一、泰勒级数二、函数展开成幂级数
§ 11.4 函数展开成幂级数函数 f(x)是否能在某个区间内,展开成幂级数,,就是说,是否能找到这样一个幂级数,它在某区间内收敛,且其和恰好就是给定的函数 f(x),如果能找到这样的幂级数,则称函数 f(x)在该区间内能展开成幂级数,
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复习根据泰勒中值定理,如果函数 f(x)在 x0的某邻域内具有各阶导数,则在该邻域内等式右端的多项式当其项数趋于无穷时,将成为幂级数,
这个幂级数就称为 f(x)的泰勒级数,
)(!2 )())(()()( 200000= xxxfxxxfxfxf
)()(! )( 00)( xRxxn xf nnn,?
其 中 10)1( )()!1( )()(= nnn xxnfxR? (? 介于 x 与 0x 之间 ),
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泰勒级数如果函数 f(x)在点 x0的某邻域内具有各阶导数,则幂级数称为函数 f(x)的泰勒级数,
麦克劳林级数在泰勒级数中取 x0=0,得此级数称为 f(x)的麦克劳林级数,
)(!3 )()(!2 )())(()( 300200000 xxxfxxxfxxxfxf,
! )0( !2 )0()0()0( )(2 nn xnfxfxff,
下页上页 下页 铃结束返回首页一、泰勒级数显然,当 x=x0时,f(x)的泰勒级数收敛于 f(x0).
需回答的问题是,除了 x=x0外,f(x)的泰勒级数是否收敛?
如果收敛,它是否一定收敛于 f(x)?
! )0( !2 )0()0()0( )(2 nn xnfxfxff,
.
)(!3 )()(!2 )())(()( 300200000 xxxfxxxfxxxfxf,
.
下页
泰勒级数
麦克劳林级数上页 下页 铃结束返回首页一、泰勒级数设函数 f(x)在点 x0的某一邻域 U(x0)内具有各阶导数,则 f(x)
在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是 f(x)的泰勒公式中的余项 Rn(x)当 n?0时的极限为零,即
定理
))(( 0)(lim 0xUxxR nn?=,?
>>>
定理证明 下页
! )0( !2 )0()0()0( )(2 nn xnfxfxff,
.
)(!3 )()(!2 )())(()( 300200000 xxxfxxxfxxxfxf,
.
泰勒级数
麦克劳林级数上页 下页 铃结束返回首页
展开式的唯一性如果 f(x)能展开成 x的幂级数,那么这种展式是唯一的,它一定与 f(x)的麦克劳林级数一致,
这是因为,如果 f(x)在点 x0=0的某邻域 (?R,R)内能展开成 x
的幂级数,即
f(x)=a0?a1x?a2x2anxn,
,a0=f(0),a1=f?(0),.
!2
)0(
2
fa=,?
!
)0()(
n
fa n
n =,
提示,
f(x)=2!a2?3?2a3x?4?3a4x2?5?4a5x3,f(0)=2!a2.
f (n)(x)=n!an?(n?1)n(n?1)2an?1x,f (n)(0)=n!an.
那么有
f?(x)=a1?2a2x?3a3x2?4a4x3?5a5x4,f?(0)=a1.
下页上页 下页 铃结束返回首页如果 f(x)能展开成 x的幂级数,那么这个幂级数就是 f(x)的麦克劳林级数,
但是,如果 f(x)的麦克劳林级数在点 x0=0的某邻域内收敛,
它却不一定收敛于 f(x).
因此,如果 f(x)在点 x0=0处具有各阶导数,则 f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来,但这个级数是否在某个区间内收敛,以及是否收敛于 f(x)却需要进一步考察,
应注意的问题,
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展开式的唯一性如果 f(x)能展开成 x的幂级数,那么这种展式是唯一的,它一定与 f(x)的麦克劳林级数一致,
上页 下页 铃结束返回首页二、函数展开成幂级数
函数展开成幂级数的步骤
第一步 求出 f (x)的各阶导数,f?(x),f(x),,f (n)(x),;
第二步 求函数及其各阶导数在 x=0处的值,
f(0),f?(0),f(0),,f (n)( 0),;
第三步 写出幂级数
第四步 考察在区间 (?R,R)内时是否 Rn(x)?0(n).
