一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算
§ 10.2 对坐标的曲线积分上页 下页 铃结束返回首页三、两类曲线积分之间的联系上页 下页 铃结束返回首页一、对坐标的曲线积分的概念与性质
变力沿曲线所作的功质点在变力 F(x?y)?P(x? y)i?Q(x?y)j的作用下从点 A沿光滑曲线弧 L移动到点 B?求变力 F(x?y)所作的功?
下页
P(?ii)?xi?Q(?ii)?yi?[ ]n
i 1?
提示?
把 L分成 n个小弧段?L1? L2 Ln?
求功的过程?
变力在 Li上所作的功的近似值为?
0lim
变力在 上所作的功的近似值为?变力在 上所作的功的精确值为其中?是各小弧段长度的最大值?
F在 Li上所作的功 Wi?F(?ii)si?
>>>光滑曲线上页 下页 铃结束返回首页
对坐标的曲线积分下页
设函数 P(x?y),Q(x?y)在有向光滑曲线弧 L上有界?
把 L分成 n个有向小弧段 L1? L2 Ln? 其中 Li是从 (xi?1? yi?1)到
(xi? yi)的小弧段?记?xi?xi?xi?1yi?yi?yi?1?
在小弧段 Li上任取一点 (?i)?
令?为各小弧段长度的最大值?
如果极限 总存在?则称此极限为函数 P(x?y)
在有向曲线弧 L上对坐标 x的曲线积分?记作?
iii
n
i
xP?
),(lim
10
L dxyxP ),(
L dyyxQ ),(
iii
n
i
yQ?
),(lim
10
如果极限 总存在?则称此极限为函数 Q(x?y)
在有向曲线弧 L上对坐标 y的曲线积分?记作?
上页 下页 铃结束返回首页 下页
对坐标的曲线积分
iii
n
iL
xPdxyxP
),(lim),(
10
iii
n
iL
yQdyyxQ
),(lim),(
10
在积分中 P(x?y),Q(x?y)叫做被积函数?L叫做积分弧段?
说明?
对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分?
上页 下页 铃结束返回首页
iiii
n
iL
yQdyzyxQ
),,(lim),,(
10
对坐标的曲线积分
iii
n
iL
xPdxyxP
),(lim),(
10
iii
n
iL
yQdyyxQ
),(lim),(
10
说明?
设?为空间内一条光滑有向曲线弧?函数 P(x? y? z),Q(x? y? z)、
R(x?y? z)在?上有定义?我们定义
iiii
n
iL
xPdxzyxP
),,(lim),,(
10
iiii
n
iL
zRdzzyxR
),,(lim),,(
10
下页上页 下页 铃结束返回首页
对坐标的曲线积分的简写形式在应用上经常出现的是
LL dyyxQdxyxP ),(),(?
上式可记为
dyyxQdxyxPL ),(),( 或L dyx rF ),(?
其中 F(x?y)?P(x? y)i?Q(x?y)j? dr?dxi?dyj?
类似地?有其中 A?P(x? y? z)i?Q(x?y? z)j?R(x?y? z)k?dr?dxi?dyj?dzk?
R d zQ d yP d x R d zQ d yP d x rA dL
下页上页 下页 铃结束返回首页
对坐标的曲线积分的性质
性质 1 设?,?为常数?则
LLL dyxdyxdyxyx rFrFrFF ),(),()],(),([ 2121
性质 2 若有向曲线弧 L可分成两段光滑的有向曲线弧 L1和 L2?
性质 3 设 L是有向光滑曲线弧?L?是 L的反向曲线弧?则
LL dyxdyx rFrF ),(),(?
21 ),(),(),( LLL dyxdyxdyx rFrFrF?
则首页上页 下页 铃结束返回首页提示?
