1
Chap3不定积分不定积分
§3.1 原函数与不定积分的概念
§3.2 不定积分的性质与基本公式
§3.3 换元积分法
§3.4 分部积分法
§3.1 原函数与不定积分的概念一、原函数定义：
() ()
() (() () )
Fx f
Fx fx I
IFx x xf
I
′
=
设函数与在区为在区间上都有定义，
若在上，则间上的一个称原函数。
2
2
sin
() ()
x
fx e fx例：已知的一个原函数是，求
2
sin
() ( )
x
fx e
′
=
)(sin
2sin
2
′
= xe
x
)(cos
22sin
2
′
= xxe
x
2sin
cos2
2
xex
x
=
二、不定积分定义：
() ()
( )
fx I fx
I fxdx
∫
在区间上的全体原函数，称为在上的不定积分，记作
∫
其中称为积分号，
() fx为被积函数，
() fxdx为被积表达式,x为积分变量
() ()
) (()fxd
Fx fx
xx cFc=+
∫
如果是的一个原函数，则有：
，其中称为积分常数
3
§3.2 不定积分的性质和基本公式一、不定积分的性质
1.常数因子可由积分号内提出
() ( 0) kf x dx k f x d kkx ≠=
∫∫
即（为常数，且）
[() ()] () () f x g xdx f xdx g xdx±= ±
∫∫∫
即
2.两个函数代数和的不定积分，等于这两个函数不定积分的代数和。
可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形二、不定积分的基本公式
() () () ()fxdx Fx cFx fx= = +
′
∫
如果，则
0dx c=
∫
1dx c dx xx c=+ =+
∫∫
（常简写为）
1
1
1
0xx
x
dx c
α
α
α
α
+
=+ ≠?>
+
∫
（，）
（1）
（2）
（3）
1
ln x
x
dx c=+
∫
（4）
4
xx
dx cee= +
∫
l
0
n
1
x
x
a
a
a
dx c a a= +>≠
∫
（，）
cos sindx cxx= +
∫
sin cosdx x cx =? +
∫
2
sec tandx cxx= +
∫
2
csc cotdx x cx =? +
∫
（5 ）
（6 ）
（7 ）
（8 ）
（9 ）
（10）
2
1
arcsin
1
x
x
dx c
= +
∫
2
1
arctan
1
x
x
dx c
+
= +
∫
（13）
（14）
sec tan secdx x cxx= +
∫
csc cot cscdxxxcx =? +
∫
（12）
（11）
5
例（1）
4
5
(3 2 3sin )
x
xxdx
x
+?+
∫
4
35
1
2sin3
x
x
dx dx dx dx=+?+
∫∫ ∫ ∫
5
32
5ln 3cos
5ln2
x
xxcx=+ +
∫
+?+ dxx
x
x
x )cos4
12
5(
2
1
2
2
1
cos52 4xxdx dx dx xdx
x
=+?+
∫∫∫ ∫
1
3
2
5
2ln 2 4sin
3
x cxx x=+?+ +
（2）
6
（3）
∫
dx
x
2
sin
2
1cos
2
dx
x?
=
∫ ∫∫
= xdxdx cos
2
1
2
1
11
sin
22
x cx=? +
∫
xdx
2
tan
2
(sec 1)x dx?=
∫ ∫∫
= dxxdx
2
sec
tan xxc=?+
（4）
2
cos
2
x
dx
∫
2
cot xdx
∫
（5）
∫
+
dx
x
x
2
2
1
2
2
(1 ) 1
1
dx
x
x
+
+
=
∫
∫∫
+
= dx
x
dx
2
1
1
arctan cxx=? +
7
§3.3 换元积分法
sin2xdx
∫
1
(2 )
2
sin2 dx x=?
