1
Chap9
模糊数学
§9.1 普通集合
§9.2 模糊集合
§9.3 模糊关系
§9.4 综合评判
§9.5 模糊聚类分析
§9.2 模糊集合一、模糊集合与隶属函数
1.模糊集合的定义
[0,1]
()
()
()
A
A
A
x
x
xxA
Xx
xX A
AxX
Aμ
μ
μ
=∈
null
null
null
null
null
null
null
如果对论域中的每一个元素，都规定了中的一个实表示对的隶属度，
数，则得到上的一个模糊集合，
称为的
，
其中隶属函数定义：
2
2.模糊集合的表示法
12
12
()() ()
A nAA
n
xxx
xx x
A
μμμ
+++= null
单点表示法
10 0.8 0.2
A
ab dc
+++=
10.80.2
ab c
=+ +
（1）
（其中隶属度为0的可省略不写）
例如：
12
(() () ()
AA An
xxA xμ μμ= null，，，
向量表示法
)0 2.0 8.0 1(，，，=A
（2）
例如：
二、模糊集合的运算
1.模糊集的并
max
() () ()(() ()
AB A BAB
AB X
X
Xx
x
AB
AB
xxx xμμμμ μ == ∨
∨
∪
∪
设、是论域上的两个模糊集，那么也是上的模糊集，其隶属函数定义为：
对中的所有，有
，
其中“”为取大和的并集运算符号
3
2.模糊集的交
() (
)()
min( ( ) ( ))
A ABABB
AB X
X
Xx
x
AB
AB
xxx xμμμμ μ == ∧
∧
∩
∩
设、是论域上的两个模糊集，那么也是上的模糊集，其隶属函数定义为：
对中的所有，有
，
其中“”为取小和的交集运算符号
3.模糊集的补
() 1 ()
A
A
AA
x
X
X
x
A
X
x
μμ=?
设是论域上的模糊集，那么也是上的模糊集，其隶属函数定义为：对中的所有，有的补集例：
12345
124
135
0.3 0.5 0.8
0.6 0.8
{}
.
0
7
X xxxxx
xxx
xxx
A
B
=++
=+
=
+
设论域上的两个模，糊集，，为，
则
12345
0.3 0.5 00.6 0 0.8 0 0.70.8 0
x
B
xx x
A
x
∨∨∨∨∨
= ++++∪
54321
7.08.08.05.06.0
xxxxx
++++=
4
12345
0.3 0.5 00.600.800.70.8 0
x
B
xx x
A
x
∧∧∧∧∧
= ++++∩
1 2345
000.3 00
xx xxx
++++=
1
3.0
x
=
12345
1110 11.3 0.5 0 0.8 0
x xxxx
A
=++++
54321
12.015.07.0
xxxxx
++++=
三、
λ?模糊集的截集
{( [0,1] ) }
A
Axx x
AA
A X
λ
λ
λ μλ
λ
≥
∈ =∈设模糊集，，
为的
，，记称截集定义：A
λ
是一个普通集合例：
54321
54321
9.05.08.05.03.0
}{
xxxxx
A
xxxxxX
++++=
=，，，，设
8.0
A
35
{}xx=，
5.0
A
2345
{}xxxx=，，，
5
§9.3 模糊关系一、模糊关系的概念
(,)
,
(,)
(,
(,
)
)[01]
R
R
R
XY
xy
RxXyY
XY XY
R
xy
x
x
x R
y
y
y
μ
μ
μ
=
×
∈∈
∈
null
null
null
null
null
null
设和是两个普通集合，以为论域的模糊集合，称为其中表示和具有关系的程到的一个模糊关系，表示为隶属度
，
度，
XX X把到的模糊关系称为上的模糊关系定义：
二、模糊矩阵及其运算
11 12 1
21 2
12 12
22
12
{ } { }
( ) [
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
01]
)
,
RR Rn
Rm Rm R
mn
Rij
mn
xy xy xy
xy xy xy
R
xy xy xy
Xxx x Yyy y
XY R
xy
μμ μ
μμ
μ
μ
μ
=
=
= nullnull
null
null
nullnull null
null
设，，，，，，，都是有限集，到的一个模糊关系可表示为：
其中
，，，
，，，
每
，，，
个元素，都是中 的数，这样的矩阵称为模糊矩阵。
1.模糊矩阵
6
2,λ?模糊矩阵的截矩阵
[0,1]
() 1 0
Ri j
RR
xy
λ
λλ
λλ
λ
μ
∈?
