1
Chap8
线性代数初步
§8.1 行列式
§8.2 矩阵
§8.3 逆矩阵
§8.4 矩阵的初等变换
§8.5 线性方程组
§8.1 行列式一、行列式的概念
11 12 1
21 22 2
12
n
n
nn n
aa a
aa a
D
aa a
=
null
null
nullnull null
null
的元素）称为，，，，（其中
），，，，（简记为
Dnjia
njiaD
ij
ij
null
null
2 1
2 1
=
==
注：行列式是一个数值
2
二、行列式的性质性质1：行列式中行列互换，行列式不变，
性质2：行列式中某一行（列）的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行（列）
就相当于用这个数乘此行列式如果行列式中一行（列）为零，那么行列式为零性质3：如果行列式某一行（列）是两组数的和，
那么这个行列式就等于两个行列式的和，
性质4：如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零性质5：如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零性质6：把一行（列）的倍数加到另一行（列），
行列式不变性质7：对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号
3
三、行列式的计算
11 1 1
1
1
2
(1) 1
(1)
(1)
jn
iijin
nnj
ij
ij
ij ij ij
ij
ij
n
ij j ij
n
i
a
aaa
aaa
aaa
i
jn n
aMM
aAAM
+
+
=?
nullnull
nullnullnull
nullnull
nullnullnull
nullnull
在行列式中划去元素所在的第行与第列，剩下的个元素按原来的排法构成一个阶的行列式，称为元素的余子式，记为，而称为的代数余子式，记为，即定义：
例如：
7284
3136
3140
4225
D
=
的余子式元素
32
a
32
M
784
336
425
=
代数余子式
32
A
784
336
425
=
32
23
)1( M
+
=
4
定理1：
的和对应的代数余子式乘积元素与其等于任一行（列）的各阶行列式Dn
为零代数余子式乘积之和一行（列）相应元素的列）的各元素与另阶行列式中，某一行（ n
定理2：
§8.2 矩阵一、矩阵的概念注：矩阵与行列式从表面上看很相似，但实质上它们是两个不同的概念，行列式最终表示一个数值，而矩阵不是一个数，是由一组数据按一定顺序排成的矩形表。
5
二、矩阵的运算
1.矩阵的相等
2.矩阵的加法
3.矩阵的数乘例1：
解：
34 78
43
56 21
AB AB
==?
已知，，求
BA 34?
×?
×=
12
87
3
65
43
4
=
36
2421
2420
1612
=
2114
89
6
例2：
解：
10 12 7520
11 30 5124
05 14 3215
2
AB
AX B X
=? =
+=
已知，，
且，求矩阵
ABXBXA?==+ 22，得由
×=
4150
0311
2101
5123
4215
0257
2 X则
=
4150
0311
2101
10246
84210
041014
=
6316
81111
251013
4.矩阵的乘法
11 2
1
2
() ()
()
ml lnik kj
ij mn
i
l
ij jij illj ik kj
k
Aa Bb
Cc AB
ab a
CAB
cabbab
××
×
=
+
==
==++
∑
null
设矩阵，，则矩阵称为与的乘积，记作，
其中定义：
7
例：
03 4
10 12
12 1
11 30
31 1
05 14
12 1
AB
=? =
设，
AB 则
=
121
113
121
430
4150
0311
2101
=
10172
6210
765
5.矩阵的转置例如：
矩阵矩阵的转置是显然，mnnm ××
13
21
01
A
′
=?
