1
Chap5微分方程微分方程
§5.1 微分方程的基本概念
§5.2 一阶微分方程
§5.3 二阶微分方程
§5.1 微分方程的基本概念一、微分方程的定义含有未知函数的导数（或微分）的方程，
称为微分方程如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，
称这种微分方程为常微分方程
2
例如：
32
x
yyyye
′′′ ′′
+=
2
() 5 4 sinyyyx
′′′ ′
+?=
2
() 5 4 (sin)yyyx
′′′ ′
+?=
三阶三阶二阶
1,微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，
称为微分方程的阶数
§5.2 一阶微分方程
()()
() () fx gy xy
dy
fxgy
dx
=形如的方程，称为的微分方程，这里、分别可分离变是、
量的连续函数一、可分离变量的微分方程
3
例1,sin
dy
xx
dx
+=求微分方程的通解移项
sin
dy
xx
dx
=?
分离变量
(sin )dy x x dx=?
两边积分
(sin )dy x x dx=?
∫ ∫
得通解
2
1
cos
2
yx cx= +
()c是任意常数解：
例2：
cyx =+
22
dy x
dx y
=?求微分方程的通解分离变量
ydy xdx=?
两边积分得通解
cxy +?=
22
即
2
y cx=±?或
22
11
22
1
2
yxc=? +
解：
4
例3：2
dy
xy
dx
=求微分方程的通解分离变量2
dy
xdx
y
=
两边积分
2
ln lny xc=+
2
x
cey =得通解
1
ln
dx x c
x
+
∫
注：因为不影响最后结果，所以约形式可定，
写成在解微分方程的过程中，
解：
例4：
2
(1 ) 0ydx xydy++=求微分方程的通解移项
2
(1 )y dx xydy+=?
分离变量
2
1
dx ydy
xy
=?
+
两边积分
2
1
ln ln(1 ) ln
2
xyc=? + +
得通解cyx =+
2
1
2
2
1
)1(
2
1
y
yd
x
dx
+
+
=
解：
5
例5：
2
cos
0 1
dy
yx
dx
xy
=
==
求微分方程的通解，并求满足初始条当时，件的特解分离变量
2
cos
dy
xdx
y
=
两边积分
1
sin xc
y
=+
得通解
1
sin
y
xc
=?
+
01 1xy c== =?将，代入通解，得
1
1sin
y
x
∴ =
所求特解为解：
二、齐次微分方程
( )
()
ydy
dx x
uu?
=齐形如的方程，次称为微分方程，
这里是的连续函数作变量变换
y
uyux
x
==令，即
dy du
xu
dx dx
= +则代入方程求解
y
u
x
=用代最后回原来的变量
6
例1,tan
dy y y
dx x x
=+求微分方程的通解
u
x
y
=令u
dx
du
x
dx
dy
+=则代入原方程
tan
du
xuuu
dx
+=+
tan
du
xu
dx
=
分离变量cot
dx
udu
x
=
x
dx
u
ud
=?
sin
)(sin
两边积分cxu lnln)ln(sin += sinucx? =
代回，得通解将
x
y
u =
sin
y
cx
x
=
解：
例2：
2
20
x
dy y y
y
dx x x
=
=+求微分方程满足的特解代入原方程
u
x
y
=令u
dx
du
x
dx
dy
+=则
2
du
xuuu
dx
+ =+
2
du
xu
dx
=?
分离变量
x
dx
u
du
=
2
两边积分
cxu lnln +=
u
ecx? =
代回，得通解将
x
y
u =
y
x
cx e=
2
0
1
2
x
cy
=
= =将代入通解，得
2
y
x
xe∴ =所求特解解：
7
三、一阶线性微分方程
() ()yPxyQx
′
+ =形如的方一阶线程称为性微分方程
() 0 () 0yPxyQx
′
+ =≡若，则一阶线性齐称为次微分方程
() (() )0Qx yPxyQx
′
+ =≠若，则一阶线性非称为齐次微分方程
() ()
() []
P x dx P x dx
ye e dxQx c
∫∫
=+
∫
一阶线性非齐次微分方程的通解公式
() () yyPx Qx
′
+=
8
例1：(1)
1
xn
n
dx
e
y
x
x
d
y =?+
+
求微分方程的通解解：() ()Px Qx将、代入求解公式得通解
11
[(1) ]
x
nn
d
x
n
dx x
x
ye ex e dxc
++
∫∫
=++
∫
(1) (1)
[(1) ]
ndx ndx
xx
xn
eexedc
+?