≥
<
设，类似于模糊集的截集，把模糊矩阵中的元素，凡的改为，改为，这样模糊矩阵的截矩阵，记称为作的矩阵
0.3 0.7 0.4
0.1 0.8 0.3
0.5 0.6 0.2
R
=
0.5
010
010
110
R
=
0.3
111
011
110
R
=
例如：
3.模糊矩阵的运算
（1）模糊矩阵的并
() ()
()
ij m n ij m n
ij ij m n
AB
Aa B
ab
bAB
×
××
=
=
∨
=
∪
设，，则和的并
()
(1 )
i
n
jm
ij m
n
A
Aa
aA
×
×
=?
=设，则的补
（2）模糊矩阵的交
（3）模糊矩阵的补
() ()
()
ij m n ij m n
ij ij m n
AB
Aa B
ab
bAB
×
××
=
=
∧
=
∩
设，，则和的交
7
例：
0.3 0.5 0.4 0.9
0.7 0.2 0.5 0.3
AB
==
设，
BA∪
∨∨
∨∨
=
3.02.05.07.0
9.05.04.03.0
=
3.07.0
9.04.0
BA∩
∧∧
∧∧
=
3.02.05.07.0
9.05.04.03.0
=
2.05.0
5.03.0
A
=
2.017.01
5.013.01
=
8.03.0
5.07.0
（1）
（2）
（3）
（4）模糊矩阵的合成
() ()
()
ik m n kj ns
ij m s
Aa XY Bb
YZ
A B
Cc C A
CB
A BCAB
XZ
××
×
=
=
=
=
null则和的合成表示到的模糊关系设表示到的模糊关系，
表示到的模糊关系，
其中的列数必须等于的行数，这里，即的行数和的行数相同，的列数和的列数相同
，
，其中：
{}
11
max min( )
( 1,2,,1,2,,
( )
)
n
ij ik kj ik kj
kkn
caba
im
b
js
=≤≤
==∨∧
==nullnull；
，
8
例1：
0.8 0.5 0.7 0.6
0.2 0.6 0.1 0
AB
==
设，
ABnull
(0.8 0.7) (0.5 0.1) (0.8 0.6) (0.5 0)
(0.2 0.7) (0.6 0.1) (0.2 0.6) (0.6 0)
∧∨∧ ∧∨∧
=
∧∨∧ ∧∨∧
∨∨
∨∨
=
02.01.02.0
06.01.07.0
=
2.02.0
6.07.0
例2：
()
0.5 0.5
0.3 0.5 0.2 0.6 0.4
0.2 0.8
AB
==
设，
ABnull
( )2.02.0()6.05.0()5.03.0( ∧∨∧∨∧=
()2.04.03.02.05.03.0 ∨∨∨∨=
()4.05.0=
31×
23×
))8.02.0()4.05.0()5.03.0( ∧∨∧∨∧
9
三、模糊等价关系满足自反性和对称性的模糊关系称为模糊相似关系
( )
模糊相似矩阵
( )
模糊等价矩阵满足传递性的模糊相似关系称为模糊等价关系
*
RR“改将一个模糊相似关系成模糊等价关系造”
例：
10.20.5
0.2 1 0.7
0.5 0.7 1
R
=
设
==
17.05.0
7.015.0
5.05.01
2
RRR null
22
10.50.5
0.5 1 0.7
0.5 0.7 1
RR
=
null而
*2
R R∴ =
2
R=
10
§9.5 综合评判例1：对某商品进行综合评判考虑三个因素
（价格）（耐用性）（花色款式）
321
uuu
123
{ }Uuuu=，因集，素
(0.3 0.5 0 2,)A =，，权重向量评价结果分成四个等级
（不受欢迎）（不太受欢迎）
（比较受欢迎）（很受欢迎）
43
21
vv
vv
1234
{ }V vvvv=抉，，，择集
①
②
③
123
uuu请一批顾客对，，三个因素分别作出评价单因素评判矩阵
=
05.03.02.0
1.05.04.00
01.07.02.0
R
④
BAR= null
0.2 0.7 0.1 0
(0.3 0.5 0.2) 0 0.4 0.5 0.1