如果 Rn(x)?0(n),则 f(x)在 (?R,R)内有展开式
! )0( !2 )0()0()0()( )(2= nn xnfxfxffxf (? R < x < R ),
! )0( !2 )0()0()0( )(2 nn xnfxfxff,?
并求出收敛半径 R;
下页上页 下页 铃结束返回首页例 1 将函数 f(x)=ex展开成 x的幂级数,
解 显然 f (n)(x)=ex(n=1,2,),
于是得级数
f(n)(0)=1(n=1,2,).
!1 !211 2 nxnxx,?
它的收敛半径 R=.
对于任何有限的数 x,?(?介于 0与 x之间 ),有而 0)!1( ||lim 1 = nx nn,? 所以 0|)(|lim = xR nn,? 从而有展开式
!1 !211 2= nx xnxxe ( < x < ),?
而 0)!1( ||lim 1 = nx nn,? 所以 0|)(|lim = xR nn 从而有展开式 而 01( ||lim = nx nn,? 所以 0|)(|lim = xR nn,? 从而有展开式
)!1(
|| |
)!1(| |)(|
1||1
<?=
n
xex
n
exR nxn
n
,?
)!1(
|| |
)!1(| |)(|
1||1
<?=
n
xex
n
exR nxn
n
,?
)!1(
|| |
1(| |)(|
1||1
<?=
n
xex
n
exR nxn
n
,?
下页上页 下页 铃结束返回首页例 2 将函数 f(x)=sinx展开成 x的幂级数,
解 因为 )2 s i n ()()(= nxxf n ( n = 1,2,),?
解所以 f (n)(0)顺序循环地取 0,1,0,?1, (n=0,1,2,3,),
于是得级数
)!12()1( !5!3 12153 nxxxx nn,
对于任何有限的数 x,?(?介于 0与 x之间 ),有它的收敛半径为 R=.
)!1(
|| |
)!1(
]2 )1(sin[
| |)(|
1
1
=
n
xx
n
n
xR
n
n
n
0 (n).? )!1( || |)!1(
]2 )1(s i n [
| |)|
1
1
=
n
xx
n
n
xR
n
n
n
0 ( n ),? )!1( || |)!1(
]2 )1(sin[
| |)(|
1
1
=
n
xx
n
n
xR
n
n
n
0 (n).? )!1( || |)!1(
]2 )1(s n [
| |)(|
1
=
n
xx
n
n
xR
n
n
n
0 ( n ).?
因此得展开式
s i n x = )!12()1( !5!3 12153 nxxxx nn ( < x < ),
下页上页 下页 铃结束返回首页例 3 将函数 f(x)=(1?x)m(m为任意常数 )展开成 x的幂级数,
所以 f(0)=1,f?(0)=m,f(0)=m(m?1),,
f (n)(0)=m(m?1)(m?2)(m?n?1),,
于是得幂级数解 f(x)的各阶导数为
f?(x)=m(1?x)m?1,f(x)=m(m?1)(1?x)m?2,,
f (n)(x)=m(m?1)(m?2)(m?n?1)(1?x)m?n,,
! )1( )1( !2 )1(1 2 nxn nmmmxmmmx,
可以证明
! )1( )1( !2 )1(1)1( 2=? nm xn nmmmxmmmxx
(?1<x<1).
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求幂级数展开式的间接展开法例 4 将函数 f(x)=cos x展开成 x的幂级数,
已知解
)!12()1( !5!3s i n 12153= nxxxxx nn ( < x < ),?
对上式两边求导得
)!2()1( !4!21c o s 242= nxxxx nn ( < x < ),?
注,逐项求导所得幂级数与原幂级数有相同的收敛半径,
下页上页 下页 铃结束返回首页例 5 将函数 21 1)( xxf?= 展开成 x 的幂级数,?
例 5
解 因为 11 1 2=? nxxxx (? 1< x < 1 ),?
解 已知把 x换成?x2,得
)1( 11 1 2422=? nn xxxx (? 1< x < 1 ),
提示,
)1( 11 1 2422=? nn xxxx (? 1< x< 1 ),
收敛半径的确定,由?1<?x2<1得?1<x<1.