+
∫
ln( 1) ln( 1)
[(1) ]
nx nxnx
eexedxc
+
=+
∫
ln( 1) ln( 1)
[(1) ]
nn
xnxx
eexedxc
++
∫
[(1)(1) ( ]1)
n n nx
exxxx dc
=++
∫
(1)[ ]
xn
excdx=+ +
∫
(1)( )
nx
xec=+ +
例2：
sin
cos
x
dy
yxe
dx
+=求微分方程的通解代入求解公式得通解、将)()( xQxP
sin
cos cos
[]
x
xdx xdx
ye e e dxc
∫∫
=+
∫
c( s) o xPx=
sin
()
x
eQx
=
sinsin sin
[]
xxx
eeedxc
= +
∫
sin
[]
x
dxec
= +
∫
sin
()
x
exc
= +
解：
9
注：
（1）在标准形式下解题
（2）每一个不定积分只取一个原函数，任意常数均包含在c中
（3）倒数函数的原函数，真数两边不要加绝对值，否则无法整理
§5.3 二阶微分方程一、特殊类型的二阶微分方程
() yfx
′′
=型的二阶微分方程可逐次积分求通解
4s n2 iyx
′′
=求微分方程的通解两边积分
1
2cos2y xc
′
=?+
再次积分得通解
12
sin 2y xcxc=?++
例：
解：
10
二、二阶常系数线性微分方程
() () ()yPxyQxyfx
′′′
++=形如的微分方二阶线程称为性微分方程
() 0fx≡当时，称为二阶线性齐次微分方程
() 0fx≠二阶线性非齐次当时，称为微分方程
()fx
称为非齐次项
() ()Px Qx当时，、为常数二阶常系数线性称为微分方程
1,二阶线性微分方程解的性质
12
11 2
12
2
() ()
( ) ( ) 0
(
() ()
)
yx yx
yPxyQxy
ycyx
c
cy x
c
′′ ′
++=
=+
若和都是二阶线性齐次微分方程的解，则也是该方程的、为任意常数解
（线性齐次方程的解的迭加原理）
性质1
11
12
11 2
2
2
1
() ()
( ) ( ) 0
(
() ()
)
yx yx
yPxyQxy
ycyx c
cc
yx
′′ ′
++=
=+
线性若和是二阶线性齐次微分方程的两个的解，则是该方程的、为通无解任意常数关性质2
*
*
( ) ( ) ( )
()
( )
() ()
)0
(
y
yPxyQxyfx
Yx
yPxyQx
yx Y
y
xy
′′ ′
++=
′′ ′
++
=+
=
若是非齐次方程的一个特解，是其所对应的齐次方程的通解，则是该方程的通解性质3
12
2
0rprq++=
特征方程的根
0ypyqy
′′ ′
++=
微分方程的通解
21
rr、两个不相等实根
12
rx rx
yce ce=+
21
rr =两个相等实根
1
12
()
rx
yccxe=+
12
riα β=±
，
一对共轭复根
12
(cos sin )
x
y ec xc x
α
β β=+
2,二阶常系数线性齐次微分方程的解法
0 () y pyqy qp
′′ ′
++=、是常数
2
1,2
2
40
22
0
2
bac
b
ax bx c
bi
x
a aa
i
++=
±?Δ?
=
Δ=? <
=
Δ
±?
当时
13
例1：
540 yyy
′′′
+=求微分方程的通解特征方程
0)4)(1( = rr即
045
2
=+? rr
41
21
== rr，
4
12
xx
y ce ce=+∴通解
2 0 yyy
′′′
+ +=求微分方程的通解特征方程
0)1(
2
=+r即
012
2
=++ rr
1
21
== rr
12
) (
x
yccxe
=+∴通解例2：
解：
解：
例3：
0 yyy
′′′
+ +=求微分方程的通解特征方程
），（
2
3
2
1
=?= βα
01
2
=++rr
i
i
r
2
3
2
1
2
31
2,1
±?=
±?