二、对坐标的曲线积分的计算下页质点在变力 F(x?y)?P(x? y)i?Q(x?y)j的作用下沿光滑有向曲线弧 L所作的功为另一方面?在 L上任取一小段有向弧?其起点和终点对应的参数分别为 t和 t?dt?得功元素
F[?(t)(t)]?dr
dr?(dx?dy)?((t)dt(t)dt)?
dW
dyyxQdxyxPW L ),(),( dyyxQdxyxPWL,(),(
设光滑有向曲线弧 L的参数方程为 x(t)?y(t)?且 L的起点和终点所对应的参数分别为?和
>>>图形
F[?(t)(t)]?(P[?(t)(t)]?Q[?(t)(t)])?
上页 下页 铃结束返回首页二、对坐标的曲线积分的计算下页质点在变力 F(x?y)?P(x? y)i?Q(x?y)j的作用下沿光滑有向曲线弧 L所作的功为另一方面?在 L上任取一小段有向弧?其起点和终点对应的参数分别为 t和 t?dt?得功元素
F[?(t)(t)]?dr
P[?(t)(t)](t)dt?Q[?(t)(t)](t)dt?
dW
于是
dttttQtttPW )}()](),([)()](),([{?
dyyxQdxyxPW L ),(),( dyyxQdxyxPWL,(),(
设光滑有向曲线弧 L的参数方程为 x(t)?y(t)?且 L的起点和终点所对应的参数分别为?和
上页 下页 铃结束返回首页二、对坐标的曲线积分的计算下页质点在变力 F(x?y)?P(x? y)i?Q(x?y)j的作用下沿光滑有向曲线弧 L所作的功为
dyyxQdxyxPW L ),(),(
dttttQtttPW )}()](),([)()](),([{?
设光滑有向曲线弧 L的参数方程为 x(t)?y(t)?且 L的起点和终点所对应的参数分别为?和
这说明对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算?
上页 下页 铃结束返回首页 下页
定理 (对坐标的曲线积分的计算公式 )
L dyyxQdxyxP ),(),(
存在?并 且则曲线积分
dttttQtttPdyyxQdxyxPL )}()](),([)()](),([{),(),(?
dttttQtttPdyyxQdxyxPL )}()](),([)()](),([{),(),(?
设 P(x? y),Q(x?y)在有向光滑曲线弧 L上有定义且连续?
L的参数方程为 x(t)?y(t)?L的起点和终点对应的参数分别为?和
应注意的问题?
下限 a对应于 L的起点? 上限? 对应于 L的终点不一定小于
上页 下页 铃结束返回首页 下页
dttttQtttPdyyxQdxyxPL )}()](),([)()](),([{),(),(?
设 L由 x(t)?y(t)给出?L以 t为 起点以 t为终点?则设空间曲线?由 x(t)?y(t)?z(t)给出以 t为 起点以 t为终点?问讨论?
dzzyxRdyzyxQdxzyxP ),,(),,(),,(?？
提示?
dzzyxRdyzyxQdxzyxP ),,(),,(),,(?？
)()](),(),([)()](),(),([{ ttttQttttP
dtttttR )}()](),(),([
上页 下页 铃结束返回首页 下页
dttttQtttPdyyxQdxyxPL )}()](),([)()](),([{),(),(?
设 L由 x(t)?y(t)给出?L以 t为 起点以 t为终点?则例 1 计算? L x y d x? 其中 L 为抛物线 y 2? x
上从点 A(11)到点 B(1?1)的一段弧?
解
L分为 AO和 OB两部分?
第一种方法?以 x为积分变量?
在 AO 上? xy x 从 1 变到 0?
在 O B 上? xy x 从 0 变到 1?
因此 OBAOL x y d xx y d xx y d x 54)( 1001 dxxxdxxx? 因此 OBAOL x y d xx y d xx y d x 54)( 1001 dxxxdxxx? 因此 OBAOL xydxxydxxyd 54)( 1001 dxxxdxxx?
上页 下页 铃结束返回首页
dttttQtttPdyyxQdxyxPL )}()](),([)()](),([{),(),(?
设 L由 x(t)?y(t)给出?L以 t为 起点以 t为终点?则例 1 计算? L x y d x? 其中 L 为抛物线 y 2? x
上从点 A(11)到点 B(1?1)的一段弧?
解 第二种方法?以 y为积分变量?