下页上页 下页 铃结束返回首页例 6 将函数 f(x)=ln(1?x)展开成 x的幂级数,
f(x)=ln(1?x)解
== xx dxxdxx 00 1 1])1[ ln (
上述展开式对 x=1也成立,这是因为上式右端的幂级数当
x=1时收敛,而 ln(1?x)在 x=1处有定义且连续,所以展开式成立的范围是 (?1<x?1).
== xx dxxdxx 00 1 1]1[ ln (
=
=?
=?=
0
1
0 0 1)1(])1([ n
nnx
n
nn nxdxx (? 1< x? 1),
=
=?
=?
0
1
0 0 1)1(])1([ n
nnx
n
nn nxdxx (? 1< x? 1),
=
=?
=?=
0
1
0 0 1)1(])1([ n
nnx
n
nn nxdxx 1< x? 1),?
提示,
11 1 2=? nxxxx (? 1< x < 1 ),?
提示
=
=
=?
===
0
1
0 00 00 1
)()(
n
nn
n
x n
n
x
n
nnx xn adxxadxxadxxs,?
.
下页上页 下页 铃结束返回首页例 7 将函数 f ( x ) = s i n x 展开成 )4(x 的幂级数,?
例 7
解 因为
)]4s i n ()4[ c o s (2 2)]4(4s i n [s i n== xxxx,?
并且提示,
)!2()1( !4!21c o s 242= nxxxx nn ( < x < ),?
提示
)!12()1( !5!3s i n 12153= nxxxx nn ( < x < ),?
)( )4(!51)4(!31)4()4s i n ( 53<<=? xxxxx,?
)( )4(!41)4(!211)4c o s ( 42<<=? xxxx,
下页上页 下页 铃结束返回首页
)]4s i n ()4[ c o s (2 2)]4(4s i n [s i n== xxxx,?
并且
)( )4(!51)4(!31)4()4s i n ( 53<<=? xxxxx,?
)( )4(!41)4(!211)4c o s ( 42<<=? xxxx,
所以
)( ] )4(!31)4(!21)4(1[2 2s i n 32<<= xxxxx,
下页例 7 将函数 f ( x ) = s i n x 展开成 )4(x 的幂级数,?
例 7
解 因为上页 下页 铃结束返回首页例 8 将函数 341)( 2= xxxf 展开成 ( x? 1) 的幂级数,?
例 8
提示,
解
)4 11(8
1
)2 11(4
1
)3(2
1
)1(2
1)(
== xxxxxf
)31( )1)(2 12 1()1(
0 322
<<=?
=
xx
n
n
nn
n,?
)4 11(8
1
)2 11(4
1
)3(2
1
)1(2
1)(
= xxxxxf
)3(2
1
)1(2
1
)3)(1(
1
34
1)(
2 xxxxxxxf===
,
)4 11(8
1
)2 11(4)3(
1
)1(2
1)(
== xxxxxf
提示
)2 11(2)1(21==? xxx,)4 11(4)1(43==? xxx,)2 11(2)1(21==? xxx,)4 11(4)1(43==? xxx,
=
=
=
0 0 4
)1()1(
8
1
2
)1()1(
4
1
n n n
nn
n
nn xx
=
=
=
0 0 4
)1()1(
8
1
2
)1()1(
4
1
n n n
nn
n
nn xx
提示
=
<?<=?
0
)12 11( 2 )1()1(
2
11
1
n
n
n
n xx
x
提示
=
<?<=?
0
)14 11( 4 )1()1(
4
11
1
n
n
n
n xx
x
)31( )1)(2 12 1()1(
0 322
<<=?
=
xx
n
n
nn
n,?
提示由 12 11 <?<? x 和 14 11 <?<? x 得 31 <<? x,?
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幂级数展开式小结
)11( 11 1 2 <<=? xxxxx n,
)( !1 !211 2<<= xxnxxe nx,
)( )!12()1( !5!3s i n 12153<<= xnxxxxx nn,?
)( )!2()1( !4!21c o s 242<<= xnxxxx nn,?