=
1
2
12
33
(cos sin )
22
x
ye c xc x
=+∴通解解：
14
①
()
()
) (
n
x
n
Px x
fx P
n
xe
α
α
=若
（其中是的次多项式，为常数）
*
()
()
kx
n
n
Qx x
y xQ xe
n
α
=设特解
（其中是的次待定多项式）
0kα =不是特征根当时，取
1kα =特征单根当是时，取
2kα =特征重根当是时，取
3,二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
( ) y py qy f x
′′ ′
++=
例1,写出下列各微分方程的特解形式
（1）
2
44(38)
x
yyyxe
′′ ′
+=+
*2 2
()
x
yxAxBe+∴ =
）（2=α
特征方程
0)2(
2
=?r即044
2
=+? rr
特征根2
21
== rr
2
5521yyxx
′′ ′
+=）（0=α
*2
()y x Ax Bx c∴ =++
特征方程
0)5( =+rr即
05
2
=+ rr
特征根
50
21
== rr，
（2）
15
（3）
2
56
x
yyyxe
′′ ′
+=
*2
()
x
yxAxBe+∴ =
）（2=α
特征方程
0)3)(2( = rr即
065
2
=+? rr
特征根32
21
== rr，
23
x
yyye
′′ ′
=
）（1?=α
* x
yxAe
=∴
特征方程
0)1)(3( =+? rr即
032
2
= rr
特征根13
21
== rr，
x
Axe
=
（4）
例2：
2331 yyyx
′′′
=+求微分方程的通解
230yyy′′′=先求对应的齐次方程的通解特征方程032
2
= rr
特征根13
21
== rr，
3
12
()
xx
Yx ce ce
=∴ +齐次方程通解
*
( )yAxB AB=+设是原方程的解其中、为待定常数
0)1)(3( =+? rr即解：
16
*
yAxB=+
Ay =
′
*
0
*
=
″
y
代入原方程，得到，，将
″′
***
yyy
133320 += xBAxA
32331Ax A B x=+
x比较等号两边的同次幂的系数得
=
=
3
1
1
B
A
得
*
1
3
yx=?+∴
3
12
1
3
xx
yce ce x
= +?+则原方程通解
33
231
A
AB
=
=
②
() ()
() [ ()cos ()sin ]
x
nm
nm
Px Q x x
n
fx e
m
Px x Q x x
α
β β
αβ
+
=
若其中、分别是的
、次多项式，、为常数
*
() ()
[()cos ()sin
max{,}
]
k
l
x
ll
l
xe Ry xxG
Rx G
x
ml
x
n
x
l
x
α
β β
=
= +设特解其中、分别是的次待定多项式，
0i kα β± =不是特征时，取根当
1kiα β± =是特征时，取根当
17
例1.写出下列各微分方程的特解形式
（1）9(246)cos32sin3yy x x x
′′
+=
*
[( )cos 3 ( )sin 3 ]yxAxB xCxD x++∴ =+
），（30 == βα
特征方程
09
2
=+r
特征根
ir 3
2,1
±=
（2）
22 sin
x
yyyex
′′ ′
+=
*
(cos sin)
x
yxeAxBx+∴ =
），（11 == βα
特征方程
022
2
=+? rr
特征根
ir ±=1
2,1
2cosyy x
′′
+=
），（10 == βα
*
(cos sin)yxAxBx=+∴
特征方程
01
2
=+r
特征根
ir ±=
2,1
（3）
18
例2：
4cs2 4oyyy x
′′′
+ +=求微分方程的通解
440yyy
′′′
+ +=先求对应的齐次方程的通解特征方程
044
2
=++ rr
特征根
2
21
== rr
2
12
() ( )
x
Yx c cxe
=+∴齐次方程通解
*
cos 2 sin 2
()
yA xB x
AB
=+设是原方程的解其中、为待定常数
0)2(
2
=+r即解：
*
cos 2 sin 2yA xB x=+
xBxAy 2cos22sin2
*
+?=
′
xBxAy 2sin42cos4
*
=
″
代入原方程，得到，，将
″′
***
yyy
8cos2 8sin2 cos2BxAx x? =
比较等号两边同类项的系数
=
=
8
1
0
B
A
得
*
1
sin 2
8
y x∴ =
2
12
1
()sin2
8
x
yccxe x
=+ +则原方程通解
81
80
B
A
=
=
得
Chap5微分方程微分方程
§5.1 微分方程的基本概念
§5.2 一阶微分方程
§5.3 二阶微分方程
§5.1 微分方程的基本概念一、微分方程的定义含有未知函数的导数（或微分）的方程，
称为微分方程如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，
称这种微分方程为常微分方程
2
例如：
32
x
yyyye
′′′ ′′
+=
2
() 5 4 sinyyyx
′′′ ′
+?=
2
() 5 4 (sin)yyyx
′′′ ′
+?=
三阶三阶二阶
1,微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，
称为微分方程的阶数
§5.2 一阶微分方程
()()
() () fx gy xy
dy
fxgy
dx
=形如的方程，称为的微分方程，这里、分别可分离变是、
量的连续函数一、可分离变量的微分方程
3
例1,sin
dy
xx
dx
+=求微分方程的通解移项
sin
dy
xx
dx
=?