∫ ∫
= )2(2sin
2
1
xxd
∫
= tdtsin
2
1
2xt=令
ct +?= cos
2
1
cx+?= 2cos
2
1
一、第一换元积分法（凑微分法）
例：
凑微分的主要形式：
）是常数，，（0 )(
1
≠+= ababaxd
a
dx
)(
2
1
2
xdxdx =
)(
1
1
1+
+
=
μμ
μ
xddxx
)(
xx
eddxe =
)(ln
1
xddx
x
=
)
1
(
1
2
x
ddx
x
=
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
8
（6）)(cossin xdxdx?= )(sincos xdxdx =
)(tansec
2
xdxdx = )(cotcsc
2
xdxdx?=
)(sectansec xdxdxx =
)(csccotcsc xdxdxx?=
)(arcsin
1
1
2
xddx
x
=
)(arctan
1
1
2
xddx
x
=
+
（7）
（8）
（9）
例（1）
2
(3 5) xx d+
∫
2
1
(3 5)
3
(3 5) dxx=?++
∫
∫
++= )53()53(
3
1
2
xdx
cx ++=
3
)53(
9
1
∫
dx
x54
1
1
2
(4 5 ) dxx
=?
∫
1
2
(
1
()(4 )
5
4) 55 dxx
=
∫
∫
=
)54()54(
5
1
2
1
xdx
1
2
2
(4 5 )
5
xc= +
（2）
9
例（1）
∫
+
dx
x
x
10
4
1
52
4
1( )x
x
dx=
+
∫
52
5
1
1( )
1
()
5
d
x
x=
+
∫
cx +=
5
arctan
5
1
∫
dxxx
2
sin
2
sin xx xd=?
∫
2 2
(
2
sin
1
)x dx=
∫
cx +?=
2
cos
2
1
（2）
23
(2 3)xxx d+
∫
23 2
1
(2 3)23)
4
( dxx= ++
∫
cx ++?=
42
)32(
4
1
4
1
cx ++=
42
)32(
16
1
（3）
10
例（1）
∫
dx
e
e
x
x
)(cos
2
2
sec ( )
x x
de ex=?
∫
2
sec ( ) ()
x x
de e=
∫
ce
x
+= )tan(
∫
dx
xxln
1
11
ln x
dx
x
=?
∫
(l
ln
n)
1
d
x
x=
∫
cx += lnln
（2）
∫
dx
x
e
x
2
1
1
2
1
x
dx
x
e=?
∫
1
1
()
x
d
x
e=?
∫
ce
x
+?=
1
（3）
11
例（1）
∫
xdxtan
cos
sin x
x
x
d=
∫
1
co
c)
s
(osdx
x
=?
∫
cx +?= cosln
∫
xdxcot
3
cossin x xdx
∫
3
(ssi in )n dx x=
∫
cx+=
4
sin
4
1
（2）
例（1）
22
arcsi
1
ndx
ax
x
c
a
=
+
∫
∫
dx
x
2
4
1
c
x
+=
2
arcsin
例如：
（2）
22
1
arctan
1 x
c
a
dx
ax a
=
+
+
∫
∫
+
dx
x
2
3
1
c
x
+=
3
arctan
3
1
例如：
12
二、第二换元积分法
∫
+
dx
x1
1
∫
+
= )(
1
1
2
td
t
∫
+
= dt
t
t
1
2
∫
+
+
= dt
t
t
1
1)1(
2
∫∫
+
+
= )1(
1
1
22 td
t
dt
ctt ++?= 1ln22
cxx ++?= )1ln(22
x t=令
2
x t=
例：
(1)
n n
xt x=令，可消去根号
() 2
n n
ax b t ax b+= +令，可消去根号
22
sin cos(3) ax xatat?=对，可令或
taxax tan
22
=+可令，对
taxax sec
22
=?可令，对
三角代换例如：
注：在不定积分中，所有开根号都取正。
13
例：
∫
dx
x
xsin
∫
= )(
sin
2
td
t
t
∫
= tdt
t
t
2
sin
∫
= tdtsin2
ct +?= cos2
cx +?= cos2
xt=令
2
xt=
例：
3
1
(1 )xx
dx
+
∫
∫
+
= )(
)1(
1
6
23
td
tt
∫
+
= dtt
tt
5
23
6
)1(
1
∫
+
= dt
t
t
2
2
1
6
∫
+
+
= dt
t
t
2
2
1
1)1(
6
∫
+
= dt
t
)
1
1
1(6
2
ctt +?= )arctan(6
cxx +?= )arctan(6
66
6
xt=令
14
例（1）
∫
>?）（0
22
adxxa
∫
= tdtata coscos
∫
= tdta
22
cos
∫
+
= dt
t
a
2
2cos1
2
∫
+= dtt
a
)2cos1(
2
2
])2(2cos
2
1
[
2
2
∫∫
+= ttddt
a
ctt
a
++= )2sin
2
1
(
2
2
cttt
a
++= )cossin(
2
2
c
a
xa
a
x
a
xa
+
+= )(arcsin
2
222
cxax
a
xa
+?+=
22
2
2
1
arcsin
2
sin
x
t
a
=
22
cos
ax
t
a
=
sinxa t=令
t
a
x
22
xa?
