1
医用高等数学理学院版权所有
Chap1 函数、极限与连续函数、极限与连续
§1.1 函数
§1.2 极限
§1.3 无穷小量与无穷大量
§1.4 函数的连续性
§2.4 罗必塔法则
2
定义：
() ()
()
()
() ()
[()
]
x
x
uyfu
yfuu x
yx
yfuu xyf x
u
==
=
=
==
设有两个函数，且在函数的定义域或其一部分上取值时所对应的值，函数有定义，则得到是的函数
，称为由，复
，
称合而成的为中函数，间变量。
二、复合函数
§1.1 函数
2 2
sin sinyuuxyx===→，
2 2
sin sinyyuu x x→ ===，
例（1）
（2）
复合函数也可以由多个函数相继复合而成
2
2
log 1
log 1
a
a
v
x
yuuv x
y =
===?
→?
，，
例：
3
把一个复杂的复合函数分解为若干个简单的函数
sin
2n2 si
ux
uxy y == =是由，复合而成
2
2
3
3
llgcos g
o cs
y uu v
vw w
yx
x
= ==
==
是由，，
，复合而成例（1）
（2）
三、初等函数幂函数 指数函数 对数函数三角函数 反三角函数统称为基本初等函数
1.
2,初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合所构成的由一个解析式表示的函数，称为初等函数。
4
§1.2 极限极限是描述在自变量的某个变化过程中，
对应的函数值的变化趋势。
{}
{}
li
{}
m
n
n
n
n
n
n
A
nuA
uu
uA
u
A
A
→+∞
=
对于，如果存在某个确定的常数，
使得当无限增大时，无限接近于，则把
，也称数列
，记作：
数列常数称为数列的极限收敛于定义：
一、数列极限
5
例如：
3)
10
1
3(lim =+
+∞→
n
n
3)
1
3(lim =?
+∞→
n
n
3)
)1(
3(lim =
+
+∞→
n
n
n
33lim =
+∞→n
（常数数列的极限是其本身）
二、函数极限
() yfx x=对于函数,自变量 的变化趋势：
( )xxx →+∞→∞ →?∞，
0 00
( )xxxxx ≠→为常数，
（1）
（2）
6
定义：
()
()
()
xx
fx A
xfx A
→
→
∞
∞
如果当 无限增大时 记作,函数值 无限接近于某个当时，的极限确定的常数,则称，是 记作：
lim ( ) ( )
x
fx A fx A x
→∞
=→→∞或 （ ）
1.
()fxx →∞,函数当时 的极限例1：
（1）
1
lim ( )
2
x
x→+∞
lim 2
x
x
→?∞
0=
0=
（2）
7
例2：
（1）
lim arctan
x
x
→+∞
lim arctan
x
x
→?∞
lim arctan
x
x
→∞
2
π
=
2
π
=
不存在
（2）
（3）
定义：
00
00
()
()
fx x x
xx fx
A
x
x →
当 无论以何种方式无设函数 在点 的附近有定义（在点 可以无定义），如果
（记作 ），函数值 无限接近于某个确定的限接常数,
近于时记作：
0
0
lim () () ( )
xx
f xA f xAxx
→
=→→或
2.
0
() xx fx→当 （常数）时,函数 的极限
8
例1：
时的极限当,2
2
4
)(
2
→
= x
x
x
xf
2
2
4
lim
2
x
x
x
→
∴
2
lim( 2)
x
x
→
= +
4=解：
时的极限当，
2
1
2
1
10
2
1
12
)( →
=
≠+
= x
x
xx
xf
)(lim
2
1
xf
x→
1
2
lim(2 1)
x
x
→
= +
2=
1
()
2
f≠
例2：
解：
单侧极限：
000
0
(
()
)
xxxx
fx
x
A
xx
A
<
→
如果当,
函数 无从 的左侧 趋于 时称为当 时的左极限限趋近于常数,则
，记作：
（1）
0
lim ( )
xx
fx A
→
=
9
000
0
(
()
)
xxxx
fx
x
A
xx
A
>
→
如果当,
函数 无从 的右侧 趋于 时称为当 时的右极限限趋近于常数,则
，记作：
（2）
0
lim ( )
xx
fx A
+
→
=
0
lim ( )
xx
fx
→
存在的充要条件是：
该结论一般用于分段函数在分段点求极限
00
0
lim ( ) lim ( )
xx xx
xx
fx fx
+
→→
→
=
当时，左,右极限都存在且相等，
即：
10
0
() 0
10
xx
fx x
x
≤
=→
>
，当 时的极限
0
lim ( )
x
fx
+
→
0
lim ( )
x
fx
→
∵ x
x
→
=
0
lim
1lim
0
+
→
=
x
1=
0=
不存在)(lim
0
xf
x→
∴
例1：
左、右极限都存在但不相等解：
() 0 fx x x=→，当 时的极限
0
(
0
)
xx
xx
fx x
==
≤
>
0
lim ( )
x
fx
→
∵
0
lim ( )
x
fx
+
→
0
lim( )
x
x
→
=?