分离变量
(sin )dy x x dx=?
两边积分
(sin )dy x x dx=?
∫ ∫
得通解
2
1
cos
2
yx cx= +
()c是任意常数解：
例2：
cyx =+
22
dy x
dx y
=?求微分方程的通解分离变量
ydy xdx=?
两边积分得通解
cxy +?=
22
即
2
y cx=±?或
22
11
22
1
2
yxc=? +
解：
4
例3：2
dy
xy
dx
=求微分方程的通解分离变量2
dy
xdx
y
=
两边积分
2
ln lny xc=+
2
x
cey =得通解
1
ln
dx x c
x
+
∫
注：因为不影响最后结果，所以约形式可定，
写成在解微分方程的过程中，
解：
例4：
2
(1 ) 0ydx xydy++=求微分方程的通解移项
2
(1 )y dx xydy+=?
分离变量
2
1
dx ydy
xy
=?
+
两边积分
2
1
ln ln(1 ) ln
2
xyc=? + +
得通解cyx =+
2
1
2
2
1
)1(
2
1
y
yd
x
dx
+
+
=
解：
5
例5：
2
cos
0 1
dy
yx
dx
xy
=
==
求微分方程的通解，并求满足初始条当时，件的特解分离变量
2
cos
dy
xdx
y
=
两边积分
1
sin xc
y
=+
得通解
1
sin
y
xc
=?
+
01 1xy c== =?将，代入通解，得
1
1sin
y
x
∴ =
所求特解为解：
二、齐次微分方程
( )
()
ydy
dx x
uu?
=齐形如的方程，次称为微分方程，
这里是的连续函数作变量变换
y
uyux
x
==令，即
dy du
xu
dx dx
= +则代入方程求解
y
u
x
=用代最后回原来的变量
6
例1,tan
dy y y
dx x x
=+求微分方程的通解
u
x
y
=令u
dx
du
x
dx
dy
+=则代入原方程
tan
du
xuuu
dx
+=+
tan
du
xu
dx
=
分离变量cot
dx
udu
x
=
x
dx
u
ud
=?
sin
)(sin
两边积分cxu lnln)ln(sin += sinucx? =
代回，得通解将
x
y
u =
sin
y
cx
x
=
解：
例2：
2
20
x
dy y y
y
dx x x
=
=+求微分方程满足的特解代入原方程
u
x
y
=令u
dx
du
x
dx
dy
+=则
2
du
xuuu
dx
+ =+
2
du
xu
dx
=?
分离变量
x
dx
u
du
=
2
两边积分
cxu lnln +=
u
ecx? =
代回，得通解将
x
y
u =
y
x
cx e=
2
0
1
2
x
cy
=
= =将代入通解，得
2
y
x
xe∴ =所求特解解：
7
三、一阶线性微分方程
() ()yPxyQx
′
+ =形如的方一阶线程称为性微分方程
() 0 () 0yPxyQx
′
+ =≡若，则一阶线性齐称为次微分方程
() (() )0Qx yPxyQx
′
+ =≠若，则一阶线性非称为齐次微分方程
() ()
() []
P x dx P x dx
ye e dxQx c
∫∫
=+
∫
一阶线性非齐次微分方程的通解公式
() () yyPx Qx
′
+=
8
例1：(1)
1
xn
n
dx
e
y
x
x
d
y =?+
+
求微分方程的通解解：() ()Px Qx将、代入求解公式得通解
11
[(1) ]
x
nn
d
x
n
dx x
x
ye ex e dxc
++
∫∫
=++
∫
(1) (1)
[(1) ]
ndx ndx
xx
xn
eexedc
+?