在 L上? x?y2? y从?1变到 1?因此
1 1 22 )( dyyyyx y d xL 542 1 1 4 dyy 1 1 22 )( dyyyyx y d xL 542 1 1 4 dyy?
下页上页 下页 铃结束返回首页 下页解 (1)L的参数方程为 x?acosy?asin从 0变到因此因此0 222 )s in(s in daadxyL
3
0
23
3
4c o s)c o s1( ada
例 2 计算?L dxy 2? 其 中 L 为
(1)按逆时针方向绕行的上半圆周 x2?y2?a2?
(2)从点 A(a?0)沿 x轴到点 B(?a?0)的直线段?
3
0
23
3
4cos)cos1( ada
(2)L的方程为 y?0?x从 a变到?a?因此
002aaL dxdxy? 002 aaL dxdxy?
上页 下页 铃结束返回首页
10 222 )22(2 dxxxxxdyxx y d xL
10 422 )22(2 dyyyyydyxx y d xL
下页例 3 计算L dyxx y d x 22? 其 中 L 为
(1)抛物线 y?x2上从 O(0?0)到 B(1?1)的一段弧?
(2)抛物线 x?y2上从 O(0?0)到 B(1?1)的一段弧?
(3)从 O(0?0)到 A(1?0)?再到 B(1? 1)的有向折线 OAB?
(1)L?y?x2? x从 0变到 1?所以解
14 10 3 dxx?
(2)L? x?y2? y从 0变到 1?所以
15 10 4 dyy?
10 222 )22(2 dxxxxxdyxx y d xL
10 422 )2(2 dyyyyydyxx y d xL
上页 下页 铃结束返回首页
(3)OA?y?0? x从 0变到 1?
AB? x?1? y从 0变到 1?
下页例 3 计算L dyxx y d x 22? 其 中 L 为
(1)抛物线 y?x2上从 O(0?0)到 B(1?1)的一段弧?
(2)抛物线 x?y2上从 O(0?0)到 B(1?1)的一段弧?
(3)从 O(0?0)到 A(1?0)?再到 B(1? 1)的有向折线 OAB?
解
ABOA dyxx y d xdyxx y d x 22 22
所 以L dyxx y d x 22
1010 2 )102()002( dyydxxx
0?1?1?
上页 下页 铃结束返回首页 下页解到点 B(0?0? 0)的直线段?
例 4 计算 y d zxdyzydxxI 223 3 其中? 是从点 A (3? 2? 1 )
dttttttI 01 223 ]2)3(2)2(33)3[( 48787 01 3 dtt?
dttttttI 01 223 ]2)3(2)2(33)3[( 48787 01 3 dtt? dttttttI 01 223 ]2)3(2)2(33)3[( 48787 01 3 dtt?
直线段 AB的方程是
123
zyx
化为参数方程得
x?3t?y?2t?z?t?
t从 1变到 0?所以上页 下页 铃结束返回首页其中 0, kyxOM jir 是比例常数?
提示?
下页例 5 一个质点 在力 F 的作用下从点 A ( a? 0 ) 沿椭圆 12222 byax
按逆时针方向移动到点 B(0? b)? F的大小与质点到原点的距离成正比?方向恒指向原点?求力 F所作的功 W?
解椭圆的参数方程为 x?acost?y?bsint?t从 0变到?
2
质点在点 M(x?y)处所受到的力为
)()||(|| jirrrF yxkk
于是 BABA y d yx d xkk y d yk x d xW
20 22 )c o ss i ns i nc o s(? dtttbttak
)()||(|| jirrrF yxkk
于是 BABA y d yx d xkk y d yk x d xW
上页 下页 铃结束返回首页例 5 一个质点 在力 F 的作用下从点 A ( a? 0 ) 沿椭圆 12222 byax
按逆时针方向移动到点 B(0? b)? F的大小与质点到原点的距离成正比?方向恒指向原点?求力 F所作的功 W?
20 22 )c o ss i ns i nc o s(? dtttbttak
)(2c o ss in)( 222022 bakt d ttbak
其中 0, kyxOM jir 是比例常数?