0
lim
x
x
+
→
=
0=
0=
0)(lim
0
=∴
→
xf
x
例2：
解：
11
三、极限的四则运算法则
0
lim ( ) l
() ()
(
)
)
m(
i
fx
fx gx x
xxx A
gx B
B
A
→→
=
∞
=
设函数 和 在自变量 的同一变化过程中 或,极限分别为,,
即,
lim[ ( ) ( )]fx gx A B? =?
lim[ ( ) ]( )kf Akx k= 为常数
()
lim ( 0)
()
fx
B
g Bx
A
= ≠
则（1）
定理：
（2）
（3）
lim[ ( ) ( )]fx gx AB± = ±
例1：
)523(lim
2
1
+
→
xx
x
5lim2lim3lim
11
2
1?→?→?→
+=
xxx
xx
5)1(2)1(3
2
+=
4?=
)1tan(lim
4
→
xx
x
π
1limtanlimlim
444
πππ
→→→
=
xxx
xx
11
4
=
π
1
4
=
π
例2：
12
例3：
1
2
1
lim
1
x
x
x
→
1
)1)(1(
lim
1
+?
=
→
x
xx
x
)1(lim
1
+=
→
x
x
2=
例4：
3
12
lim
3
x
x
x
→
+?
3
(12()
lim
(3)
12)
(12)
x
x
x
x
x
→
+
+
+
=
+
+?
)21)(3(
3
lim
3
++?
=
→
xx
x
x
21
1
lim
3
++
=
→
x
x
4
1
=
分子有理化
13
例5：
3
3
251
lim
35
x
xx
xx
→∞
+
+ +
2
3
=
（1）
（2）
3
4
251
lim
35
x
xx
xx
→∞
+
+ +
0=
3
2
251
lim
35
x
xx
xx
→∞
+
+ +
=∞
（3）
x →∞当时规律：
2.如果分子的次数低于分母的次数，分式的极限为0
1.如果分子和分母的最高次数相同，分式的极限就是分子、分母中最高次项之系数比
3.如果分子的次数高于分母的次数，分式的极限为∞，即不存在
14
四、两个重要极限
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
0
sin
lim
5
x
x
x
→
50
sin
lim 5
5
5
x
x
x
→
=?
515 =?=
例（1）
1.
0
sin
lim
5
x
x
x
→ 0
1sin
lim
5
x
x
x
→
=?
11
1
55
=?=
0
sin 2
lim
3
x
x
x
→ 20
2sin2
lim
32
x
x
x
→
=?
22
1
33
=?=
15
2
0
cos1
lim
x
x
x
→
2
2
0
2sin
lim
2
x
x
x
→
=
0
2
2
sin
1
lim (
2
)
2
2
x
x
x
→
=
2
1
1
2
1
2
=?=
（2）
2
1cos 2sin
2
x
x?=
2
1 cos 2cos
2
x
x+=
1
2
sin( )
lim
1
1
x
x
x
→
2
1
2
sin 1
1
()
lim ( 1)
x
x
x
x
→
+
=
2
1
1
2
2
0
1sin( )
lim lim( 1)
1
x
x
x
x
x
→
→
=?+221 =?=
x
x
x
1
sinlim
∞→
sin
lim
1
1
x
x
x
→∞
=
1
0
sin
lim
1
1
x
x
x
→
=
1=
（3）
（4）
16
2.
1
lim(1 )
x
x
x
e
→∞
+ =
1
0
lim(1 ) e
α
α
α
→
+ =或
1
x
x
底数中 与指数 是 倒数关系注：
()e是无理数例（1）
lim(1 )
2
x
x
x
→∞
+
2
2
lim[(1 )
2
]
x
x
x
→∞
=+
2
e=
lim(1
1
2
)
x
x
x
→∞
+
2
2
1
lim[(1 ) ]
1
2
x
x
x
→∞
=+
1
2
ee==
lim(1 )
2
x
x
x
→∞
2
2
lim[(1 ) ]
2
x
x
x
→∞
=+
2
e
=
lim(1
1
2
)
x
x
x
→∞
2
1
2
1
2
lim[(1 ) ]
x
x
x
→∞
=+
1
2
e
=
17
（2）
2
e=
1
0
2
lim[(1 ) ]
α
α
α
→
=+
2
1
2
0
lim[(1 ]2 )
x
x
x
→
=+
1
0
lim(1 )2
x
x
x
→
+
2xα =令
2?