（2）
∫
>
）（0
1
22
adx
ax
∫
= )sec(
tan
1
tad
ta
∫
= dt
ta
tta
tan
tansec
∫
= tdtsec
ctt ++= tansecln c
a
ax
a
x
+
+=
22
ln
c
a
axx
+
+
=
22
ln
caaxx ++= lnln
22
caxx ′+?+=
22
ln
sec
x
t
a
=
22
tan
xa
t
a
=
secxa t=令
t
x 22
ax?
a
15
（3）
∫
>
+
）（0
1
22
adx
ax
∫
= )tan(
sec
1
tad
ta
∫
= dt
ta
ta
sec
sec
2
∫
= tdtsec
ctt ++= tansecln c
a
x
a
ax
++
+
=
22
ln
c
a
xax
+
++
=
22
ln
caxax +?++= lnln
22
cxax ′+++=
22
ln
tan
x
t
a
=
22
sec
xa
t
a
+
=
tanxa t=令
t
22
ax +
x
a
§3.4 分部积分法
udv uv vdu=?
∫∫
分部积分公式
udv关键：适当地划分与
16
()
ax
n
pxedx
∫
()
n
px u dv=可设，其余部分为
∫
dxxe
x
()
x
xd e=
∫
∫
= dxexe
xx
cexe
xx
+?=
x
xue v==令，
例1：
（1）
x
xe dx
∫
例2：
∫
dxex
x2
2
()
x
x d e=
∫
∫
= )(
22
xdeex
xx
∫
= dxxeex
xx
2
2
2
2()
xx
xxe de=?
∫
][2
2
∫
= dxexeex
xxx
cexeex
xxx
++?= 22
2
cxxe
x
++?= )22(
2
2
x
xuev= =令，
x
xue v= =令，
再次使用分部积分法
17
()sin ()cos
nn
p x axdx p x axdx
∫ ∫
或
()
n
px u dv=可设，其余部分为
∫
xdxxcos
si()ndxx=
∫
∫
= xdxxx sinsin
sin cosxx xc=++
sinxu xv==令，
例1：
（2）
sinx xdx
∫
2
cosxxdx
∫
∫
xdxx sin)1(
()(1cos)xxd=
∫
∫
= )1()cos(cos)1( xdxxx
∫
+?= xdxxx coscos)1(
cxxx ++?= sincos)1(
1 cosxu xv?=? =令，
例2：
18
( )arcsin ( )arctan
nn
p x xdx p x xdx
∫ ∫
或
udvdxxp
n
)( 其余部分为，可设=
∫
xdxarcsin
∫
= )(arcsinarcsin xxdxx
2
arcsin
1
dxx
x
x
x
=?
∫
∫
+=
)1()1(
2
1
arcsin
2
2
1
2
xdxxx
cxxx +?+=
2
1arcsin
arcsin xu xv= =令，
例1：
（3）
arcsin xdx
arctan xdx
∫
例2：
∫
xdxxarctan
arctan dx xx=?