则
AA矩阵的转置运算即为将的行列互换得到的新矩阵
120
311
A
=
8
AA =′′)(
BABA ′+′=′+ )(
AA ′=′ λλ )(
λ（为实常数）
ABAB ′′=′)(
矩阵的转置满足下列运算规律：
②
③
④
①
6.方阵的行列式定义：
nA
AA
保持阶方阵的元素的相对位置不变，所构成方阵的行列的行列式，式称为记作
ABn λ（设、为阶方阵，为实常数）
1=E AA =′
AA
n
λλ = BAAB =
方阵的行列式满足下列运算规律：
②
③④
①
9
例：
解：
13 25
22 34
AB AB
==
设，，求
=
43
52
22
31
AB∵
=
22
1711
22
1711
=∴ AB 563422 =+=
BAAB =
43
52
22
31
= 56)7()8( ==
法①
法②
§8.3 逆矩阵一、逆矩阵的概念
11
AB BA E
nA B
AAA
nB E
n
B
==
=
则称阶方阵可逆，且称为的逆矩阵，记为如果有阶方阵，使得，这里是阶单位
，即矩阵，
0
0 A
A A
A
≠
=
非奇异矩阵非退化矩阵正则矩如果，称为或或，否则如果，阵奇异矩阵称为或退化矩阵定义1：
定义2：
10
二、逆矩阵的性质
11 1
()AA AA
=若可逆，则也可逆，且
111
0 () AA AAλ λλ λ
=≠若可逆，数，则可逆，且
11
() ( )AA AA
′ ′
=
′
若可逆，则也可逆，且
111
()
AB AB
AB B A
=
若、为同阶矩阵且均可逆，则也可逆，且
②
③
④
①
定义3：
11 12 1
21 22 2
12
11 21 1
12 22 2*
12
n
n
ij ij
nn n
n
n
nn n
aa a
aa a
A Aa
aa a
AA A
AA A
A
AA A
A
=
=
代数余设是矩阵中元素的
，则矩子式的伴阵随为矩阵称
null
null
nullnull null
null
null
null
nullnull null
null
11
定理3：
*1*
1
0
AAA
AAAA
A
≠
=
矩阵可逆的充要条件是为非奇异矩阵，即，
且，其中为矩阵的伴随矩阵例：
解：
1
123
221
343
A A
=
已知，求
02 ≠=A∵
可逆A∴
11
21
2
43
A ==
21
23
6
43
A =?=
31
23
4
21
A = =?
12
21
3
33
A =? =?
22
13
6
33
A = =?
32
13
5
21
A =?=
13
22
2
34
A ==
23
12
2
34
A =?=
33
12
2
22
A = =?
12
11 21 31
12 22 32
13 2 3
*
33
AAA
AAA
AA
A
A
=
得
=
222
563
462
1*
1
AA
A
∴ =
=
222
563
462
2
1
=
111
2
5
3
2
3
231
§8.4 矩阵的初等变换一、矩阵的秩定义：
1
0() 0
()
r
mn A r
r
r A
A
RA AR
×
+
===
一个矩阵中，如果有一个阶子式不为零，
同时所有阶子式全为零，则当时，规定称为矩阵的秩，
记为，
13
二、矩阵的初等变换定义：
所谓矩阵的初等行（列）变换是指以下三种变换：
①互换矩阵中两行（列）的位置
②用一个非零的常数k乘矩阵的某一行（列）
③把矩阵的某一行（列）的k倍加到另一行（列）
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换定理：
阶梯形矩阵的秩等于其中非零行（列）的个数
0000
1000
1210
32000
20100
21121
所谓阶梯形矩阵，是指在矩阵中可以画出一条折线，在折线以下的元素全部为零，而且折线形状类似台阶逐渐下降。
例如：
14
求矩阵的秩，可以利用矩阵的初等变换将之化为阶梯形矩阵来求矩阵的秩，它的秩就等于其中非零行的个数。
2382
212 212
1314
A
=?
求矩阵的秩例：
解：
2382
212 212
1314
A
=?
2832
122122
4131
6690
4460
4131
0000
4460
4131
13
rr?
21
2rr?
31
2rr?
32
3
2
rr+
() 2RA∴ =
15
三、用初等变换求逆矩阵一个具体求逆矩阵的方法：
1
1
( )
(
2
)
AE nn
nn
EA
AE
EA
×
×，初等行把，这两个矩阵凑在一起，作成一个矩阵，用把它的左边一半化成，这时右边的一半就是，即经过一系列初等行变换后变成变换
，
例：
解：
1
012
114
210
AA
=
设，求
100012
010411
001210
100012
001210
010411
12
rr?
16
120830
001210
010411
123200
001210
010411
123200
124010
236011
32
3rr+
13
2rr+
23
rr+
31
2rr?