= e
1
0
2
lim[(1 ) ]
α
α
α
→
=+
1
2
2
0
lim[(1 )2 ]
x
x
x
→
=
1
0
lim(1 )2
x
x
x
→
2xα =?令
§1.3 无穷小量与无穷大量一、无穷小量
cos
2
xx
π
→当 时,为无穷小量
2
0 x x→当 时,为无穷小量
2
1
x
x
→∞当 时,为无穷小量定义：极限为零的变量称为无穷小量
1.无穷小量的定义例如：
18
2.无穷小量的性质
（1）有限个无穷小量的和、差、积以及常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量
（2）有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量
x
x
x
sin
lim
∞→
0=
x
x
x
1
sinlim
0→
0=
sin 1 sinxx≤? 为 有界变量
1
x
x
→∞当时，为 无穷小量
11
sin 1 sin
xx
≤? 为 有界变量
0xx→当时，为 无穷小量例如（1）
（2）
19
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
0
1
lim sin 0
x
x
x
→
=
sin
lim 0
x
x
x
→∞
=
1
lim sin 1
x
x
x
→∞
=
3.无穷小量的阶
αβ设,都是在同一自变量变化过程中的无穷小量，在此过程中，如果：
lim 0
(
)
αβ
α
αβ
β
=
=
null
高阶，则称 为比 的无穷小量，记作定义：
（2）im ~l1 α β
α
αβ
β
=,则称 与 为 无穷小量,记作等价
（1）
20
2
2
1
11
0
1
0
x
x
xx
x
x
→→∞→∞
→
当时,、
则,都是当 时的无穷大量二、无穷大量定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大量
1.无穷大量的定义例如：
2.无穷大量与无穷小量的关系
（互为倒数关系）
0
0
0
0
00
lim 0 ( )
()
0 ( ) ()0
()
x
yyfxx
yfx x
xyfxxfx
xyfx
Δ→
=
Δ→ Δ= →
=
Δ?
=
=
+
Δ
设函数 在点 及其附近有定义，
当时，,
即，则称
,也称点 是函数函的数在点连续 连续点。
定义：
§1.4 函数的连续性一、函数连续性的概念
21
0
0
0
0
()
lim () ( ) ()
xx
fx fx y f
yfx x
x
x
→
=
=
=
设函数 在点 及其附近函数在点有定义，
如果,则称连续。
等价定义：
二、函数的间断点
00
() ()fx x x fx如果函数 在点 不连续,则称点 是 的间断点。
0
()xfx如果出现下列三种情形之一,点就是函数的间断点：
没有定义在点 )(
0
xxf
不存在极限 )(lim
0
xf
xx→
)()(lim
)(lim )(
0
0
0
0
xfxf
xfxxf
xx
xx
≠
→
→
但存在，且有定义，在点
（1）
（2）
（3）
22
例如：
x
xf
1
)( = 0 x = 是间断点点的连续性在 0
01
0
)(
2
=
<?
≥
= x
xx
xx
xf
1)1(lim)(lim
2
00
=?=
→→
xxf
xx
∵
0lim)(lim
00
==
++
→→
xxf
xx
不存在即 )(lim
0
xf
x→
0 ( ) xfx=∴ 是 的间断点
（1）
（2）
（3）的连续性在点
2
1
2
1
1000
2
1
12
)( =
=
≠+
= x
x
xx
xf
2)12(lim)(lim
2
1
2
1
=+=
→→
xxf
xx
∵ )
2
1
(f≠
1
()
2
xfx∴ = 是的间断点
23
三、连续函数的性质
0
0
()
() (
() ()
(())()()
(
)
0)
fx
fx gx fx gx
fx gx x
gx
gx
x
±? ≠
如果函数,都在点 连续，则
，，
在点 也连续
00
00
0
()
() ()
[
()]
ux x u
xyf
yf
uu
xx
=
= =
=
复合函如果函数 在点 连续,且
,又函数 在点 连续，
在点数则连续
1.
2.
0
0
0
lim ( )
()
()
xx
fx
xfx
fx
→
=
如果 是初等函数 定义域内的一点,则
x
x
x
cos
)1ln(
lim
2
0
+
→
(0)f= 0=
3.
例：
24
4.
0
00
lim [ ( )] [ lim ( )]
lim ( ) ( )
x
x
xx
x
x
xu yfu
fx
u
xf?
→
→→
=
=
=如果,而函数 在点连续，则
（求复合函数极限的一般法则）
0
ln(1 )
lim1
x
x
x
→
+
（）
x
x
x
1
0
)1ln(lim +=
→
])1(limln[
1
0
x
x
x+=
→
1ln == e
0
sin
lim2 2
x
x
x
→
（）
x
x
x
sin
lim2
0→
= 112 =?=
例：
罗必塔法则
0
()
()
lim
()
xx
x
f x
g x
→
→∞
极限
∞→→ 或同时同时与如果 0 )( )( xgxf
0
0
∞
∞
型和 型 不定式极限1.