解 质点在点 M(x?y)处所受到的力为
)()||(|| jirrrF yxkk
于是 BABA y d yx d xkk y d yk x d xW
)()||(|| jirrrF yxkk
于是 BABA y d yx d xkk y d yk x d xW
)(2c o ss in)( 222022 bakt d ttbak
首页上页 下页 铃结束返回首页三、两类曲线积分之间的联系说明?
指向与有向曲线弧的走向一至的切向量称为有向曲线的切向量?
设(cos cos?)为光滑有向曲线弧 L上点 (x? y)处的单位切向量? L的参数方程为 x(t)? y(t)? L的起点和终点所对应的参数分别为 a和 b?则
L dyyxQdxyxP ),(),(
ba dttttQtttP )}()](),([)()](),([{
ba dttttt tttQtttP )()()()( )()](),([)()](),([ 2222
下页上页 下页 铃结束返回首页三、两类曲线积分之间的联系设(cos cos?)为光滑有向曲线弧 L上点 (x? y)处的单位切向量? L的参数方程为 x(t)? y(t)? L的起点和终点所对应的参数分别为 a和 b?则
L dyyxQdxyxP ),(),(
ba dttttQtttP )}()](),([)()](),([{
ba dttttt tttQtttP )()()()( )()](),([)()](),([ 2222
L dsyxQyxP ]c o s),(c o s),([
即 LL dsyxQyxPdyyxQdxyxP ]c o s),(c o s),([),(),(
下页上页 下页 铃结束返回首页三、两类曲线积分之间的联系设(cos cos?)为光滑有向曲线弧 L上点 (x? y)处的单位切向量?则即 LL dsyxQyxPdyyxQdxyxP ]c o s),(c o s),([),(),(
类似地?设(coscos cos?)为有向曲线弧?上点 (x?y? z)
处的单位切向量?则
dsRQPR d zQ d yP d x ]c o sc o sc o s[
dsd?ArA?
或其中 A?(P? Q? R)? drds?(dx?dy?dz)?dr称为有向曲线元?
结束
§ 10.2 对坐标的曲线积分上页 下页 铃结束返回首页三、两类曲线积分之间的联系上页 下页 铃结束返回首页一、对坐标的曲线积分的概念与性质
变力沿曲线所作的功质点在变力 F(x?y)?P(x? y)i?Q(x?y)j的作用下从点 A沿光滑曲线弧 L移动到点 B?求变力 F(x?y)所作的功?
下页
P(?ii)?xi?Q(?ii)?yi?[ ]n
i 1?
提示?
把 L分成 n个小弧段?L1? L2 Ln?
求功的过程?
变力在 Li上所作的功的近似值为?
0lim
变力在 上所作的功的近似值为?变力在 上所作的功的精确值为其中?是各小弧段长度的最大值?
F在 Li上所作的功 Wi?F(?ii)si?
>>>光滑曲线上页 下页 铃结束返回首页
对坐标的曲线积分下页
设函数 P(x?y),Q(x?y)在有向光滑曲线弧 L上有界?
把 L分成 n个有向小弧段 L1? L2 Ln? 其中 Li是从 (xi?1? yi?1)到
(xi? yi)的小弧段?记?xi?xi?xi?1yi?yi?yi?1?
在小弧段 Li上任取一点 (?i)?
令?为各小弧段长度的最大值?
如果极限 总存在?则称此极限为函数 P(x?y)
在有向曲线弧 L上对坐标 x的曲线积分?记作?
iii
n
i
xP?
),(lim
10
L dxyxP ),(
L dyyxQ ),(
iii
n
i
yQ?
),(lim
10
如果极限 总存在?则称此极限为函数 Q(x?y)
在有向曲线弧 L上对坐标 y的曲线积分?记作?
上页 下页 铃结束返回首页 下页
对坐标的曲线积分
iii
n
iL
xPdxyxP
),(lim),(
10
iii
n
iL
yQdyyxQ
),(lim),(
10
在积分中 P(x?y),Q(x?y)叫做被积函数?L叫做积分弧段?
说明?
对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分?
