返回上页 下页先证必要性,简要证明设 P(x? y)及 Q(x? y)在单连通域 G内具有一阶连续偏导数?
则 P(x? y)dx?Q(x? y)dy在 G内为某一函数 u(x? y)的全微分的充分必要条件是等式 xQyP 在 G 内恒成立,
假设存在某一函数 u(x?y)?使得 du?P(x?y)dx?Q(x?y)dy?则
yx
u
x
u
yy
P



2)(?
xy
u
y
u
xx
Q



2)(,
因为 yPyx u 2,xQxy u 2 连续? 所以
xy
u
yx
u



22? 即
x
Q
y
P

,
下页返回上页 下页再证充分性,简要证明设 P(x? y)及 Q(x? y)在单连通域 G内具有一阶连续偏导数?
则 P(x? y)dx?Q(x? y)dy在 G内为某一函数 u(x? y)的全微分的充分必要条件是等式 xQyP 在 G 内恒成立,
因为在 G 内 xQyP 所以 积分L dyyxQdxyxP ),(),( 在
G内与路径无关,在 G内从点 (x0?y0)到点 (x?y)的曲线积分可表示为
u ( x? y ) ),( ),(
00
),(),(yx yx dyyxQdxyxP,
可以证明 du(x?y)?P(x?y)dx?Q(x?y)dy,>>>
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