0.2 0.3 0.5 0
=
null，，
(0.2 0.4 0,0.15 )=，，，
∴按最大隶属度原则，该商品不太受欢迎属“”等级
11
例2：对某人的健康状况进行综合评判考虑五个因素
)( )( )( )( )(
54321
精神状态睡眠状况食欲力气气色uuuuu
12345
{ }Uuuuuu=，，，，因素集
(0.2 0.1 0.3 0.2 0.2)A=，，，，权重向量评价结果分成四个等级
（很差）（较差）（一般）（健康）
4321
vvvv
1234
{ }V vvvv=抉，，，择集
①
②
五个因素分别作出评价，，，，
医生小组对请一批有经验的医生或
54321
uuuuu
单因素评判矩阵
=
1.02.03.04.0
2.005.03.0
1.01.04.04.0
01.04.05.0
01.02.07.0
R
BAR= null 0.3 0.3(0.20.2)=，，，
( )M ∧ ∨结论不应该是模糊的，问题出，现在算子中
③
④
12
0.7 0.2 0.1 0
0.5 0.4 0.1 0
(0.2 0.1 0.3 0.2 0.2) 0.4 0.4 0.1 0.1
0.30.500.2
0.4 0.3 0.2 0.1
=
null，，，，
BAR= null
(0.360.0.4 1.5 0009)=，，，
( ) ( )MM?+ ∧∨
null在模糊数学的综合评判中，合成“”算子用，算子来代替，算子
()
( ) M ∧ ∨∧? ∨ +把，中的“”改为“”，把“”改为“”
∴按最大隶属度原则，此人身体状况属“健康”等级
) () ( +?∨∧，改为，MM④
§9.5 模糊聚类分析一、模糊聚类分析模糊聚类分析是在模糊等价关系上进行的
R模糊相似关系建立
*
" "R R改造模糊等价关将模糊相似关系成系
* *
RR
λ
λ?截矩阵利用的来进行分类方法：
①
②
③
13
例：
12345
{ }
X xxxxx=设，，，，，表示由父亲、儿子、
女儿、邻居、母亲五人组成的集合
R表示他们之间的相像程度
=
11.09.085.02.0
1.0102.01.0
9.0018.06.0
85.02.08.018.0
2.01.06.08.01
R
1
x
3
x
4
x
2
x
5
x
1
x
3
x
4
x
2
x
5
x
对称性，满足自反性,R
）（RR ≠
2
但不满足传递性不是模糊等价关系是一个模糊相似关系,R∴
*
""R R改下面将相似关系成等价关系造
2
R RR= null
=
12.09.085.08.0
2.012.02.01.0
9.02.0185.08.0
85.02.085.018.0
8.02.08.08.01
222
RRR =null又
*2
R R∴ =
14
*
1
R
=
10000
01000
00100
00010
00001
12345
{}{}{}{}{}xxxxxX = ∪∪∪∪
1=λ取
*
0.9
R
=
10100
01000
10100
00010
00001
12354
{}{}{ }{}xX xxxx= ∪∪ ∪，
9.0=λ取
*
0.85
R
=
10110
01000
10110
10110
00001
12354
{}{ }{}x xxx xX = ∪∪，，
85.0=λ取
*
0.8
R
=
10111
01000
10111
10111
10111
1235 4
{}{}xxxx xX = ∪，，，
8.0=λ取
15
*
0.2
R
=
11111
11111
11111
11111
11111
12345
{}xxxX xx=，，，，
2.0=λ取三、用最大树法进行模糊聚类分析
（在被分类的元素比较多的时候）
ij
ij
r
r
R按的由大到小的顺序依次把这些元素用直线连起来，并标上直接从模糊相似矩阵中的值
(
01)
ij
rλ λλ ≤≤ <把的连取定值，
互相连通的元素归线为一类，即可将去掉，
元素分类方法：
1.画出被分类的所有元素
2.