)11( 1)1( 432)1l n ( 1432?<= xnxxxxxx nn,?
!2 )1(1)1( 2=? xmmmxx m
)11( ! )1( )1( << xxn nmmm n,
结束
§ 11.4 函数展开成幂级数函数 f(x)是否能在某个区间内,展开成幂级数,,就是说,是否能找到这样一个幂级数,它在某区间内收敛,且其和恰好就是给定的函数 f(x),如果能找到这样的幂级数,则称函数 f(x)在该区间内能展开成幂级数,
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复习根据泰勒中值定理,如果函数 f(x)在 x0的某邻域内具有各阶导数,则在该邻域内等式右端的多项式当其项数趋于无穷时,将成为幂级数,
这个幂级数就称为 f(x)的泰勒级数,
)(!2 )())(()()( 200000= xxxfxxxfxfxf
)()(! )( 00)( xRxxn xf nnn,?
其 中 10)1( )()!1( )()(= nnn xxnfxR? (? 介于 x 与 0x 之间 ),
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泰勒级数如果函数 f(x)在点 x0的某邻域内具有各阶导数,则幂级数称为函数 f(x)的泰勒级数,
麦克劳林级数在泰勒级数中取 x0=0,得此级数称为 f(x)的麦克劳林级数,
)(!3 )()(!2 )())(()( 300200000 xxxfxxxfxxxfxf,
! )0( !2 )0()0()0( )(2 nn xnfxfxff,
下页上页 下页 铃结束返回首页一、泰勒级数显然,当 x=x0时,f(x)的泰勒级数收敛于 f(x0).
需回答的问题是,除了 x=x0外,f(x)的泰勒级数是否收敛?
如果收敛,它是否一定收敛于 f(x)?
! )0( !2 )0()0()0( )(2 nn xnfxfxff,
.
)(!3 )()(!2 )())(()( 300200000 xxxfxxxfxxxfxf,
.
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麦克劳林级数上页 下页 铃结束返回首页一、泰勒级数设函数 f(x)在点 x0的某一邻域 U(x0)内具有各阶导数,则 f(x)
在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是 f(x)的泰勒公式中的余项 Rn(x)当 n?0时的极限为零,即
定理
))(( 0)(lim 0xUxxR nn?=,?
>>>
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! )0( !2 )0()0()0( )(2 nn xnfxfxff,
.
)(!3 )()(!2 )())(()( 300200000 xxxfxxxfxxxfxf,
.
泰勒级数
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展开式的唯一性如果 f(x)能展开成 x的幂级数,那么这种展式是唯一的,它一定与 f(x)的麦克劳林级数一致,
这是因为,如果 f(x)在点 x0=0的某邻域 (?R,R)内能展开成 x
的幂级数,即
f(x)=a0?a1x?a2x2anxn,
,a0=f(0),a1=f?(0),.
!2
)0(
2
fa=,?
!
)0()(
n
fa n
n =,
提示,
f(x)=2!a2?3?2a3x?4?3a4x2?5?4a5x3,f(0)=2!a2.
f (n)(x)=n!an?(n?1)n(n?1)2an?1x,f (n)(0)=n!an.
那么有
f?(x)=a1?2a2x?3a3x2?4a4x3?5a5x4,f?(0)=a1.
下页上页 下页 铃结束返回首页如果 f(x)能展开成 x的幂级数,那么这个幂级数就是 f(x)的麦克劳林级数,
但是,如果 f(x)的麦克劳林级数在点 x0=0的某邻域内收敛,
它却不一定收敛于 f(x).
因此,如果 f(x)在点 x0=0处具有各阶导数,则 f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来,但这个级数是否在某个区间内收敛,以及是否收敛于 f(x)却需要进一步考察,
应注意的问题,
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展开式的唯一性如果 f(x)能展开成 x的幂级数,那么这种展式是唯一的,它一定与 f(x)的麦克劳林级数一致,
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函数展开成幂级数的步骤
第一步 求出 f (x)的各阶导数,f?(x),f(x),,f (n)(x),;
第二步 求函数及其各阶导数在 x=0处的值,
f(0),f?(0),f(0),,f (n)( 0),;
第三步 写出幂级数
第四步 考察在区间 (?R,R)内时是否 Rn(x)?0(n).