123200
124010
112001
1
21 1
42 1
31
1
22
A
∴ =?
12
rr?
3
1
2
r?
2
1
1
2
3
100
124010
112001
17
§8.5 线性方程组线性方程组的一般形式为：
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
11 22
nn
nn
mm mnm
ax ax ax b
ax ax ax b
ax ax ax b
+++=
+++=
+++=
null
null
null
null
可用矩阵表示为：
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
12
n
n
mm mn n m
aa a x b
aa a x b
aa a x b
=
null
null
nullnull null null null
null
AX b=简记作
18
() ( )AA
AX b
R ARAb
=
=
为它的系数矩阵与增广线性方程组有解的充要条矩阵有相同的秩，，即件定理1：
当线性方程组有解时，称之为相容的，否则称之为不相容的。
一、线性方程组有解判别定理例：判断下列方程组是否相容
1234
12 3 4
12 3 4
23 1
35 6
2228
xxxx
xx x x
xx x x
+?=?
+? =
++? =
82212
63513
11321
60450
30450
11321
30000
30450
11321
() 2 ( ) 3RA RAb==∵，，
即无解该方程组不相容,∴
21
3rr?
31
2rr?
32
rr?
解：
（1）
19
二、齐次线性方程组
AX 0=形如的线性方程齐次线组，称为性方程组
()
()
n RA n
RA n
=
<时，只有零解；当元齐次线性方程组，
时，
当它的系数矩有无穷阵的秩多个非零解定理2：
例1：
12 34
12 3 4
12 34
50
230
38 0
xx xx
xx x x
xx xx
+?=?
+?+=
++=
解线性方程组该方程组有非零解∴=< 4)( nAR∵
=
1813
3211
1511
A
4720
4720
1511
0000
4720
1511
0000
2
2
7
10
1511
21
rr?
31
3rr?
32
rr?
2
1
2
r
解：
20
0000
2
2
7
10
1
2
3
01
134
234
3
0
2
7
20
2
xxx
xxx
+ +=
+=
最后的矩阵对应于方程组
12
rr+
=
=
=
=
44
33
432
431
2
2
7
2
3
xx
xx
xxx
xxx
解得
34
xx
其中，可独立地任取一组数值，称为自由未知量
31 42 12
cxx ccc==如果（，为任令，意常数）
112
212
31
42
3
2
7
2
2
xcc
xcc
xc
=
=?
=
=
则所求方程组的解为
12
cc
，为任意常数
21
2
12 3
2
123
2
12 3
0
0?
0
xaxax
aa
ax x ax
++ =
++=
++ =
当为何值时，方程组有非零解时，该方程组有非零解当3)( =< nAR
() 3 0RA n A<= =而时，则
aa
aa
aa
A
1
1
1
2
2
2
=而
1
36333
++= aaaaa
12
36
+?= aa
1 012
36
==?+?= aaaA，得由
1a∴ =当时，该方程组有非零解例2：
解：
三、非齐次线性方程组
AX b=形如的线性方程组，称为非齐次线性方程组
()
1
2
() ( )
()
RA
nAXb
An
RA
Xb
RA R
Xn
b
b
A
A
=
==
=
< =
，有若元非齐次线性方程组，且
（
，，
）唯一解
，有无则
（）则穷多组解定理3：
22
1234
1234
1234
1
0
2 2 4 1
xxxx
xxxx
xxxx
+?=?
+=
+ =?
解线性方程组
11111
11110
2214
1
()Ab
=
，
11111
00221
00363
21
rr?
31
2rr?
例：
解：
36300
24100
11111
36000
24100
11111
2
1
1000
24100
11111
23
rr?
32
3rr+
3
1
6
r?
23
2
1
1000
00100
2
1
0111
2
1
1000
00100
2
1
0011
最后的矩阵对应于方程组
13
rr+
23
4rr+
12
rr?
12
3
4
1
2
0
1
2
xx
x
x
=
=
=?
2
x取为自由未知量
1
2
3
4
1
2
0
1
2
xc
xc
c
x
x
=+
=
=
=?
∴所求方程组的（为任解为意常数）
=
=
=?