上页 下页 铃结束返回首页
iiii
n
iL
yQdyzyxQ
),,(lim),,(
10
对坐标的曲线积分
iii
n
iL
xPdxyxP
),(lim),(
10
iii
n
iL
yQdyyxQ
),(lim),(
10
说明?
设?为空间内一条光滑有向曲线弧?函数 P(x? y? z),Q(x? y? z)、
R(x?y? z)在?上有定义?我们定义
iiii
n
iL
xPdxzyxP
),,(lim),,(
10
iiii
n
iL
zRdzzyxR
),,(lim),,(
10
下页上页 下页 铃结束返回首页
对坐标的曲线积分的简写形式在应用上经常出现的是
LL dyyxQdxyxP ),(),(?
上式可记为
dyyxQdxyxPL ),(),( 或L dyx rF ),(?
其中 F(x?y)?P(x? y)i?Q(x?y)j? dr?dxi?dyj?
类似地?有其中 A?P(x? y? z)i?Q(x?y? z)j?R(x?y? z)k?dr?dxi?dyj?dzk?
R d zQ d yP d x R d zQ d yP d x rA dL
下页上页 下页 铃结束返回首页
对坐标的曲线积分的性质
性质 1 设?,?为常数?则
LLL dyxdyxdyxyx rFrFrFF ),(),()],(),([ 2121
性质 2 若有向曲线弧 L可分成两段光滑的有向曲线弧 L1和 L2?
性质 3 设 L是有向光滑曲线弧?L?是 L的反向曲线弧?则
LL dyxdyx rFrF ),(),(?
21 ),(),(),( LLL dyxdyxdyx rFrFrF?
则首页上页 下页 铃结束返回首页提示?
二、对坐标的曲线积分的计算下页质点在变力 F(x?y)?P(x? y)i?Q(x?y)j的作用下沿光滑有向曲线弧 L所作的功为另一方面?在 L上任取一小段有向弧?其起点和终点对应的参数分别为 t和 t?dt?得功元素
F[?(t)(t)]?dr
dr?(dx?dy)?((t)dt(t)dt)?
dW
dyyxQdxyxPW L ),(),( dyyxQdxyxPWL,(),(
设光滑有向曲线弧 L的参数方程为 x(t)?y(t)?且 L的起点和终点所对应的参数分别为?和
>>>图形
F[?(t)(t)]?(P[?(t)(t)]?Q[?(t)(t)])?
上页 下页 铃结束返回首页二、对坐标的曲线积分的计算下页质点在变力 F(x?y)?P(x? y)i?Q(x?y)j的作用下沿光滑有向曲线弧 L所作的功为另一方面?在 L上任取一小段有向弧?其起点和终点对应的参数分别为 t和 t?dt?得功元素
F[?(t)(t)]?dr
P[?(t)(t)](t)dt?Q[?(t)(t)](t)dt?
dW
于是
dttttQtttPW )}()](),([)()](),([{?
dyyxQdxyxPW L ),(),( dyyxQdxyxPWL,(),(
设光滑有向曲线弧 L的参数方程为 x(t)?y(t)?且 L的起点和终点所对应的参数分别为?和
上页 下页 铃结束返回首页二、对坐标的曲线积分的计算下页质点在变力 F(x?y)?P(x? y)i?Q(x?y)j的作用下沿光滑有向曲线弧 L所作的功为
dyyxQdxyxPW L ),(),(
dttttQtttPW )}()](),([)()](),([{?
设光滑有向曲线弧 L的参数方程为 x(t)?y(t)?且 L的起点和终点所对应的参数分别为?和
这说明对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算?
上页 下页 铃结束返回首页 下页
定理 (对坐标的曲线积分的计算公式 )
L dyyxQdxyxP ),(),(
存在?并 且则曲线积分
dttttQtttPdyyxQdxyxPL )}()](),([)()](),([{),(),(?
dttttQtttPdyyxQdxyxPL )}()](),([)()](),([{),(),(?
设 P(x? y),Q(x?y)在有向光滑曲线弧 L上有定义且连续?
