1
Chap4定积分定积分
§4.1 定积分的概念
§4.2 定积分的计算
§4.3 定积分的两个积分法则
§4.4 定积分的应用
§4.6 广义积分
() [,]
f xxab
ab
被积函数积分变量积分其中称为，称为，
称为，、分别区间积分下为限、称上限一、定积分的定义
0
1
lim ( )()
n
ii
i
b
a
fxd fx xx
λ→
=
= Δ
∫
∑
1.定义
§4.1 定积分的概念
2
定积分是注：一个数值
2.
1
1
2
( arctan )xdx
′
=
∫
例：
0
三、定积分的性质
abdxdxxfxf
b
a
b
a
==≡
∫∫
)( 1)( 则，若
() () ()
bcb
aac
fxdx fxd cxfxdx=+
∫∫∫
（为任何实数）
ca b可在点的左边，也可在点的右边
212
001
() () ()f x dx f x dx f x dx=+
∫∫∫
例如：
202
110
() () ()f x dx f x dx f x dx=+
∫∫∫
例如：
定积分对积分区间的可加性
1.
2.
3
∫∫
=
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
32
23
() () fxdx fxdx=?
∫∫
例如：
() 0
a
a
fxdxab ==
∫
特别当时，
3.
() () ()
bbb
aaa
xx ttfd fd fdkk= ==
∫∫∫
"
11
22
00
xdx tdt= =
∫∫
"例如：
4,定积分的值与被积函数以及积分区间有关，
而与积分变量的字母的选择无关即：
() ()
bb
aa
fxdx fk xk dx=
∫∫
[() ()] () ()
bbb
aaa
dx dfx gx fx gxdxx± = ±
∫∫∫
5.
6.
可推广到任意有限个函数代数和的情况
4
§4.2 定积分的计算
() [,] ()
x
a
fxpx x bdx a=∈
∫
变，称为上限积分
（1）)())(( xfdttf
x
x
a
=
′
∫
2
0
(sin)
x
x
ttdt
′
∫
例：
(()) ()
b
x
x
ftdt fx
′
=?
∫
xx sin
2
=
0
2
(sin)
x
x
ttdt
′
∫
例：xx sin
2
=
（2）
() [,] () ()
[,]
fx ab Fx fx
ab
设在上连续，若是在上的一个原函数，则
牛顿莱布尼兹公式定理：
()() () ()
b
a
b
a
Ffxdx Fb Fx a==?
∫
5
例（1）
∫
1
0
2
dxx
1
0
3
1
3
x=
3
1
=
∫
2
0
sin
π
xdx
2
0
cos x
π
=?
1
)0cos
2
(cos
=
=
π
（2）
∫
1
0
2
dxxe
x
∫
=
1
0
2
xdxe
x
∫
=
1
0
2
)(
2
1
2
xde
x
2
1
0
1
2
x
e=
)1(
2
1
= e
2
0
1x dx?
∫ ∫∫
+?=
2
1
1
0
)1()1( dxxdxx
12
0
22
1
11
()()
22
xx xx=+
1
2
1
2
1
=+=
（3）
（4）
6
§4.3 定积分的两个积分法则一、定积分换元积分法
() [,]
() [,]
() [,]
() [,]
()
()
fx ab
t
x
t
t
a
b
t
xab
αβ
αβ
α
β
′
=
=
=
=
若函数在上连续，
且函数在上是的，
且有连续的导数，当在上变化时，的有值在上变化，
单值
，
，
注：换元的同时要换限
() [ ]( ) [()] ()() ()
b
a
f xdx f d f t tdtt t
β β
αα

′
==
∫∫ ∫
则有定积分换元公式：
例1：
∫
+
+
4
0
12
2
dx
x
x
2
1
2
1 2
t
xdxtxt d+=
==，则，令
0 1x t= =当时,4 3 x t= =当时，
2
34
0 1
1
2
2
2
21
t
x
dx t
t
td
x
+
+
=
+
∫∫ ∫
+=
3
1
2
)3(
2
1
dtt
3
1
3
)3
3
1
(
2
1
tt +=
3
22
=
解：
7
例2：
0
2
0
1
22
11sincosxdx t ttd
π
=
∫∫
∫
1
0
2
1 dxx
sin cosdttx xt d==，令则
0 0 x t= =当时，
2
1 x t
π
==当时，
2
0
)2sin
2
1
(
2
1
π
tt +=
4
π
=
∫
=
2
0
2
cos
π
tdt
∫
+
=
2
0
2
2cos1
π
dt
t
解：
0
()
(1) () ()
(2) ( )
[,]
0
2()()
a
a
a
a
a
fx
fx fxd
aa
f xd
x
fx fxdx x
=
=
∫
∫ ∫
设在上连续，证明：
若为，则若奇
，则数为函数偶函例3：
奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分可以简化计算
8
1
4
1
sin dxxx
∫
0=
∫
+
+
1
1
2
2
1
sin
dx
x
xx
1
1
2
1
2
1
2
sin
11
xx
dx dx