25
0
0
∞
∞
0?∞
∞?∞
1
∞ 0
0
0
∞
其中，0 表示无穷小量； ∞ 表示无穷大量；
1,1 表示以 为极限的变量不定式极限定理（1）：
)
0
0
( 型 不定式
0
00
00
0
1 lim ( ) lim ( ) 0
(2)() () () 0
()
3 lim ( )
()
() ()
lim lim
() ()
xx xx
xx
xx xx
fx f x
A
gx
fx gx
fx gx x gx
fx
AA
x
x
g
g
→→
→
→→
==
′
≠
′
=±∞
′
′
==
′
如果：
（）
与 在点 的附近可导,且
（ ） 可为实数,也可为 或则
0
xx x→→∞如果将定理中 换成,结论仍然成立
26
定理（2）：
) (
∞
∞
型 不定式
0
00
00
0
1 lim ( ) lim ( )
(2)() () () 0
()
3 lim (
(
)
(
)()
lim lim
() (
)
)
xx xx
x
xx xx
x
fx gx
fx gx x gx
fx
AA
fx f x
A
gx g x
gx
→→
→→
→
==∞
′
′
==
′
≠
′
=±∞
′
如果：
（）
与 在点 的附近可导,且
（ ） 可为实数,也可为 或则
0
xx x→→∞如果将定理中 换成,结论仍然成立
0
()
0
0
()
lim
()
xx
x
fx
gx
→
→∞
′
′
∞
∞
如果 仍然是 型或 型不定式极限
) ) ( (fx gx
′′
那么只要 与 满足定理中的条件就可以对这个极限式再应用一次罗必塔法则
00 0
() () ()
() () ()
(
lim lim li
)
m
() ()
xx xx xx
x
f x f x f x
g x g x g x
→→ →
→∞ →∞ →∞
′ ′′
′′
=
′
=即
27
例：求下列各极限
2
16
lim
4
2
→
x
x
x
1
4
lim
3
2
x
x→
= 32=
0
0
（1）
0
cos
lim
x
x
ex
x
→
0
sin
lim
1
x
x
ex
→
+
=
1=
0
0
（2）
0
sin2
lim
sin5
x
x
x
→
0
2cos2
lim
5cos5
x
x
x
→
=
2
5
=
0
0
（3）
0
sin2
lim
sin5
x
x
x
→ 0
sin 2
2
2
lim
sin5
5
5
x
x
x
x
x
→
=?
22
1
55
=?=
28
3
0
sin
lim
x
xx
x
→
2
0
3
cos1
lim
x
x
x
=
→
0
0 x
x
x
6
sin
lim
0→
=
0
0
6
cos
lim
0
x
x→
=
6
1
=
)0(
ln
lim >
+∞→
n
x
x
n
x
∞
∞
1
1
lim
+∞→
=
n
x
nx
x
n
x
nx
1
lim
+∞→
= 0=
0
0
（4）
（5）
例如：
xx
xx
x
sin
sin
lim
+
+∞→
x
x
x
cos1
cos1
lim
+
=
+∞→
x
x
x
sin
sin
lim
=
+∞→
1)1(lim?=?=
+∞→x
该推算结果错误正确解法：
xx
xx
x
sin
sin
lim
+
+∞→
x
x
x
x
x
sin
1
sin
1
lim
+
=
+∞→
1
01
01
=
+
=
小心
！
29
2.其它类型不定式极限
00
0 1 0
0
0
∞
∞ ∞?∞ ∞
∞
∞
不定式还有,,,,等类型，
但它们 简单经过 都可化成 型或 型，
然后再求变换它的极限。
0
0
∞
∞
0 ∞?
∞?∞
1
∞
0
0
0
∞
倒数法取对数法
30
xx
x
lnlim
0+→
0?∞
x
x
x
1
ln
lim
0+→
=
∞
∞
2
0
1
1
lim
x
x
x
=
+→
)(lim
0
x
x
=
+→
0=
例：求下列各式极限
（1）
用另一种形式颠倒行不行?
行,但繁些.
存在一个选择问题.
（2）)arctan
2
(lim xx
x
+∞→
π
0∞?
x
x
x
1
arctan
2
lim
=
+∞→
π
0
0
2
2
1
1
1
lim
x
x
x
+
=
+∞→
2
2
1
lim
x
x
x
+
=
+∞→
∞
∞
x
x
x
2
2
lim
+∞→
= 1=
31
（3）
)tan(seclim
2
xx
x
→
π
∞?∞
)
cos
sin
cos
1
(lim
2
x
x
x
x
=
→
π
x
x
x
cos
sin1
lim
2
=
→
π
0
0
x
x
x
sin
cos
lim
2
=
→
π
x
x
cotlim
2
π
→
=
0=
（4）
0
lim
x
x
x
→+
0
0
ln
0
lim
xx
x
e
→+
=
0
lim ln
x
xx
e
→+
=
0
e=
0?∞
1=
32
xx
xx
x
ee
ee
+∞→
+
lim
∞
∞
xx
xx
x
ee
ee
+∞→
+
= lim
∞
∞
lim
xx
xx
x
ee
ee
→+∞
+
= =
null
罗必塔法则 失效
2
2
1
1
lim
x
x
x
e
e
→+
∞
+
∴ =原式
1
01
01
=
+
=
例：
医用高等数学理学院版权所有
Chap1 函数、极限与连续函数、极限与连续
§1.1 函数
§1.2 极限
§1.3 无穷小量与无穷大量
§1.4 函数的连续性
§2.4 罗必塔法则
2
定义：
() ()
()
()
() ()
[()
]
x
x
uyfu
yfuu x
yx
yfuu xyf x
u
==
=
=
==
设有两个函数，且在函数的定义域或其一部分上取值时所对应的值，函数有定义，则得到是的函数
，称为由，复
，
称合而成的为中函数，间变量。
二、复合函数
§1.1 函数
2 2
sin sinyuuxyx===→，
2 2
sin sinyyuu x x→ ===，
例（1）
（2）
复合函数也可以由多个函数相继复合而成
2
2
log 1
log 1
a
a
v
x
yuuv x
y =
===?