①不能出现回路②所有元素都连上
3.
16
例：在上例中模糊相似矩阵
=
16.01.04.03.0
6.013.02.05.0
1.03.011.08.0
4.02.01.011.0
3.05.08.01.01
R
8.0
5.0
6.0
4.0
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
画出最大树：
8.0
5.0
6.0
4.0
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
0.8 1λ< ≤取时
0.6 0.8λ< ≤取时
0.5 0.6λ< ≤取时
0.4 0.5λ< ≤取时
00.4λ<≤取时
*
RR好处是将改造为的过程省了，特别是当被分类的元素较多的时候
}{}{}{}{}{
54321
xxxxxX ∪∪∪∪=
}{}{}{}{
54231
xxxxxX ∪∪∪，=
}{}{}{
54231
xxxxxX，，∪∪=
}{}{
25431
xxxxxX ∪，，，=
}{
54321
xxxxxX，，，，=
Chap9
模糊数学
§9.1 普通集合
§9.2 模糊集合
§9.3 模糊关系
§9.4 综合评判
§9.5 模糊聚类分析
§9.2 模糊集合一、模糊集合与隶属函数
1.模糊集合的定义
[0,1]
()
()
()
A
A
A
x
x
xxA
Xx
xX A
AxX
Aμ
μ
μ
=∈
null
null
null
null
null
null
null
如果对论域中的每一个元素，都规定了中的一个实表示对的隶属度，
数，则得到上的一个模糊集合，
称为的
，
其中隶属函数定义：
2
2.模糊集合的表示法
12
12
()() ()
A nAA
n
xxx
xx x
A
μμμ
+++= null
单点表示法
10 0.8 0.2
A
ab dc
+++=
10.80.2
ab c
=+ +
（1）
（其中隶属度为0的可省略不写）
例如：
12
(() () ()
AA An
xxA xμ μμ= null，，，
向量表示法
)0 2.0 8.0 1(，，，=A
（2）
例如：
二、模糊集合的运算
1.模糊集的并
max
() () ()(() ()
AB A BAB
AB X
X
Xx
x
AB
AB
xxx xμμμμ μ == ∨
∨
∪
∪
设、是论域上的两个模糊集，那么也是上的模糊集，其隶属函数定义为：
对中的所有，有
，
其中“”为取大和的并集运算符号
3
2.模糊集的交
() (
)()
min( ( ) ( ))
A ABABB
AB X
X
Xx
x
AB
AB
xxx xμμμμ μ == ∧
∧
∩
∩
设、是论域上的两个模糊集，那么也是上的模糊集，其隶属函数定义为：
对中的所有，有
，
其中“”为取小和的交集运算符号
3.模糊集的补
() 1 ()
A
A
AA
x
X
X
x
A
X
x
μμ=?
设是论域上的模糊集，那么也是上的模糊集，其隶属函数定义为：对中的所有，有的补集例：
12345
124
135
0.3 0.5 0.8
0.6 0.8
{}
.