2
1
0
2
1
4
3
21
x
x
xx
Chap8
线性代数初步
§8.1 行列式
§8.2 矩阵
§8.3 逆矩阵
§8.4 矩阵的初等变换
§8.5 线性方程组
§8.1 行列式一、行列式的概念
11 12 1
21 22 2
12
n
n
nn n
aa a
aa a
D
aa a
=
null
null
nullnull null
null
的元素）称为，，，，（其中
），，，，（简记为
Dnjia
njiaD
ij
ij
null
null
2 1
2 1
=
==
注：行列式是一个数值
2
二、行列式的性质性质1：行列式中行列互换，行列式不变，
性质2：行列式中某一行（列）的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行（列）
就相当于用这个数乘此行列式如果行列式中一行（列）为零，那么行列式为零性质3：如果行列式某一行（列）是两组数的和，
那么这个行列式就等于两个行列式的和，
性质4：如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零性质5：如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零性质6：把一行（列）的倍数加到另一行（列），
行列式不变性质7：对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号
3
三、行列式的计算
11 1 1
1
1
2
(1) 1
(1)
(1)
jn
iijin
nnj
ij
ij
ij ij ij
ij
ij
n
ij j ij
n
i
a
aaa
aaa
aaa
i
jn n
aMM
aAAM
+
+
=?
nullnull
nullnullnull
nullnull
nullnullnull
nullnull
在行列式中划去元素所在的第行与第列，剩下的个元素按原来的排法构成一个阶的行列式，称为元素的余子式，记为，而称为的代数余子式，记为，即定义：
例如：
7284
3136
3140
4225
D
=
的余子式元素
32
a
32
M
784
336
425
=
代数余子式
32
A
784
336
425
=
32
23
)1( M
+
=
4
定理1：
的和对应的代数余子式乘积元素与其等于任一行（列）的各阶行列式Dn
为零代数余子式乘积之和一行（列）相应元素的列）的各元素与另阶行列式中，某一行（ n
定理2：
§8.2 矩阵一、矩阵的概念注：矩阵与行列式从表面上看很相似，但实质上它们是两个不同的概念，行列式最终表示一个数值，而矩阵不是一个数，是由一组数据按一定顺序排成的矩形表。
5
二、矩阵的运算
1.矩阵的相等
2.矩阵的加法
3.矩阵的数乘例1：
解：
34 78
43
56 21
AB AB
==?
已知，，求
BA 34?
×?
×=
12
87
3
65
43
4
=
36
2421
2420
1612
=
2114
89
6
例2：
解：
10 12 7520
11 30 5124
05 14 3215
2
AB
AX B X
=? =
+=
已知，，
且，求矩阵
ABXBXA?==+ 22，得由
×=
4150
0311
2101
5123
4215
0257
2 X则
=
4150
0311
2101
10246
84210
041014
=
6316
81111
251013
4.矩阵的乘法
11 2
1
2
() ()
()
ml lnik kj
ij mn
i
l
ij jij illj ik kj
k
Aa Bb
Cc AB
ab a
CAB
cabbab
××
×
=
+
==
==++
∑
null
设矩阵，，则矩阵称为与的乘积，记作，
其中定义：
7
例：
03 4
10 12
12 1
11 30
31 1
05 14
12 1
AB
=? =
设，
AB 则
=
121
113
121
430
4150
0311
2101
=
10172
6210
765
5.矩阵的转置例如：
矩阵矩阵的转置是显然，mnnm ××
13
21
01
A
′
=?