→?
，，
例：
3
把一个复杂的复合函数分解为若干个简单的函数
sin
2n2 si
ux
uxy y == =是由，复合而成
2
2
3
3
llgcos g
o cs
y uu v
vw w
yx
x
= ==
==
是由，，
，复合而成例（1）
（2）
三、初等函数幂函数 指数函数 对数函数三角函数 反三角函数统称为基本初等函数
1.
2,初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合所构成的由一个解析式表示的函数，称为初等函数。
4
§1.2 极限极限是描述在自变量的某个变化过程中，
对应的函数值的变化趋势。
{}
{}
li
{}
m
n
n
n
n
n
n
A
nuA
uu
uA
u
A
A
→+∞
=
对于，如果存在某个确定的常数，
使得当无限增大时，无限接近于，则把
，也称数列
，记作：
数列常数称为数列的极限收敛于定义：
一、数列极限
5
例如：
3)
10
1
3(lim =+
+∞→
n
n
3)
1
3(lim =?
+∞→
n
n
3)
)1(
3(lim =
+
+∞→
n
n
n
33lim =
+∞→n
（常数数列的极限是其本身）
二、函数极限
() yfx x=对于函数,自变量 的变化趋势：
( )xxx →+∞→∞ →?∞，
0 00
( )xxxxx ≠→为常数，
（1）
（2）
6
定义：
()
()
()
xx
fx A
xfx A
→
→
∞
∞
如果当 无限增大时 记作,函数值 无限接近于某个当时，的极限确定的常数,则称，是 记作：
lim ( ) ( )
x
fx A fx A x
→∞
=→→∞或 （ ）
1.
()fxx →∞,函数当时 的极限例1：
（1）
1
lim ( )
2
x
x→+∞
lim 2
x
x
→?∞
0=
0=
（2）
7
例2：
（1）
lim arctan
x
x
→+∞
lim arctan
x
x
→?∞
lim arctan
x
x
→∞
2
π
=
2
π
=
不存在
（2）
（3）
定义：
00
00
()
()
fx x x
xx fx
A
x
x →
当 无论以何种方式无设函数 在点 的附近有定义（在点 可以无定义），如果
（记作 ），函数值 无限接近于某个确定的限接常数,
近于时记作：
0
0
lim () () ( )
xx
f xA f xAxx
→
=→→或
2.
0
() xx fx→当 （常数）时,函数 的极限
8
例1：
时的极限当,2
2
4
)(
2
→
= x
x
x
xf
2
2
4
lim
2
x
x
x
→
∴
2
lim( 2)
x
x
→
= +
4=解：
时的极限当，
2
1
2
1
10
2
1
12
)( →
=
≠+
= x
x
xx
xf
)(lim
2
1
xf
x→
1
2
lim(2 1)
x
x
→
= +
2=
1
()
2
f≠
例2：
解：
单侧极限：
000
0
(
()
)
xxxx
fx
x
A
xx
A
<
→
如果当,
函数 无从 的左侧 趋于 时称为当 时的左极限限趋近于常数,则
，记作：
（1）
0
lim ( )
xx
fx A
→
=
9
000
0
(
()
)
xxxx
fx
x
A
xx
A
>
→
如果当,
函数 无从 的右侧 趋于 时称为当 时的右极限限趋近于常数,则
，记作：
（2）
0
lim ( )
xx
fx A
+
→
=
0
lim ( )
xx
fx
→
存在的充要条件是：
该结论一般用于分段函数在分段点求极限
00
0
lim ( ) lim ( )
xx xx
xx
fx fx
+
→→
→
=
当时，左,右极限都存在且相等，
即：
10
0
() 0
10
xx
fx x
x
≤
=→
>
，当 时的极限
0
lim ( )
x
fx
+
→
0
lim ( )
x
fx
→
∵ x
x
→
=
0
lim
1lim
0
+
→
=
x
1=
0=
不存在)(lim
0
xf
x→
∴
例1：
左、右极限都存在但不相等解：
() 0 fx x x=→，当 时的极限
0
(
0
)
xx
xx
fx x
==
≤
>
0
lim ( )
x
fx
→
∵
0
lim ( )
x
fx
+
→
0
lim( )
x
x
→
=?
