22 yx yP 22 yx xQ
当 x2?y2?0时?有上页 下页 铃结束返回首页在 D内取一圆周 l:x2?y2?r2(r>0)?
例 4 计算L yx y d xx d y 22? 其中 L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线?L的方向为逆时针方向?
当 (0? 0)?D时?
解 记 L所围成的闭区域为 D?
记 L及 l所围成的复连通区域为 D1?应用格林公式得
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D
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其中 l的方向取顺时针方向?于是
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曲线积分与路径无关下页设 G是一个开区域? P(x? y),Q(x? y)在区域 G内具有一阶连续偏导数?
21 LL Q d yP d xQ d yP d x
与路径无关?否则说与路径有关?
如果对于 G内任意指定的两个点 A,B以及 G内从点 A到点
B的任意两条曲线 L1,L2?等式恒成立? 就说曲线积分L Q d yP d x 在 G 内上页 下页 铃结束返回首页二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关这是因为?设 L1和 L2是 G内任意两条从点 A到点 B的曲线?则 L1?(L2?)是 G内一条任意的闭曲线?而且 有
0
21
LL Q d yP d xQ d yP d x? 0)(
21
LL Q d yP d x?
21 LL Q d yP d xQ d yP d x
0
21
LL Q d yP d xQ d yP d x
意 闭曲线 C 的曲线积分
L
QdyPdx 等于零?
曲线积分
L
QdyPdx 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任下页上页 下页 铃结束返回首页在 G 内恒成立?
x
Q
y
P
闭曲线的曲线积分为零 ) 的充分必要条件是等式数? 则曲线积分
L
QdyPdx 在 G 内与路径无关 ( 或沿 G 内任意设 函数 P ( x? y ) 及 Q ( x? y ) 在 单连通域 G 内具有一阶连续偏导二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关
定理 2 (曲线积分与路径无关的判断方法 )
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L
QdyPdx 等于零?
曲线积分
L
QdyPdx 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任上页 下页 铃结束返回首页
应用定理 2应注意的问题
(1)区域 G是单连通区域?
(2)函数 P(x?y)及 Q(x?y)在 G内具有一阶连续偏导数?
如果这两个条件之一不能满足? 那么定理的结论不能保证成立?
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.0 xQyPQ d yP d xQ d yP d x LL 与路径无关讨论,
设 L为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线? L的方向为逆时针方向?问 是否一定成立？
022L yx y d xx d y
提示,>>>
上页 下页 铃结束返回首页则 ABOAL dyxx y d xdyxx y d xdyxx y d x 222 222
.0 xQyPQ d yP d xQ d yP d x LL 与路径无关解 这里 P?2xy?Q?x2?
选择从 O(0?0)到 A(1?0)再到 B(1?1)的折线作为积分路线?
1110 2 dy?
因为 xxQyP 2 所 以 积分
L dyxx y d x 22 与路径无关?
例 5 计算L dyxx y d x 22? 其中 L 为抛物线 y?x2上从 O(0?0)到 B(1?1)的一段弧?
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但它未必就是某个函数的全微分?
那么在 什么条件下表达式 P(x?y)dx?Q(x?y)dy是某个二元函数 u(x?y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时?怎样求出这个二元函数呢？
二元函数 u(x?y)的全微分为
du(x?y)?ux(x?y)dx?uy(x?y)dy?
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原函数如果函数 u(x? y)满足 du(x? y)?P(x? y)dx?Q(x? y)dy? 则 函数
u(x?y)称为 P(x? y)dx?Q(x?y)dy的原函数?
定理证明 下页
>>>
设函数 P(x? y)及 Q(x? y)在单连通域 G内具有一阶连续偏导数? 则 P(x? y)dx?Q(x? y)dy在 G内为某一函数 u(x? y)的全微分的充分必要条件是等式在 G内恒成立?
x
Q
y
P
定理 3
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求原函数的公式下页
),( ),( 00 ),(),(),( yx yx dyyxQdxyxPyxu?
yyxx dyyxQdxyxPyxu 00 ),(),(),( 0?
xxyy dxyxPdyyxQyxu 00 ),(),(),( 0?
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y
P
yx
xy
x
Q
222
22
)(?
22 yx
yP
22 yx
xQ
所 以 在右半平面内? 22 yx y d xx d y
是某个函数的全微分?
),( )0,1( 22),( yx yx y d xx d yyxu
取积分路线为从 A(1?0)
到 B(x?0)再到 C(x?y)的折线?
y yx x d y0 220 xya r c ta n
y
yx
x d y
0 220 x
ya rc ta n
半平面内是某个函数的全微分?并求出一个这样的函数?
例 6 验证,22 yx y d xx d y 在右则所求函数为下页上页 下页 铃结束返回首页 结束例 7 验证,在整个 xOy面内?xy2dx?x2ydy是某个函数的全微分?并求出一个这样的函数?
这里 P?xy2? Q?x2y?解因为 P,Q在整个 xOy面内具有一阶连续偏导数?且有
y
Pxy
x
Q
2?
所以在整个 xOy面内?xy2dx?x2ydy是某个函数的全微分?
),( )0,0( 22),( yx y d yxdxxyyxu
20
22
0
2 yxy d yxy
取积分路线为从 O(0?0)到 A(x?0)再到
B(x?y)的折线?则所求函数为
20
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