如果 Rn(x)?0(n),则 f(x)在 (?R,R)内有展开式
! )0( !2 )0()0()0()( )(2= nn xnfxfxffxf (? R < x < R ),
! )0( !2 )0()0()0( )(2 nn xnfxfxff,?
并求出收敛半径 R;
下页上页 下页 铃结束返回首页例 1 将函数 f(x)=ex展开成 x的幂级数,
解 显然 f (n)(x)=ex(n=1,2,),
于是得级数
f(n)(0)=1(n=1,2,).
!1 !211 2 nxnxx,?
它的收敛半径 R=.
对于任何有限的数 x,?(?介于 0与 x之间 ),有而 0)!1( ||lim 1 = nx nn,? 所以 0|)(|lim = xR nn,? 从而有展开式
!1 !211 2= nx xnxxe ( < x < ),?
而 0)!1( ||lim 1 = nx nn,? 所以 0|)(|lim = xR nn 从而有展开式 而 01( ||lim = nx nn,? 所以 0|)(|lim = xR nn,? 从而有展开式
)!1(
|| |
)!1(| |)(|
1||1
<?=
n
xex
n
exR nxn
n
,?
)!1(
|| |
)!1(| |)(|
1||1
<?=
n
xex
n
exR nxn
n
,?
)!1(
|| |
1(| |)(|
1||1
<?=
n
xex
n
exR nxn
n
,?
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解 因为 )2 s i n ()()(= nxxf n ( n = 1,2,),?
解所以 f (n)(0)顺序循环地取 0,1,0,?1, (n=0,1,2,3,),
于是得级数
)!12()1( !5!3 12153 nxxxx nn,
对于任何有限的数 x,?(?介于 0与 x之间 ),有它的收敛半径为 R=.
)!1(
|| |
)!1(
]2 )1(sin[
| |)(|
1
1
=
n
xx
n
n
xR
n
n
n
0 (n).? )!1( || |)!1(
]2 )1(s i n [
| |)|
1
1
=
n
xx
n
n
xR
n
n
n
0 ( n ),? )!1( || |)!1(
]2 )1(sin[
| |)(|
1
1
=
n
xx
n
n
xR
n
n
n
0 (n).? )!1( || |)!1(
]2 )1(s n [
| |)(|
1
=
n
xx
n
n
xR
n
n
n
0 ( n ).?
因此得展开式
s i n x = )!12()1( !5!3 12153 nxxxx nn ( < x < ),
下页上页 下页 铃结束返回首页例 3 将函数 f(x)=(1?x)m(m为任意常数 )展开成 x的幂级数,
所以 f(0)=1,f?(0)=m,f(0)=m(m?1),,
f (n)(0)=m(m?1)(m?2)(m?n?1),,
于是得幂级数解 f(x)的各阶导数为
f?(x)=m(1?x)m?1,f(x)=m(m?1)(1?x)m?2,,
f (n)(x)=m(m?1)(m?2)(m?n?1)(1?x)m?n,,
! )1( )1( !2 )1(1 2 nxn nmmmxmmmx,
可以证明
! )1( )1( !2 )1(1)1( 2=? nm xn nmmmxmmmxx
(?1<x<1).
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求幂级数展开式的间接展开法例 4 将函数 f(x)=cos x展开成 x的幂级数,
已知解
)!12()1( !5!3s i n 12153= nxxxxx nn ( < x < ),?
对上式两边求导得
)!2()1( !4!21c o s 242= nxxxx nn ( < x < ),?
注,逐项求导所得幂级数与原幂级数有相同的收敛半径,
下页上页 下页 铃结束返回首页例 5 将函数 21 1)( xxf?= 展开成 x 的幂级数,?
例 5
解 因为 11 1 2=? nxxxx (? 1< x < 1 ),?
解 已知把 x换成?x2,得
)1( 11 1 2422=? nn xxxx (? 1< x < 1 ),
提示,
)1( 11 1 2422=? nn xxxx (? 1< x< 1 ),
收敛半径的确定,由?1<?x2<1得?1<x<1.