0
lim
x
x
+
→
=
0=
0=
0)(lim
0
=∴
→
xf
x
例2：
解：
11
三、极限的四则运算法则
0
lim ( ) l
() ()
(
)
)
m(
i
fx
fx gx x
xxx A
gx B
B
A
→→
=
∞
=
设函数 和 在自变量 的同一变化过程中 或,极限分别为,,
即,
lim[ ( ) ( )]fx gx A B? =?
lim[ ( ) ]( )kf Akx k= 为常数
()
lim ( 0)
()
fx
B
g Bx
A
= ≠
则（1）
定理：
（2）
（3）
lim[ ( ) ( )]fx gx AB± = ±
例1：
)523(lim
2
1
+
→
xx
x
5lim2lim3lim
11
2
1?→?→?→
+=
xxx
xx
5)1(2)1(3
2
+=
4?=
)1tan(lim
4
→
xx
x
π
1limtanlimlim
444
πππ
→→→
=
xxx
xx
11
4
=
π
1
4
=
π
例2：
12
例3：
1
2
1
lim
1
x
x
x
→
1
)1)(1(
lim
1
+?
=
→
x
xx
x
)1(lim
1
+=
→
x
x
2=
例4：
3
12
lim
3
x
x
x
→
+?
3
(12()
lim
(3)
12)
(12)
x
x
x
x
x
→
+
+
+
=
+
+?
)21)(3(
3
lim
3
++?
=
→
xx
x
x
21
1
lim
3
++
=
→
x
x
4
1
=
分子有理化
13
例5：
3
3
251
lim
35
x
xx
xx
→∞
+
+ +
2
3
=
（1）
（2）
3
4
251
lim
35
x
xx
xx
→∞
+
+ +
0=
3
2
251
lim
35
x
xx
xx
→∞
+
+ +
=∞
（3）
x →∞当时规律：
2.如果分子的次数低于分母的次数，分式的极限为0
1.如果分子和分母的最高次数相同，分式的极限就是分子、分母中最高次项之系数比
3.如果分子的次数高于分母的次数，分式的极限为∞，即不存在
14
四、两个重要极限
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
0
sin
lim
5
x
x
x
→
50
sin
lim 5
5
5
x
x
x
→
=?
515 =?=
例（1）
1.
0
sin
lim
5
x
x
x
→ 0
1sin
lim
5
x
x
x
→
=?
11
1
55
=?=
0
sin 2
lim
3
x
x
x
→ 20
2sin2
lim
32
x
x
x
→
=?
22
1
33
=?=
15
2
0
cos1
lim
x
x
x
→
2
2
0
2sin
lim
2
x
x
x
→
=
0
2
2
sin
1
lim (
2
)
2
2
x
x
x
→
=
2
1
1
2
1
2
=?=
（2）
2
1cos 2sin
2
x
x?=
2
1 cos 2cos
2
x
x+=
1
2
sin( )
lim
1
1
x
x
x
→
2
1
2
sin 1
1
()
lim ( 1)
x
x
x
x
→
+
=
2
1
1
2
2
0
1sin( )
lim lim( 1)
1
x
x
x
x
x
→
→
=?+221 =?=
x
x
x
1
sinlim
∞→
sin
lim
1
1
x
x
x
→∞
=
1
0
sin
lim
1
1
x
x
x
→
=
1=
（3）
（4）
16
2.
1
lim(1 )
x
x
x
e
→∞
+ =
1
0
lim(1 ) e
α
α
α
→
+ =或
1
x
x
底数中 与指数 是 倒数关系注：
()e是无理数例（1）
lim(1 )
2
x
x
x
→∞
+
2
2
lim[(1 )
2
]
x
x
x
→∞
=+
2
e=
lim(1
1
2
)
x
x
x
→∞
+
2
2
1
lim[(1 ) ]
1
2
x
x
x
→∞
=+
1
2
ee==
lim(1 )
2
x
x
x
→∞
2
2
lim[(1 ) ]
2
x
x
x
→∞
=+
2
e
=
lim(1
1
2
)
x
x
x
→∞
2
1
2
1
2
lim[(1 ) ]
x
x
x
→∞
=+
1
2
e
=
17
（2）
2
e=
1
0
2
lim[(1 ) ]
α
α
α
→
=+
2
1
2
0
lim[(1 ]2 )
x
x
x
→
=+
1
0
lim(1 )2
x
x
x
→
+
2xα =令
2?