+
+
=
+
∫∫
0
1
2
1
0
2
2
+
+
=
∫
dx
x
x
∫
+
=
1
0
2
)
1
1
1(2 dx
x
1
0
)arctan(2 xx?=
2
2
π
=
例（1）
（2）
二、定积分分部积分法
()
bb
b
a
aa
udv uv vdu=?
∫∫
例1：
∫
π
0
cos xdxx
0
sin()dxx
π
=
∫ ∫
=
π
π
0
0
sinsin xdxxx
π
0
)cos(0 x= 2?=
9
∫
1
0
dxxe
x
1
0
()
x
xed=
∫ ∫
=
1
0
1
0
dxexe
xx
1
0
x
ee?= 1)1( == ee
例2：
1
ln
e
xdx
∫
∫
=
e
e
xxdxx
1
1
)(lnln
∫
=
e
dx
x
xe
1
1
∫
=
e
dxe
1
e
xe
1
=
(1)1ee==
例3：
例4：
1
0
x
edx
∫
∫
=
1
0
2
)(tde
t
∫
=
1
0
2tdte
t
∫
=
1
0
2 dtte
t
1
0
2()
t
ted=
∫
][2
1
0
1
0
∫
= dtete
tt
][2
1
0
t
ee?=
2)]1([2 == ee
xt=令
2
xt=
10
§4.4 定积分的应用一、平面图形的面积
1212
(() ()
() (
()
) fx fyfxyfx
xaxb
x
ab
==
==
≥
<
求由两条连续曲线、
以及直线、所围成的曲边梯形的面积
12
[() ()]
b
a
Afxfxdx=?
∫
(1) 作草图
(2) 求交点
=
=
xy
xy
2
），（），交点（1 1,0 0?
1
2
0
)) ((3 S xxdx=?
∫
1
0
32
)
3
1
2
1
( xx?=
6
1
=
2
yx yx S==求抛物线和直线所围图形的面积例1：
解：
11
(1) 作草图
(2) 求交点
2
2
yx
xy
=
+=
( 2,4) (1,1)交点，
1
2
2
[(2 ) ](3) S xxdx
=
∫
1
23
2
11
(2 )
23
xx x
=
9
2
=
2
2yx xy S=+=求抛物线和直线所围图形面积例2：
解：
O
x
y
2
xy =
2=+ yx
2? 1
A
B
(1) 作草图
(2) 求交点
=
=
4
2
2
xy
xy
），（），交点（4 8,2 2
(3)
为积分变量以 x
21
SSS +=
2
24yx yx S==?求抛物线和直线所围图形面积
28
02
[ 2 ( 2 )] [ 2 ( 4)]x x dx x x dx=+
∫∫
18=
例3：
解：
12
4
2
2
1
[( 4) ]
2
yS yyd
=+?
∫
(3)
4
2
32
)
6
1
4
2
1
(
+= yyy
为积分变量以 y
18=
n
xxx
x
n
+++
=
"
21
,],[ )( 上的平均值在连续函数baxfy =
1
()
b
a
yfxd
ba
=
∫
二、连续函数在闭区间上的平均值
13
例：上的平均值在求 ]1,1[ 1)(
32
+?= xxxf
∫
+?

=
1
1
32
)1(
)1(1
1
dxxxy
11
1
23
1
1
[]
2
(1 )x dx dxx

=+?
∫∫
]0)1(2[
2
1
1
0
2
+=
∫
dxx
∫
=
1
0
2
)1( dxx
1
0
3
)
3
1
( xx?=
3
2
=
解：
一、无穷区间广义积分
（1）
lim( )) (
b
aba
fx dxdx fx
→+∞
+∞
=
∫ ∫
lim ( )()
b
aa
b
fx dxdx fx
→?∞?∞
=
∫ ∫
() (() ( ))
c
c
fxdx fxfxdx dx c
+∞
+∞
∞∞
=+
∫∫∫
为任一实数
（3）
（2）
§4.6 广义积分
14
例1：
0
x
edx
+∞
∫
0
lim
x
b
b
edx
→
+∞
=
∫
b
x
b
e
0
)(lim
+∞→
=
)1(lim
b
b
e
+∞→
= 1=
1
1
dx
x
+∞
∫
1
1
lim
b
b
dx
x
→+∞
=
∫
b
b
x
1
)(lnlim
+∞→
=
)1ln(lnlim?=
+∞→
b
b
+∞=
例2:
发散例3：
2
0
1
1
dx
x
+∞
+
∫
2
0
1
lim
1
b
b
dx
x
→+∞
=
+
∫
0
lim arctan
b
b
x
→+∞
=
lim arctan
b
b
→+∞
=
2
π
=
15
二、无界函数广义积分
[,]
()
ab
fx
下面讨论积分区间有限，而被积函数在这个区间的某一端点中间或处无界某点的积分。
() fx a在点处无界的广义积分：
（1）
0
lim) ()(
bb
a a
f xdf xxdx
εε +→+
=
∫ ∫
() fx b在点处无界的广义积分：（2）
0
lim (( ))
b
a
b
a
f xdfxd xx
ε
ε
→+
=
∫ ∫
() fx c在点处无界的广义积分：
1
212
00
lim ( ) lim ( )
cb
ac
f xdx f xdx
ε
εεε
+→+ →+
+=
∫∫
（3）
() () ()
c
c
bb
aa
f x dx f x dx f x dx=+
∫∫∫
16
例1：
错误解法：
∫
a
dx
xa
0 22
1
a
a
a
x
dx
xa
0
0 22
arcsin
1
=
∫
2
0
arcsinarcsin
π
=?=
aa
a
xa
→，当时被积函数无界
22 22000
11
lim
aa
dx dx
xax a
ε
ε
→+
∴ =

∫ ∫
ε
ε
+→
=
a
a
x
0
0
arcsinlim
a
a ε
ε
=
+→
arcsinlim
0
2
1arcsin
π
==
解：
×
∫
1
0
2
1
dx
x
0x
+
→，当时被积函数无界
0
1
2
1
2
0
1
lim
1
d dx
x
x
x
εε→+
∴ =
∫ ∫
1
0
)
1
(lim
ε
ε
x
=
+→
)
1
1(lim
0
ε
ε
+?=
+→
∞=
发散例2：
解：