L的参数方程为 x(t)?y(t)?L的起点和终点对应的参数分别为?和
应注意的问题?
下限 a对应于 L的起点? 上限? 对应于 L的终点不一定小于
上页 下页 铃结束返回首页 下页
dttttQtttPdyyxQdxyxPL )}()](),([)()](),([{),(),(?
设 L由 x(t)?y(t)给出?L以 t为 起点以 t为终点?则设空间曲线?由 x(t)?y(t)?z(t)给出以 t为 起点以 t为终点?问讨论?
dzzyxRdyzyxQdxzyxP ),,(),,(),,(?？
提示?
dzzyxRdyzyxQdxzyxP ),,(),,(),,(?？
)()](),(),([)()](),(),([{ ttttQttttP
dtttttR )}()](),(),([
上页 下页 铃结束返回首页 下页
dttttQtttPdyyxQdxyxPL )}()](),([)()](),([{),(),(?
设 L由 x(t)?y(t)给出?L以 t为 起点以 t为终点?则例 1 计算? L x y d x? 其中 L 为抛物线 y 2? x
上从点 A(11)到点 B(1?1)的一段弧?
解
L分为 AO和 OB两部分?
第一种方法?以 x为积分变量?
在 AO 上? xy x 从 1 变到 0?
在 O B 上? xy x 从 0 变到 1?
因此 OBAOL x y d xx y d xx y d x 54)( 1001 dxxxdxxx? 因此 OBAOL x y d xx y d xx y d x 54)( 1001 dxxxdxxx? 因此 OBAOL xydxxydxxyd 54)( 1001 dxxxdxxx?
上页 下页 铃结束返回首页
dttttQtttPdyyxQdxyxPL )}()](),([)()](),([{),(),(?
设 L由 x(t)?y(t)给出?L以 t为 起点以 t为终点?则例 1 计算? L x y d x? 其中 L 为抛物线 y 2? x
上从点 A(11)到点 B(1?1)的一段弧?
解 第二种方法?以 y为积分变量?
在 L上? x?y2? y从?1变到 1?因此
1 1 22 )( dyyyyx y d xL 542 1 1 4 dyy 1 1 22 )( dyyyyx y d xL 542 1 1 4 dyy?
下页上页 下页 铃结束返回首页 下页解 (1)L的参数方程为 x?acosy?asin从 0变到因此因此0 222 )s in(s in daadxyL
3
0
23
3
4c o s)c o s1( ada
例 2 计算?L dxy 2? 其 中 L 为
(1)按逆时针方向绕行的上半圆周 x2?y2?a2?
(2)从点 A(a?0)沿 x轴到点 B(?a?0)的直线段?
3
0
23
3
4cos)cos1( ada
(2)L的方程为 y?0?x从 a变到?a?因此
002aaL dxdxy? 002 aaL dxdxy?
上页 下页 铃结束返回首页
10 222 )22(2 dxxxxxdyxx y d xL
10 422 )22(2 dyyyyydyxx y d xL
下页例 3 计算L dyxx y d x 22? 其 中 L 为
(1)抛物线 y?x2上从 O(0?0)到 B(1?1)的一段弧?
(2)抛物线 x?y2上从 O(0?0)到 B(1?1)的一段弧?
(3)从 O(0?0)到 A(1?0)?再到 B(1? 1)的有向折线 OAB?
(1)L?y?x2? x从 0变到 1?所以解
14 10 3 dxx?
(2)L? x?y2? y从 0变到 1?所以
15 10 4 dyy?
10 222 )22(2 dxxxxxdyxx y d xL
10 422 )2(2 dyyyyydyxx y d xL
上页 下页 铃结束返回首页
(3)OA?y?0? x从 0变到 1?
AB? x?1? y从 0变到 1?
下页例 3 计算L dyxx y d x 22? 其 中 L 为
(1)抛物线 y?x2上从 O(0?0)到 B(1?1)的一段弧?
(2)抛物线 x?y2上从 O(0?0)到 B(1?1)的一段弧?
(3)从 O(0?0)到 A(1?0)?再到 B(1? 1)的有向折线 OAB?