0
7
X xxxxx
xxx
xxx
A
B
=++
=+
=
+
设论域上的两个模，糊集，，为，
则
12345
0.3 0.5 00.6 0 0.8 0 0.70.8 0
x
B
xx x
A
x
∨∨∨∨∨
= ++++∪
54321
7.08.08.05.06.0
xxxxx
++++=
4
12345
0.3 0.5 00.600.800.70.8 0
x
B
xx x
A
x
∧∧∧∧∧
= ++++∩
1 2345
000.3 00
xx xxx
++++=
1
3.0
x
=
12345
1110 11.3 0.5 0 0.8 0
x xxxx
A
=++++
54321
12.015.07.0
xxxxx
++++=
三、
λ?模糊集的截集
{( [0,1] ) }
A
Axx x
AA
A X
λ
λ
λ μλ
λ
≥
∈ =∈设模糊集，，
为的
，，记称截集定义：A
λ
是一个普通集合例：
54321
54321
9.05.08.05.03.0
}{
xxxxx
A
xxxxxX
++++=
=，，，，设
8.0
A
35
{}xx=，
5.0
A
2345
{}xxxx=，，，
5
§9.3 模糊关系一、模糊关系的概念
(,)
,
(,)
(,
(,
)
)[01]
R
R
R
XY
xy
RxXyY
XY XY
R
xy
x
x
x R
y
y
y
μ
μ
μ
=
×
∈∈
∈
null
null
null
null
null
null
设和是两个普通集合，以为论域的模糊集合，称为其中表示和具有关系的程到的一个模糊关系，表示为隶属度
，
度，
XX X把到的模糊关系称为上的模糊关系定义：
二、模糊矩阵及其运算
11 12 1
21 2
12 12
22
12
{ } { }
( ) [
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
01]
)
,
RR Rn
Rm Rm R
mn
Rij
mn
xy xy xy
xy xy xy
R
xy xy xy
Xxx x Yyy y
XY R
xy
μμ μ
μμ
μ
μ
μ
=
=
= nullnull
null
null
nullnull null
null
设，，，，，，，都是有限集，到的一个模糊关系可表示为：
其中
，，，
，，，
每
，，，
个元素，都是中 的数，这样的矩阵称为模糊矩阵。
1.模糊矩阵
6
2,λ?模糊矩阵的截矩阵
[0,1]
() 1 0
Ri j
RR
xy
λ
λλ
λλ
λ
μ
∈?
≥
<
设，类似于模糊集的截集，把模糊矩阵中的元素，凡的改为，改为，这样模糊矩阵的截矩阵，记称为作的矩阵
0.3 0.7 0.4
0.1 0.8 0.3
0.5 0.6 0.2
R
=
0.5
010
010
110
R
=
0.3
111
011
110
R
=
例如：
3.模糊矩阵的运算
（1）模糊矩阵的并
() ()
()
ij m n ij m n
ij ij m n
AB
Aa B
ab
bAB
×
××
=
=
∨
=
∪
设，，则和的并
()
(1 )
i
n
jm
ij m
n
A
Aa
aA
×
×
=?
=设，则的补
（2）模糊矩阵的交
（3）模糊矩阵的补
() ()
()
ij m n ij m n
ij ij m n
AB
Aa B
ab
bAB
×
××
=
=
∧
=
∩
设，，则和的交
7
例：
0.3 0.5 0.4 0.9
0.7 0.2 0.5 0.3
AB
==
设，
BA∪
∨∨
∨∨
=
3.02.05.07.0
9.05.04.03.0
=
3.07.0
9.04.0
BA∩
∧∧
∧∧
=
3.02.05.07.0
9.05.04.03.0
=
2.05.0
5.03.0
A
=
2.017.01
5.013.01
=
8.03.0
5.07.0
（1）
（2）
（3）
（4）模糊矩阵的合成
() ()
()
ik m n kj ns
ij m s
Aa XY Bb
YZ
A B
Cc C A
CB
A BCAB
XZ
××
×
=
=
=
=
null则和的合成表示到的模糊关系设表示到的模糊关系，
表示到的模糊关系，
其中的列数必须等于的行数，这里，即的行数和的行数相同，的列数和的列数相同
，
，其中：
{}
11
max min( )
( 1,2,,1,2,,
( )
)
n
ij ik kj ik kj
kkn
caba
im
b
js
=≤≤
==∨∧
==nullnull；
，
8
例1：
0.8 0.5 0.7 0.6
0.2 0.6 0.1 0
AB
==
设，
ABnull
(0.8 0.7) (0.5 0.1) (0.8 0.6) (0.5 0)