∫
2
1
arcta )n (
2
dxx=
∫
∫
= )(arctan
2
1
arctan
2
1
22
xdxxx
∫
+
= dx
x
x
xx
2
2
2
12
1
arctan
2
1
∫
+
= dx
x
xx )
1
1
1(
2
1
arctan
2
1
2
2
cxxxx ++?= arctan
2
1
2
1
arctan
2
1
2
2
1
arctan
2
xu x v= =令，
19
()ln
n
p x axdx
∫
udvdxxp
n
)( 其余部分为，可设=
ln xdx
∫
∫
= )(lnln xxdxx
∫
= dx
x
xxx
1
ln
∫
= dxxxln
cxxx +?= ln
ln xuxv==令，
例1：
（4）
xdx
例2：
∫
xdxx ln
3
4
1
ln
4
()dxx=
∫
∫
= )(ln
4
1
ln
4
1
44
xdxxx
∫
= dx
x
xxx
1
4
1
ln
4
1
44
∫
= dxxxx
34
4
1
ln
4
1
cxxx +?=
44
16
1
ln
4
1
4
1
ln
4
xu x v= =令，
20
sin cos
ax ax
e bxdx e bxdx
∫∫
或
ax ax
euedxdv==可任意设或，但前后应一致
∫
xdxe
x
cos
sin()
x
e d x=
∫
∫
= )(sinsin
xx
exdxe
sinsin
xx
edxex x=?
∫
()ssin co
xx
exe d x?=?
∫
∫
+= )()cos()cos(sin
xxx
edxxexe
sin cos cos
xxx
eexe xxx d=+?
∫
cos
x
exdx∴ =
∫
sin
x
eu xv= =令，
cos
x
eu xv=?=令，
例：
（5）
1
(sin cos )
2
x
exxc+ +
sin
x
e xdx
∫
1
x
edx
∫
例：
∫
= )(
2
tde
t
∫
= tdte
t
2
2
t
te dt=
∫
2()
t
td e=
∫
)(2
∫
= dtete
tt
cete
tt
+?= )(2
ceex
xx
+?= )(2
xt=令
2
xt=
t
tue v= =令，
21
解：
()xf xdx
′
∫
()xdf x=
∫
() ()xf x f x dx=?
∫
2
()
x
fxdx e C
∴ =+
∫
2
2
2
x
xe
=?
2
x
eC
+
2
() ()2
x
f xef xdx
′
∫
已知的一个原函数是，求例：
2
()
x
x ef
∵原数是函的一个
22
() ( ) 2
xx
fx e xe
′
==?又
()xf x dx
′
∴
∫
() ()xf x f x dx=?
∫
Chap3不定积分不定积分
§3.1 原函数与不定积分的概念
§3.2 不定积分的性质与基本公式
§3.3 换元积分法
§3.4 分部积分法
§3.1 原函数与不定积分的概念一、原函数定义：
() ()
() (() () )
Fx f
Fx fx I
IFx x xf
I
′
=
设函数与在区为在区间上都有定义，
若在上，则间上的一个称原函数。
2
2
sin
() ()
x
fx e fx例：已知的一个原函数是，求
2
sin
() ( )
x
fx e
′
=
)(sin
2sin
2
′
= xe
x
)(cos
22sin
2
′
= xxe
x
2sin
cos2
2
xex
x
=
二、不定积分定义：
() ()
( )
fx I fx
I fxdx
∫
在区间上的全体原函数，称为在上的不定积分，记作
∫
其中称为积分号，
() fx为被积函数，
() fxdx为被积表达式,x为积分变量
() ()
) (()fxd
Fx fx
xx cFc=+
∫
如果是的一个原函数，则有：
，其中称为积分常数
3
§3.2 不定积分的性质和基本公式一、不定积分的性质
1.常数因子可由积分号内提出
() ( 0) kf x dx k f x d kkx ≠=
∫∫
即（为常数，且）
[() ()] () () f x g xdx f xdx g xdx±= ±
∫∫∫
即
2.两个函数代数和的不定积分，等于这两个函数不定积分的代数和。
可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形二、不定积分的基本公式
() () () ()fxdx Fx cFx fx= = +
′
∫
如果，则
0dx c=
∫
1dx c dx xx c=+ =+
∫∫
（常简写为）
1
1
1
0xx
x
dx c
α
α
α
α
+
=+ ≠?>
+
∫
（，）
（1）
（2）
（3）
1
ln x
x
dx c=+
∫
（4）
4
xx
dx cee= +
∫
l
0
n
1
x
x
a
a
a
dx c a a= +>≠
∫
（，）
cos sindx cxx= +
∫
sin cosdx x cx =? +
∫
2
sec tandx cxx= +
∫
2
csc cotdx x cx =? +
∫
（5 ）
（6 ）
（7 ）
（8 ）
（9 ）
（10）
2
1
arcsin
1
x
x
dx c
= +
∫
2
1
arctan
1
x
x
dx c
+
= +
∫
（13）
（14）
sec tan secdx x cxx= +
∫
csc cot cscdxxxcx =? +
∫
（12）
（11）
5
例（1）
4
5
(3 2 3sin )
x
xxdx
x
+?+
∫
4
35
1
2sin3
x
x
dx dx dx dx=+?+
∫∫ ∫ ∫
5
32
5ln 3cos
5ln2
x
xxcx=+ +
∫
+?+ dxx
x
x
x )cos4
12
5(
2
1
2
2
1
cos52 4xxdx dx dx xdx
x
=+?+
∫∫∫ ∫
1
3
2
5
2ln 2 4sin
3
x cxx x=+?+ +
（2）
6
（3）
∫
dx
x
2
sin
2
1cos
2
dx
x?