= e
1
0
2
lim[(1 ) ]
α
α
α
→
=+
1
2
2
0
lim[(1 )2 ]
x
x
x
→
=
1
0
lim(1 )2
x
x
x
→
2xα =?令
§1.3 无穷小量与无穷大量一、无穷小量
cos
2
xx
π
→当 时,为无穷小量
2
0 x x→当 时,为无穷小量
2
1
x
x
→∞当 时,为无穷小量定义：极限为零的变量称为无穷小量
1.无穷小量的定义例如：
18
2.无穷小量的性质
（1）有限个无穷小量的和、差、积以及常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量
（2）有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量
x
x
x
sin
lim
∞→
0=
x
x
x
1
sinlim
0→
0=
sin 1 sinxx≤? 为 有界变量
1
x
x
→∞当时，为 无穷小量
11
sin 1 sin
xx
≤? 为 有界变量
0xx→当时，为 无穷小量例如（1）
（2）
19
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
0
1
lim sin 0
x
x
x
→
=
sin
lim 0
x
x
x
→∞
=
1
lim sin 1
x
x
x
→∞
=
3.无穷小量的阶
αβ设,都是在同一自变量变化过程中的无穷小量，在此过程中，如果：
lim 0
(
)
αβ
α
αβ
β
=
=
null
高阶，则称 为比 的无穷小量，记作定义：
（2）im ~l1 α β
α
αβ
β
=,则称 与 为 无穷小量,记作等价
（1）
20
2
2
1
11
0
1
0
x
x
xx
x
x
→→∞→∞
→
当时,、
则,都是当 时的无穷大量二、无穷大量定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大量
1.无穷大量的定义例如：
2.无穷大量与无穷小量的关系
（互为倒数关系）
0
0
0
0
00
lim 0 ( )
()
0 ( ) ()0
()
x
yyfxx
yfx x
xyfxxfx
xyfx
Δ→
=
Δ→ Δ= →
=
Δ?
=
=
+
Δ
设函数 在点 及其附近有定义，
当时，,
即，则称
,也称点 是函数函的数在点连续 连续点。
定义：
§1.4 函数的连续性一、函数连续性的概念
21
0
0
0
0
()
lim () ( ) ()
xx
fx fx y f
yfx x
x
x
→
=
=
=
设函数 在点 及其附近函数在点有定义，
如果,则称连续。
等价定义：
二、函数的间断点
00
() ()fx x x fx如果函数 在点 不连续,则称点 是 的间断点。
0
()xfx如果出现下列三种情形之一,点就是函数的间断点：
没有定义在点 )(
0
xxf
不存在极限 )(lim
0
xf
xx→
)()(lim
)(lim )(
0
0
0
0
xfxf
xfxxf
xx
xx
≠
→
→
但存在，且有定义，在点
（1）
（2）
（3）
22
例如：
x
xf
1
)( = 0 x = 是间断点点的连续性在 0
01
0
)(
2
=
<?
≥
= x
xx
xx
xf
1)1(lim)(lim
2
00
=?=
→→
xxf
xx
∵
0lim)(lim
00
==
++
→→
xxf
xx
不存在即 )(lim
0
xf
x→
0 ( ) xfx=∴ 是 的间断点
（1）
（2）
（3）的连续性在点
2
1
2
1
1000
2
1
12
)( =
=
≠+
= x
x
xx
xf
2)12(lim)(lim
2
1
2
1
=+=
→→
xxf
xx
∵ )
2
1
(f≠
1
()
2
xfx∴ = 是的间断点
23
三、连续函数的性质
0
0
()
() (
() ()
(())()()
(
)
0)
fx
fx gx fx gx
fx gx x
gx
gx
x
±? ≠
如果函数,都在点 连续，则
，，
在点 也连续
00
00
0
()
() ()
[
()]
ux x u
xyf
yf
uu
xx
=
= =
=
复合函如果函数 在点 连续,且
,又函数 在点 连续，
在点数则连续
1.
2.
0
0
0
lim ( )
()
()
xx
fx
xfx
fx
→
=
如果 是初等函数 定义域内的一点,则
x
x
x
cos
)1ln(
lim
2
0
+
→
(0)f= 0=
3.
例：
24
4.
0
00
lim [ ( )] [ lim ( )]
lim ( ) ( )
x
x
xx
x
x
xu yfu
fx
u
xf?
→
→→
=
=
=如果,而函数 在点连续，则
（求复合函数极限的一般法则）
0
ln(1 )
lim1
x
x
x
→
+
（）
x
x
x
1
0
)1ln(lim +=
→
])1(limln[
1
0
x
x
x+=
→
1ln == e
0
sin
lim2 2
x
x
x
→
（）
x
x
x
sin
lim2
0→
= 112 =?=
例：
罗必塔法则
0
()
()
lim
()
xx
x
f x
g x
→
→∞
极限
∞→→ 或同时同时与如果 0 )( )( xgxf
0
0
∞
∞
型和 型 不定式极限1.