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f(x)=ln(1?x)解
== xx dxxdxx 00 1 1])1[ ln (
上述展开式对 x=1也成立,这是因为上式右端的幂级数当
x=1时收敛,而 ln(1?x)在 x=1处有定义且连续,所以展开式成立的范围是 (?1<x?1).
== xx dxxdxx 00 1 1]1[ ln (
=
=?
=?=
0
1
0 0 1)1(])1([ n
nnx
n
nn nxdxx (? 1< x? 1),
=
=?
=?
0
1
0 0 1)1(])1([ n
nnx
n
nn nxdxx (? 1< x? 1),
=
=?
=?=
0
1
0 0 1)1(])1([ n
nnx
n
nn nxdxx 1< x? 1),?
提示,
11 1 2=? nxxxx (? 1< x < 1 ),?
提示
=
=
=?
===
0
1
0 00 00 1
)()(
n
nn
n
x n
n
x
n
nnx xn adxxadxxadxxs,?
.
下页上页 下页 铃结束返回首页例 7 将函数 f ( x ) = s i n x 展开成 )4(x 的幂级数,?
例 7
解 因为
)]4s i n ()4[ c o s (2 2)]4(4s i n [s i n== xxxx,?
并且提示,
)!2()1( !4!21c o s 242= nxxxx nn ( < x < ),?
提示
)!12()1( !5!3s i n 12153= nxxxx nn ( < x < ),?
)( )4(!51)4(!31)4()4s i n ( 53<<=? xxxxx,?
)( )4(!41)4(!211)4c o s ( 42<<=? xxxx,
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)]4s i n ()4[ c o s (2 2)]4(4s i n [s i n== xxxx,?
并且
)( )4(!51)4(!31)4()4s i n ( 53<<=? xxxxx,?
)( )4(!41)4(!211)4c o s ( 42<<=? xxxx,
所以
)( ] )4(!31)4(!21)4(1[2 2s i n 32<<= xxxxx,
下页例 7 将函数 f ( x ) = s i n x 展开成 )4(x 的幂级数,?
例 7
解 因为上页 下页 铃结束返回首页例 8 将函数 341)( 2= xxxf 展开成 ( x? 1) 的幂级数,?
例 8
提示,
解
)4 11(8
1
)2 11(4
1
)3(2
1
)1(2
1)(
== xxxxxf
)31( )1)(2 12 1()1(
0 322
<<=?
=
xx
n
n
nn
n,?
)4 11(8
1
)2 11(4
1
)3(2
1
)1(2
1)(
= xxxxxf
)3(2
1
)1(2
1
)3)(1(
1
34
1)(
2 xxxxxxxf===
,
)4 11(8
1
)2 11(4)3(
1
)1(2
1)(
== xxxxxf
提示
)2 11(2)1(21==? xxx,)4 11(4)1(43==? xxx,)2 11(2)1(21==? xxx,)4 11(4)1(43==? xxx,
=
=
=
0 0 4
)1()1(
8
1
2
)1()1(
4
1
n n n
nn
n
nn xx
=
=
=
0 0 4
)1()1(
8
1
2
)1()1(
4
1
n n n
nn
n
nn xx
提示
=
<?<=?
0
)12 11( 2 )1()1(
2
11
1
n
n
n
n xx
x
提示
=
<?<=?
0
)14 11( 4 )1()1(
4
11
1
n
n
n
n xx
x
)31( )1)(2 12 1()1(
0 322
<<=?
=
xx
n
n
nn
n,?
提示由 12 11 <?<? x 和 14 11 <?<? x 得 31 <<? x,?
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幂级数展开式小结
)11( 11 1 2 <<=? xxxxx n,
)( !1 !211 2<<= xxnxxe nx,
)( )!12()1( !5!3s i n 12153<<= xnxxxxx nn,?
)( )!2()1( !4!21c o s 242<<= xnxxxx nn,?
)11( 1)1( 432)1l n ( 1432?<= xnxxxxxx nn,?
!2 )1(1)1( 2=? xmmmxx m
)11( ! )1( )1( << xxn nmmm n,
结束