则
AA矩阵的转置运算即为将的行列互换得到的新矩阵
120
311
A
=
8
AA =′′)(
BABA ′+′=′+ )(
AA ′=′ λλ )(
λ（为实常数）
ABAB ′′=′)(
矩阵的转置满足下列运算规律：
②
③
④
①
6.方阵的行列式定义：
nA
AA
保持阶方阵的元素的相对位置不变，所构成方阵的行列的行列式，式称为记作
ABn λ（设、为阶方阵，为实常数）
1=E AA =′
AA
n
λλ = BAAB =
方阵的行列式满足下列运算规律：
②
③④
①
9
例：
解：
13 25
22 34
AB AB
==
设，，求
=
43
52
22
31
AB∵
=
22
1711
22
1711
=∴ AB 563422 =+=
BAAB =
43
52
22
31
= 56)7()8( ==
法①
法②
§8.3 逆矩阵一、逆矩阵的概念
11
AB BA E
nA B
AAA
nB E
n
B
==
=
则称阶方阵可逆，且称为的逆矩阵，记为如果有阶方阵，使得，这里是阶单位
，即矩阵，
0
0 A
A A
A
≠
=
非奇异矩阵非退化矩阵正则矩如果，称为或或，否则如果，阵奇异矩阵称为或退化矩阵定义1：
定义2：
10
二、逆矩阵的性质
11 1
()AA AA
=若可逆，则也可逆，且
111
0 () AA AAλ λλ λ
=≠若可逆，数，则可逆，且
11
() ( )AA AA
′ ′
=
′
若可逆，则也可逆，且
111
()
AB AB
AB B A
=
若、为同阶矩阵且均可逆，则也可逆，且
②
③
④
①
定义3：
11 12 1
21 22 2
12
11 21 1
12 22 2*
12
n
n
ij ij
nn n
n
n
nn n
aa a
aa a
A Aa
aa a
AA A
AA A
A
AA A
A
=
=
代数余设是矩阵中元素的
，则矩子式的伴阵随为矩阵称
null
null
nullnull null
null
null
null
nullnull null
null
11
定理3：
*1*
1
0
AAA
AAAA
A
≠
=
矩阵可逆的充要条件是为非奇异矩阵，即，
且，其中为矩阵的伴随矩阵例：
解：
1
123
221
343
A A
=
已知，求
02 ≠=A∵
可逆A∴
11
21
2
43
A ==
21
23
6
43
A =?=
31
23
4
21
A = =?
12
21
3
33
A =? =?
22
13
6
33
A = =?
32
13
5
21
A =?=
13
22
2
34
A ==
23
12
2
34
A =?=
33
12
2
22
A = =?
12
11 21 31
12 22 32
13 2 3
*
33
AAA
AAA
AA
A
A
=
得
=
222
563
462
1*
1
AA
A
∴ =
=
222
563
462
2
1
=
111
2
5
3
2
3
231
§8.4 矩阵的初等变换一、矩阵的秩定义：
1
0() 0
()
r
mn A r
r
r A
A
RA AR
×
+
===
一个矩阵中，如果有一个阶子式不为零，
同时所有阶子式全为零，则当时，规定称为矩阵的秩，
记为，
13
二、矩阵的初等变换定义：
所谓矩阵的初等行（列）变换是指以下三种变换：
①互换矩阵中两行（列）的位置
②用一个非零的常数k乘矩阵的某一行（列）
③把矩阵的某一行（列）的k倍加到另一行（列）
矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换定理：
阶梯形矩阵的秩等于其中非零行（列）的个数
0000
1000
1210
32000
20100
21121
所谓阶梯形矩阵，是指在矩阵中可以画出一条折线，在折线以下的元素全部为零，而且折线形状类似台阶逐渐下降。
例如：
14
求矩阵的秩，可以利用矩阵的初等变换将之化为阶梯形矩阵来求矩阵的秩，它的秩就等于其中非零行的个数。
2382
212 212
1314
A
=?
求矩阵的秩例：
解：
2382
212 212
1314
A
=?
2832
122122
4131
6690
4460
4131
0000
4460
4131
13
rr?
21
2rr?
31
2rr?
32
3
2
rr+
() 2RA∴ =
15
三、用初等变换求逆矩阵一个具体求逆矩阵的方法：
1
1
( )
(
2
)
AE nn
nn
EA
AE
EA
×
×，初等行把，这两个矩阵凑在一起，作成一个矩阵，用把它的左边一半化成，这时右边的一半就是，即经过一系列初等行变换后变成变换
，
例：
解：
1
012
114
210
AA
=
设，求
100012
010411
001210
100012
001210
010411
12
rr?
16
120830
001210
010411
123200
001210
010411
123200
124010
236011
32
3rr+
13
2rr+
23
rr+
31
2rr?