=
∫ ∫∫
= xdxdx cos
2
1
2
1
11
sin
22
x cx=? +
∫
xdx
2
tan
2
(sec 1)x dx?=
∫ ∫∫
= dxxdx
2
sec
tan xxc=?+
（4）
2
cos
2
x
dx
∫
2
cot xdx
∫
（5）
∫
+
dx
x
x
2
2
1
2
2
(1 ) 1
1
dx
x
x
+
+
=
∫
∫∫
+
= dx
x
dx
2
1
1
arctan cxx=? +
7
§3.3 换元积分法
sin2xdx
∫
1
(2 )
2
sin2 dx x=?
∫ ∫
= )2(2sin
2
1
xxd
∫
= tdtsin
2
1
2xt=令
ct +?= cos
2
1
cx+?= 2cos
2
1
一、第一换元积分法（凑微分法）
例：
凑微分的主要形式：
）是常数，，（0 )(
1
≠+= ababaxd
a
dx
)(
2
1
2
xdxdx =
)(
1
1
1+
+
=
μμ
μ
xddxx
)(
xx
eddxe =
)(ln
1
xddx
x
=
)
1
(
1
2
x
ddx
x
=
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
8
（6）)(cossin xdxdx?= )(sincos xdxdx =
)(tansec
2
xdxdx = )(cotcsc
2
xdxdx?=
)(sectansec xdxdxx =
)(csccotcsc xdxdxx?=
)(arcsin
1
1
2
xddx
x
=
)(arctan
1
1
2
xddx
x
=
+
（7）
（8）
（9）
例（1）
2
(3 5) xx d+
∫
2
1
(3 5)
3
(3 5) dxx=?++
∫
∫
++= )53()53(
3
1
2
xdx
cx ++=
3
)53(
9
1
∫
dx
x54
1
1
2
(4 5 ) dxx
=?
∫
1
2
(
1
()(4 )
5
4) 55 dxx
=
∫
∫
=
)54()54(
5
1
2
1
xdx
1
2
2
(4 5 )
5
xc= +
（2）
9
例（1）
∫
+
dx
x
x
10
4
1
52
4
1( )x
x
dx=
+
∫
52
5
1
1( )
1
()
5
d
x
x=
+
∫
cx +=
5
arctan
5
1
∫
dxxx
2
sin
2
sin xx xd=?
∫
2 2
(
2
sin
1
)x dx=
∫
cx +?=
2
cos
2
1
（2）
23
(2 3)xxx d+
∫
23 2
1
(2 3)23)
4
( dxx= ++
∫
cx ++?=
42
)32(
4
1
4
1
cx ++=
42
)32(
16
1
（3）
10
例（1）
∫
dx
e
e
x
x
)(cos
2
2
sec ( )
x x
de ex=?
∫
2
sec ( ) ()
x x
de e=
∫
ce
x
+= )tan(
∫
dx
xxln
1
11
ln x
dx
x
=?
∫
(l
ln
n)
1
d
x
x=
∫
cx += lnln
（2）
∫
dx
x
e
x
2
1
1
2
1
x
dx
x
e=?
∫
1
1
()
x
d
x
e=?