+
∫
ln( 1) ln( 1)
[(1) ]
nx nxnx
eexedxc
+
=+
∫
ln( 1) ln( 1)
[(1) ]
nn
xnxx
eexedxc
++
∫
[(1)(1) ( ]1)
n n nx
exxxx dc
=++
∫
(1)[ ]
xn
excdx=+ +
∫
(1)( )
nx
xec=+ +
例2：
sin
cos
x
dy
yxe
dx
+=求微分方程的通解代入求解公式得通解、将)()( xQxP
sin
cos cos
[]
x
xdx xdx
ye e e dxc
∫∫
=+
∫
c( s) o xPx=
sin
()
x
eQx
=
sinsin sin
[]
xxx
eeedxc
= +
∫
sin
[]
x
dxec
= +
∫
sin
()
x
exc
= +
解：
9
注：
（1）在标准形式下解题
（2）每一个不定积分只取一个原函数，任意常数均包含在c中
（3）倒数函数的原函数，真数两边不要加绝对值，否则无法整理
§5.3 二阶微分方程一、特殊类型的二阶微分方程
() yfx
′′
=型的二阶微分方程可逐次积分求通解
4s n2 iyx
′′
=求微分方程的通解两边积分
1
2cos2y xc
′
=?+
再次积分得通解
12
sin 2y xcxc=?++
例：
解：
10
二、二阶常系数线性微分方程
() () ()yPxyQxyfx
′′′
++=形如的微分方二阶线程称为性微分方程
() 0fx≡当时，称为二阶线性齐次微分方程
() 0fx≠二阶线性非齐次当时，称为微分方程
()fx
称为非齐次项
() ()Px Qx当时，、为常数二阶常系数线性称为微分方程
1,二阶线性微分方程解的性质
12
11 2
12
2
() ()
( ) ( ) 0
(
() ()
)
yx yx
yPxyQxy
ycyx
c
cy x
c
′′ ′
++=
=+
若和都是二阶线性齐次微分方程的解，则也是该方程的、为任意常数解
（线性齐次方程的解的迭加原理）
性质1
11
12
11 2
2
2
1
() ()
( ) ( ) 0
(
() ()
)
yx yx
yPxyQxy
ycyx c
cc
yx
′′ ′
++=
=+
线性若和是二阶线性齐次微分方程的两个的解，则是该方程的、为通无解任意常数关性质2
*
*
( ) ( ) ( )
()
( )
() ()
)0
(
y
yPxyQxyfx
Yx
yPxyQx
yx Y
y
xy
′′ ′
++=
′′ ′
++
=+
=
若是非齐次方程的一个特解，是其所对应的齐次方程的通解，则是该方程的通解性质3
12
2
0rprq++=
特征方程的根
0ypyqy
′′ ′
++=
微分方程的通解
21
rr、两个不相等实根
12
rx rx
yce ce=+
21
rr =两个相等实根
1
12
()
rx
yccxe=+
12
riα β=±
，
一对共轭复根
12
(cos sin )
x
y ec xc x
α
β β=+
2,二阶常系数线性齐次微分方程的解法
0 () y pyqy qp
′′ ′
++=、是常数
2
1,2
2
40
22
0
2
bac
b
ax bx c
bi
x
a aa
i
++=
±?Δ?
=
Δ=? <
=
Δ
±?
当时
13
例1：
540 yyy
′′′
+=求微分方程的通解特征方程
0)4)(1( = rr即
045
2
=+? rr
41
21
== rr，
4
12
xx
y ce ce=+∴通解
2 0 yyy
′′′
+ +=求微分方程的通解特征方程
0)1(
2
=+r即
012
2
=++ rr
1
21
== rr
12
) (
x
yccxe
=+∴通解例2：
解：
解：
例3：
0 yyy
′′′
+ +=求微分方程的通解特征方程
），（
2
3
2
1
=?= βα
01
2
=++rr
i
i
r
2
3
2
1
2
31
2,1
±?=
±?