25
0
0
∞
∞
0?∞
∞?∞
1
∞ 0
0
0
∞
其中，0 表示无穷小量； ∞ 表示无穷大量；
1,1 表示以 为极限的变量不定式极限定理（1）：
)
0
0
( 型 不定式
0
00
00
0
1 lim ( ) lim ( ) 0
(2)() () () 0
()
3 lim ( )
()
() ()
lim lim
() ()
xx xx
xx
xx xx
fx f x
A
gx
fx gx
fx gx x gx
fx
AA
x
x
g
g
→→
→
→→
==
′
≠
′
=±∞
′
′
==
′
如果：
（）
与 在点 的附近可导,且
（ ） 可为实数,也可为 或则
0
xx x→→∞如果将定理中 换成,结论仍然成立
26
定理（2）：
) (
∞
∞
型 不定式
0
00
00
0
1 lim ( ) lim ( )
(2)() () () 0
()
3 lim (
(
)
(
)()
lim lim
() (
)
)
xx xx
x
xx xx
x
fx gx
fx gx x gx
fx
AA
fx f x
A
gx g x
gx
→→
→→
→
==∞
′
′
==
′
≠
′
=±∞
′
如果：
（）
与 在点 的附近可导,且
（ ） 可为实数,也可为 或则
0
xx x→→∞如果将定理中 换成,结论仍然成立
0
()
0
0
()
lim
()
xx
x
fx
gx
→
→∞
′
′
∞
∞
如果 仍然是 型或 型不定式极限
) ) ( (fx gx
′′
那么只要 与 满足定理中的条件就可以对这个极限式再应用一次罗必塔法则
00 0
() () ()
() () ()
(
lim lim li
)
m
() ()
xx xx xx
x
f x f x f x
g x g x g x
→→ →
→∞ →∞ →∞
′ ′′
′′
=
′
=即
27
例：求下列各极限
2
16
lim
4
2
→
x
x
x
1
4
lim
3
2
x
x→
= 32=
0
0
（1）
0
cos
lim
x
x
ex
x
→
0
sin
lim
1
x
x
ex
→
+
=
1=
0
0
（2）
0
sin2
lim
sin5
x
x
x
→
0
2cos2
lim
5cos5
x
x
x
→
=
2
5
=
0
0
（3）
0
sin2
lim
sin5
x
x
x
→ 0
sin 2
2
2
lim
sin5
5
5
x
x
x
x
x
→
=?
22
1
55
=?=
28
3
0
sin
lim
x
xx
x
→
2
0
3
cos1
lim
x
x
x
=
→
0
0 x
x
x
6
sin
lim
0→
=
0
0
6
cos
lim
0
x
x→
=
6
1
=
)0(
ln
lim >
+∞→
n
x
x
n
x
∞
∞
1
1
lim
+∞→
=
n
x
nx
x
n
x
nx
1
lim
+∞→
= 0=
0
0
（4）
（5）
例如：
xx
xx
x
sin
sin
lim
+
+∞→
x
x
x
cos1
cos1
lim
+
=
+∞→
x
x
x
sin
sin
lim
=
+∞→
1)1(lim?=?=
+∞→x
该推算结果错误正确解法：
xx
xx
x
sin
sin
lim
+
+∞→
x
x
x
x
x
sin
1
sin
1
lim
+
=
+∞→
1
01
01
=
+
=
小心
！
29
2.其它类型不定式极限
00
0 1 0
0
0
∞
∞ ∞?∞ ∞
∞
∞
不定式还有,,,,等类型，
但它们 简单经过 都可化成 型或 型，
然后再求变换它的极限。
0
0
∞
∞
0 ∞?
∞?∞
1
∞
0
0
0
∞
倒数法取对数法
30
xx
x
lnlim
0+→
0?∞
x
x
x
1
ln
lim
0+→
=
∞
∞
2
0
1
1
lim
x
x
x
=
+→
)(lim
0
x
x
=
+→
0=
例：求下列各式极限
（1）
用另一种形式颠倒行不行?
行,但繁些.
存在一个选择问题.
（2）)arctan
2
(lim xx
x
+∞→
π
0∞?
x
x
x
1
arctan
2
lim
=
+∞→
π
0
0
2
2
1
1
1
lim
x
x
x
+
=
+∞→
2
2
1
lim
x
x
x
+
=
+∞→
∞
∞
x
x
x
2
2
lim
+∞→
= 1=
31
（3）
)tan(seclim
2
xx
x
→
π
∞?∞
)
cos
sin
cos
1
(lim
2
x
x
x
x
=
→
π
x
x
x
cos
sin1
lim
2
=
→
π
0
0
x
x
x
sin
cos
lim
2
=
→
π
x
x
cotlim
2
π
→
=
0=
（4）
0
lim
x
x
x
→+
0
0
ln
0
lim
xx
x
e
→+
=
0
lim ln
x
xx
e
→+
=
0
e=
0?∞
1=
32
xx
xx
x
ee
ee
+∞→
+
lim
∞
∞
xx
xx
x
ee
ee
+∞→
+
= lim
∞
∞
lim
xx
xx
x
ee
ee
→+∞
+
= =
null
罗必塔法则 失效
2
2
1
1
lim
x
x
x
e
e
→+
∞
+
∴ =原式
1
01
01
=
+
=
例：