∫
ce
x
+?=
1
（3）
11
例（1）
∫
xdxtan
cos
sin x
x
x
d=
∫
1
co
c)
s
(osdx
x
=?
∫
cx +?= cosln
∫
xdxcot
3
cossin x xdx
∫
3
(ssi in )n dx x=
∫
cx+=
4
sin
4
1
（2）
例（1）
22
arcsi
1
ndx
ax
x
c
a
=
+
∫
∫
dx
x
2
4
1
c
x
+=
2
arcsin
例如：
（2）
22
1
arctan
1 x
c
a
dx
ax a
=
+
+
∫
∫
+
dx
x
2
3
1
c
x
+=
3
arctan
3
1
例如：
12
二、第二换元积分法
∫
+
dx
x1
1
∫
+
= )(
1
1
2
td
t
∫
+
= dt
t
t
1
2
∫
+
+
= dt
t
t
1
1)1(
2
∫∫
+
+
= )1(
1
1
22 td
t
dt
ctt ++?= 1ln22
cxx ++?= )1ln(22
x t=令
2
x t=
例：
(1)
n n
xt x=令，可消去根号
() 2
n n
ax b t ax b+= +令，可消去根号
22
sin cos(3) ax xatat?=对，可令或
taxax tan
22
=+可令，对
taxax sec
22
=?可令，对
三角代换例如：
注：在不定积分中，所有开根号都取正。
13
例：
∫
dx
x
xsin
∫
= )(
sin
2
td
t
t
∫
= tdt
t
t
2
sin
∫
= tdtsin2
ct +?= cos2
cx +?= cos2
xt=令
2
xt=
例：
3
1
(1 )xx
dx
+
∫
∫
+
= )(
)1(
1
6
23
td
tt
∫
+
= dtt
tt
5
23
6
)1(
1
∫
+
= dt
t
t
2
2
1
6
∫
+
+
= dt
t
t
2
2
1
1)1(
6
∫
+
= dt
t
)
1
1
1(6
2
ctt +?= )arctan(6
cxx +?= )arctan(6
66
6
xt=令
14
例（1）
∫
>?）（0
22
adxxa
∫
= tdtata coscos
∫
= tdta
22
cos
∫
+
= dt
t
a
2
2cos1
2
∫
+= dtt
a
)2cos1(
2
2
])2(2cos
2
1
[
2
2
∫∫
+= ttddt
a
ctt
a
++= )2sin
2
1
(
2
2
cttt
a
++= )cossin(
2
2
c
a
xa
a
x
a
xa
+
+= )(arcsin
2
222
cxax
a
xa
+?+=
22
2
2
1
arcsin
2
sin
x
t
a
=
22
cos
ax
t
a
=
sinxa t=令
t
a
x
22
xa?
（2）
∫
>
）（0
1
22
adx
ax
∫
= )sec(
tan
1
tad
ta
∫
= dt
ta
tta
tan
tansec
∫
= tdtsec
ctt ++= tansecln c
a
ax
a
x
+
+=
22
ln
c
a
axx
+
+
=
22
ln
caaxx ++= lnln
22
caxx ′+?+=
22
ln
sec
x
t
a
=
22
tan
xa
t
a
=
secxa t=令
t
x 22
ax?
a
15
（3）
∫
>
+
）（0
1
22
adx
ax
∫
= )tan(
sec
1
tad
ta
∫
= dt
ta
ta
sec
sec
2
∫
= tdtsec
ctt ++= tansecln c
a
x
a
ax
++
+
=
22
ln
c
a
xax
+
++
=
22
ln
caxax +?++= lnln
22
cxax ′+++=
22
ln
tan
x
t
a
=
22
sec
xa
t
a
+
=
tanxa t=令
t
22
ax +
x
a
§3.4 分部积分法
udv uv vdu=?
∫∫
分部积分公式
udv关键：适当地划分与
16
()
ax
n
pxedx
∫
()
n
px u dv=可设，其余部分为
∫
dxxe
x
()
x
xd e=
∫
∫
= dxexe
xx
cexe
xx
+?=
x
xue v==令，
例1：
（1）
x
xe dx
∫
例2：
∫
dxex
x2
2
()
x
x d e=
∫
∫
= )(
22
xdeex
xx
∫
= dxxeex
xx
2
2
2
2()
xx
xxe de=?