=
1
2
12
33
(cos sin )
22
x
ye c xc x
=+∴通解解：
14
①
()
()
) (
n
x
n
Px x
fx P
n
xe
α
α
=若
（其中是的次多项式，为常数）
*
()
()
kx
n
n
Qx x
y xQ xe
n
α
=设特解
（其中是的次待定多项式）
0kα =不是特征根当时，取
1kα =特征单根当是时，取
2kα =特征重根当是时，取
3,二阶常系数线性非齐次微分方程的解法
( ) y py qy f x
′′ ′
++=
例1,写出下列各微分方程的特解形式
（1）
2
44(38)
x
yyyxe
′′ ′
+=+
*2 2
()
x
yxAxBe+∴ =
）（2=α
特征方程
0)2(
2
=?r即044
2
=+? rr
特征根2
21
== rr
2
5521yyxx
′′ ′
+=）（0=α
*2
()y x Ax Bx c∴ =++
特征方程
0)5( =+rr即
05
2
=+ rr
特征根
50
21
== rr，
（2）
15
（3）
2
56
x
yyyxe
′′ ′
+=
*2
()
x
yxAxBe+∴ =
）（2=α
特征方程
0)3)(2( = rr即
065
2
=+? rr
特征根32
21
== rr，
23
x
yyye
′′ ′
=
）（1?=α
* x
yxAe
=∴
特征方程
0)1)(3( =+? rr即
032
2
= rr
特征根13
21
== rr，
x
Axe
=
（4）
例2：
2331 yyyx
′′′
=+求微分方程的通解
230yyy′′′=先求对应的齐次方程的通解特征方程032
2
= rr
特征根13
21
== rr，
3
12
()
xx
Yx ce ce
=∴ +齐次方程通解
*
( )yAxB AB=+设是原方程的解其中、为待定常数
0)1)(3( =+? rr即解：
16
*
yAxB=+
Ay =
′
*
0
*
=
″
y
代入原方程，得到，，将
″′
***
yyy
133320 += xBAxA
32331Ax A B x=+
x比较等号两边的同次幂的系数得
=
=
3
1
1
B
A
得
*
1
3
yx=?+∴
3
12
1
3
xx
yce ce x
= +?+则原方程通解
33
231
A
AB
=
=
②
() ()
() [ ()cos ()sin ]
x
nm
nm
Px Q x x
n
fx e
m
Px x Q x x
α
β β
αβ
+
=
若其中、分别是的
、次多项式，、为常数
*
() ()
[()cos ()sin
max{,}
]
k
l
x
ll
l
xe Ry xxG
Rx G
x
ml
x
n
x
l
x
α
β β
=
= +设特解其中、分别是的次待定多项式，
0i kα β± =不是特征时，取根当
1kiα β± =是特征时，取根当
17
例1.写出下列各微分方程的特解形式
（1）9(246)cos32sin3yy x x x
′′
+=
*
[( )cos 3 ( )sin 3 ]yxAxB xCxD x++∴ =+
），（30 == βα
特征方程
09
2
=+r
特征根
ir 3
2,1
±=
（2）
22 sin
x
yyyex
′′ ′
+=
*
(cos sin)
x
yxeAxBx+∴ =
），（11 == βα
特征方程
022
2
=+? rr
特征根
ir ±=1
2,1
2cosyy x
′′
+=
），（10 == βα
*
(cos sin)yxAxBx=+∴
特征方程
01
2
=+r
特征根
ir ±=
2,1
（3）
18
例2：
4cs2 4oyyy x
′′′
+ +=求微分方程的通解
440yyy
′′′
+ +=先求对应的齐次方程的通解特征方程
044
2
=++ rr
特征根
2
21
== rr
2
12
() ( )
x
Yx c cxe
=+∴齐次方程通解
*
cos 2 sin 2
()
yA xB x
AB
=+设是原方程的解其中、为待定常数
0)2(
2
=+r即解：
*
cos 2 sin 2yA xB x=+
xBxAy 2cos22sin2
*
+?=
′
xBxAy 2sin42cos4
*
=
″
代入原方程，得到，，将
″′
***
yyy
8cos2 8sin2 cos2BxAx x? =
比较等号两边同类项的系数
=
=
8
1
0
B
A
得
*
1
sin 2
8
y x∴ =
2
12
1
()sin2
8
x
yccxe x
=+ +则原方程通解
81
80
B
A
=
=
得