123200
124010
112001
1
21 1
42 1
31
1
22
A
∴ =?
12
rr?
3
1
2
r?
2
1
1
2
3
100
124010
112001
17
§8.5 线性方程组线性方程组的一般形式为：
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
11 22
nn
nn
mm mnm
ax ax ax b
ax ax ax b
ax ax ax b
+++=
+++=
+++=
null
null
null
null
可用矩阵表示为：
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
12
n
n
mm mn n m
aa a x b
aa a x b
aa a x b
=
null
null
nullnull null null null
null
AX b=简记作
18
() ( )AA
AX b
R ARAb
=
=
为它的系数矩阵与增广线性方程组有解的充要条矩阵有相同的秩，，即件定理1：
当线性方程组有解时，称之为相容的，否则称之为不相容的。
一、线性方程组有解判别定理例：判断下列方程组是否相容
1234
12 3 4
12 3 4
23 1
35 6
2228
xxxx
xx x x
xx x x
+?=?
+? =
++? =
82212
63513
11321
60450
30450
11321
30000
30450
11321
() 2 ( ) 3RA RAb==∵，，
即无解该方程组不相容,∴
21
3rr?
31
2rr?
32
rr?
解：
（1）
19
二、齐次线性方程组
AX 0=形如的线性方程齐次线组，称为性方程组
()
()
n RA n
RA n
=
<时，只有零解；当元齐次线性方程组，
时，
当它的系数矩有无穷阵的秩多个非零解定理2：
例1：
12 34
12 3 4
12 34
50
230
38 0
xx xx
xx x x
xx xx
+?=?
+?+=
++=
解线性方程组该方程组有非零解∴=< 4)( nAR∵
=
1813
3211
1511
A
4720
4720
1511
0000
4720
1511
0000
2
2
7
10
1511
21
rr?
31
3rr?
32
rr?
2
1
2
r
解：
20
0000
2
2
7
10
1
2
3
01
134
234
3
0
2
7
20
2
xxx
xxx
+ +=
+=
最后的矩阵对应于方程组
12
rr+
=
=
=
=
44
33
432
431
2
2
7
2
3
xx
xx
xxx
xxx
解得
34
xx
其中，可独立地任取一组数值，称为自由未知量
31 42 12
cxx ccc==如果（，为任令，意常数）
112
212
31
42
3
2
7
2
2
xcc
xcc
xc
=
=?
=
=
则所求方程组的解为
12
cc
，为任意常数
21
2
12 3
2
123
2
12 3
0
0?
0
xaxax
aa
ax x ax
++ =
++=
++ =
当为何值时，方程组有非零解时，该方程组有非零解当3)( =< nAR
() 3 0RA n A<= =而时，则
aa
aa
aa
A
1
1
1
2
2
2
=而
1
36333
++= aaaaa
12
36
+?= aa
1 012
36
==?+?= aaaA，得由
1a∴ =当时，该方程组有非零解例2：
解：
三、非齐次线性方程组
AX b=形如的线性方程组，称为非齐次线性方程组
()
1
2
() ( )
()
RA
nAXb
An
RA
Xb
RA R
Xn
b
b
A
A
=
==
=
< =
，有若元非齐次线性方程组，且
（
，，
）唯一解
，有无则
（）则穷多组解定理3：
22
1234
1234
1234
1
0
2 2 4 1
xxxx
xxxx
xxxx
+?=?
+=
+ =?
解线性方程组
11111
11110
2214
1
()Ab
=
，
11111
00221
00363
21
rr?
31
2rr?
例：
解：
36300
24100
11111
36000
24100
11111
2
1
1000
24100
11111
23
rr?
32
3rr+
3
1
6
r?
23
2
1
1000
00100
2
1
0111
2
1
1000
00100
2
1
0011
最后的矩阵对应于方程组
13
rr+
23
4rr+
12
rr?
12
3
4
1
2
0
1
2
xx
x
x
=
=
=?
2
x取为自由未知量
1
2
3
4
1
2
0
1
2
xc
xc
c
x
x
=+
=
=
=?
∴所求方程组的（为任解为意常数）
=
=
=?
2
1
0
2
1
4
3
21
x
x
xx
