返回上页 下页设函数 f(x)在点 x0的某一邻域 U(x0)内具有各阶导数,则 f(x)
在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是 f(x)的泰勒公式中的余项 Rn(x)当 n?0时的极限为零,即
))(( 0)(lim 0xUxxR nn
简要证明,
设 f(x)在 U(x0)内能展开为泰勒级数,即先证必要性?
)(!2 )())(()()( 200000 xxxfxxxfxfxf?
又设 sn?1(x)是 f(x)的泰勒级数的前 n?1项的和,则在 U(x0)内
sn?1(x)?f(x)(n)?
而 f(x)的 n阶泰勒公式可写成
f(x)?sn?1(x)?Rn(x),
于是 Rn(x)?f(x)?sn?1(x)?0(n)?
下页返回上页 下页设函数 f(x)在点 x0的某一邻域 U(x0)内具有各阶导数,则 f(x)
在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是 f(x)的泰勒公式中的余项 Rn(x)当 n?0时的极限为零,即
))(( 0)(lim 0xUxxR nn
简要证明,再证充分性?
设 Rn(x)?0(n)对一切 x?U(x0)成立?
因为 f(x)的 n阶泰勒公式可写成
f(x)?sn?1(x)?Rn(x),
于是
sn?1(x)?f(x)?Rn(x)?f(x),
即 f(x)的泰勒级数在 U(x0)内收敛,并且收敛于 f(x)?
返回