解
ABOA dyxx y d xdyxx y d x 22 22
所 以L dyxx y d x 22
1010 2 )102()002( dyydxxx
0?1?1?
上页 下页 铃结束返回首页 下页解到点 B(0?0? 0)的直线段?
例 4 计算 y d zxdyzydxxI 223 3 其中? 是从点 A (3? 2? 1 )
dttttttI 01 223 ]2)3(2)2(33)3[( 48787 01 3 dtt?
dttttttI 01 223 ]2)3(2)2(33)3[( 48787 01 3 dtt? dttttttI 01 223 ]2)3(2)2(33)3[( 48787 01 3 dtt?
直线段 AB的方程是
123
zyx
化为参数方程得
x?3t?y?2t?z?t?
t从 1变到 0?所以上页 下页 铃结束返回首页其中 0, kyxOM jir 是比例常数?
提示?
下页例 5 一个质点 在力 F 的作用下从点 A ( a? 0 ) 沿椭圆 12222 byax
按逆时针方向移动到点 B(0? b)? F的大小与质点到原点的距离成正比?方向恒指向原点?求力 F所作的功 W?
解椭圆的参数方程为 x?acost?y?bsint?t从 0变到?
2
质点在点 M(x?y)处所受到的力为
)()||(|| jirrrF yxkk
于是 BABA y d yx d xkk y d yk x d xW
20 22 )c o ss i ns i nc o s(? dtttbttak
)()||(|| jirrrF yxkk
于是 BABA y d yx d xkk y d yk x d xW
上页 下页 铃结束返回首页例 5 一个质点 在力 F 的作用下从点 A ( a? 0 ) 沿椭圆 12222 byax
按逆时针方向移动到点 B(0? b)? F的大小与质点到原点的距离成正比?方向恒指向原点?求力 F所作的功 W?
20 22 )c o ss i ns i nc o s(? dtttbttak
)(2c o ss in)( 222022 bakt d ttbak
其中 0, kyxOM jir 是比例常数?
解 质点在点 M(x?y)处所受到的力为
)()||(|| jirrrF yxkk
于是 BABA y d yx d xkk y d yk x d xW
)()||(|| jirrrF yxkk
于是 BABA y d yx d xkk y d yk x d xW
)(2c o ss in)( 222022 bakt d ttbak
首页上页 下页 铃结束返回首页三、两类曲线积分之间的联系说明?
指向与有向曲线弧的走向一至的切向量称为有向曲线的切向量?
设(cos cos?)为光滑有向曲线弧 L上点 (x? y)处的单位切向量? L的参数方程为 x(t)? y(t)? L的起点和终点所对应的参数分别为 a和 b?则
L dyyxQdxyxP ),(),(
ba dttttQtttP )}()](),([)()](),([{
ba dttttt tttQtttP )()()()( )()](),([)()](),([ 2222
下页上页 下页 铃结束返回首页三、两类曲线积分之间的联系设(cos cos?)为光滑有向曲线弧 L上点 (x? y)处的单位切向量? L的参数方程为 x(t)? y(t)? L的起点和终点所对应的参数分别为 a和 b?则
L dyyxQdxyxP ),(),(
ba dttttQtttP )}()](),([)()](),([{
ba dttttt tttQtttP )()()()( )()](),([)()](),([ 2222
L dsyxQyxP ]c o s),(c o s),([
即 LL dsyxQyxPdyyxQdxyxP ]c o s),(c o s),([),(),(
下页上页 下页 铃结束返回首页三、两类曲线积分之间的联系设(cos cos?)为光滑有向曲线弧 L上点 (x? y)处的单位切向量?则即 LL dsyxQyxPdyyxQdxyxP ]c o s),(c o s),([),(),(
类似地?设(coscos cos?)为有向曲线弧?上点 (x?y? z)
处的单位切向量?则
dsRQPR d zQ d yP d x ]c o sc o sc o s[
dsd?ArA?
或其中 A?(P? Q? R)? drds?(dx?dy?dz)?dr称为有向曲线元?
结束