∫
][2
2
∫
= dxexeex
xxx
cexeex
xxx
++?= 22
2
cxxe
x
++?= )22(
2
2
x
xuev= =令，
x
xue v= =令，
再次使用分部积分法
17
()sin ()cos
nn
p x axdx p x axdx
∫ ∫
或
()
n
px u dv=可设，其余部分为
∫
xdxxcos
si()ndxx=
∫
∫
= xdxxx sinsin
sin cosxx xc=++
sinxu xv==令，
例1：
（2）
sinx xdx
∫
2
cosxxdx
∫
∫
xdxx sin)1(
()(1cos)xxd=
∫
∫
= )1()cos(cos)1( xdxxx
∫
+?= xdxxx coscos)1(
cxxx ++?= sincos)1(
1 cosxu xv?=? =令，
例2：
18
( )arcsin ( )arctan
nn
p x xdx p x xdx
∫ ∫
或
udvdxxp
n
)( 其余部分为，可设=
∫
xdxarcsin
∫
= )(arcsinarcsin xxdxx
2
arcsin
1
dxx
x
x
x
=?
∫
∫
+=
)1()1(
2
1
arcsin
2
2
1
2
xdxxx
cxxx +?+=
2
1arcsin
arcsin xu xv= =令，
例1：
（3）
arcsin xdx
arctan xdx
∫
例2：
∫
xdxxarctan
arctan dx xx=?
∫
2
1
arcta )n (
2
dxx=
∫
∫
= )(arctan
2
1
arctan
2
1
22
xdxxx
∫
+
= dx
x
x
xx
2
2
2
12
1
arctan
2
1
∫
+
= dx
x
xx )
1
1
1(
2
1
arctan
2
1
2
2
cxxxx ++?= arctan
2
1
2
1
arctan
2
1
2
2
1
arctan
2
xu x v= =令，
19
()ln
n
p x axdx
∫
udvdxxp
n
)( 其余部分为，可设=
ln xdx
∫
∫
= )(lnln xxdxx
∫
= dx
x
xxx
1
ln
∫
= dxxxln
cxxx +?= ln
ln xuxv==令，
例1：
（4）
xdx
例2：
∫
xdxx ln
3
4
1
ln
4
()dxx=
∫
∫
= )(ln
4
1
ln
4
1
44
xdxxx
∫
= dx
x
xxx
1
4
1
ln
4
1
44
∫
= dxxxx
34
4
1
ln
4
1
cxxx +?=
44
16
1
ln
4
1
4
1
ln
4
xu x v= =令，
20
sin cos
ax ax
e bxdx e bxdx
∫∫
或
ax ax
euedxdv==可任意设或，但前后应一致
∫
xdxe
x
cos
sin()
x
e d x=
∫
∫
= )(sinsin
xx
exdxe
sinsin
xx
edxex x=?
∫
()ssin co
xx
exe d x?=?
∫
∫
+= )()cos()cos(sin
xxx
edxxexe
sin cos cos
xxx
eexe xxx d=+?
∫
cos
x
exdx∴ =
∫
sin
x
eu xv= =令，
cos
x
eu xv=?=令，
例：
（5）
1
(sin cos )
2
x
exxc+ +
sin
x
e xdx
∫
1
x
edx
∫
例：
∫
= )(
2
tde
t
∫
= tdte
t
2
2
t
te dt=
∫
2()
t
td e=
∫
)(2
∫
= dtete
tt
cete
tt
+?= )(2
ceex
xx
+?= )(2
xt=令
2
xt=
t
tue v= =令，
21
解：
()xf xdx
′
∫
()xdf x=
∫
() ()xf x f x dx=?
∫
2
()
x
fxdx e C
∴ =+
∫
2
2
2
x
xe
=?
2
x
eC
+
2
() ()2
x
f xef xdx
′
∫
已知的一个原函数是，求例：
2
()
x
x ef
∵原数是函的一个
22
() ( ) 2
xx
fx e xe
′
==?又
()xf x dx
′
∴
∫
() ()xf x f x dx=?
∫