(0.2 0.7) (0.6 0.1) (0.2 0.6) (0.6 0)
∧∨∧ ∧∨∧
=
∧∨∧ ∧∨∧
∨∨
∨∨
=
02.01.02.0
06.01.07.0
=
2.02.0
6.07.0
例2：
()
0.5 0.5
0.3 0.5 0.2 0.6 0.4
0.2 0.8
AB
==
设，
ABnull
( )2.02.0()6.05.0()5.03.0( ∧∨∧∨∧=
()2.04.03.02.05.03.0 ∨∨∨∨=
()4.05.0=
31×
23×
))8.02.0()4.05.0()5.03.0( ∧∨∧∨∧
9
三、模糊等价关系满足自反性和对称性的模糊关系称为模糊相似关系
( )
模糊相似矩阵
( )
模糊等价矩阵满足传递性的模糊相似关系称为模糊等价关系
*
RR“改将一个模糊相似关系成模糊等价关系造”
例：
10.20.5
0.2 1 0.7
0.5 0.7 1
R
=
设
==
17.05.0
7.015.0
5.05.01
2
RRR null
22
10.50.5
0.5 1 0.7
0.5 0.7 1
RR
=
null而
*2
R R∴ =
2
R=
10
§9.5 综合评判例1：对某商品进行综合评判考虑三个因素
（价格）（耐用性）（花色款式）
321
uuu
123
{ }Uuuu=，因集，素
(0.3 0.5 0 2,)A =，，权重向量评价结果分成四个等级
（不受欢迎）（不太受欢迎）
（比较受欢迎）（很受欢迎）
43
21
vv
vv
1234
{ }V vvvv=抉，，，择集
①
②
③
123
uuu请一批顾客对，，三个因素分别作出评价单因素评判矩阵
=
05.03.02.0
1.05.04.00
01.07.02.0
R
④
BAR= null
0.2 0.7 0.1 0
(0.3 0.5 0.2) 0 0.4 0.5 0.1
0.2 0.3 0.5 0
=
null，，
(0.2 0.4 0,0.15 )=，，，
∴按最大隶属度原则，该商品不太受欢迎属“”等级
11
例2：对某人的健康状况进行综合评判考虑五个因素
)( )( )( )( )(
54321
精神状态睡眠状况食欲力气气色uuuuu
12345
{ }Uuuuuu=，，，，因素集
(0.2 0.1 0.3 0.2 0.2)A=，，，，权重向量评价结果分成四个等级
（很差）（较差）（一般）（健康）
4321
vvvv
1234
{ }V vvvv=抉，，，择集
①
②
五个因素分别作出评价，，，，
医生小组对请一批有经验的医生或
54321
uuuuu
单因素评判矩阵
=
1.02.03.04.0
2.005.03.0
1.01.04.04.0
01.04.05.0
01.02.07.0
R
BAR= null 0.3 0.3(0.20.2)=，，，
( )M ∧ ∨结论不应该是模糊的，问题出，现在算子中
③
④
12
0.7 0.2 0.1 0
0.5 0.4 0.1 0
(0.2 0.1 0.3 0.2 0.2) 0.4 0.4 0.1 0.1
0.30.500.2
0.4 0.3 0.2 0.1
=
null，，，，
BAR= null
(0.360.0.4 1.5 0009)=，，，
( ) ( )MM?+ ∧∨
null在模糊数学的综合评判中，合成“”算子用，算子来代替，算子
()
( ) M ∧ ∨∧? ∨ +把，中的“”改为“”，把“”改为“”
∴按最大隶属度原则，此人身体状况属“健康”等级
) () ( +?∨∧，改为，MM④
§9.5 模糊聚类分析一、模糊聚类分析模糊聚类分析是在模糊等价关系上进行的
R模糊相似关系建立
*
" "R R改造模糊等价关将模糊相似关系成系
* *
RR
λ
λ?截矩阵利用的来进行分类方法：
①
②
③
13
例：
12345
{ }
X xxxxx=设，，，，，表示由父亲、儿子、
女儿、邻居、母亲五人组成的集合
R表示他们之间的相像程度
=
11.09.085.02.0
1.0102.01.0
9.0018.06.0
85.02.08.018.0
2.01.06.08.01
R
1
x
3
x
4
x
2
x
5
x
1
x
3
x
4
x
2
x
5
x
对称性，满足自反性,R
）（RR ≠
2
但不满足传递性不是模糊等价关系是一个模糊相似关系,R∴
*
""R R改下面将相似关系成等价关系造
2
R RR= null
=
12.09.085.08.0
2.012.02.01.0
9.02.0185.08.0
85.02.085.018.0
8.02.08.08.01
222
RRR =null又
*2
R R∴ =
14
*
1
R
=
10000
01000
00100
00010
00001
12345
{}{}{}{}{}xxxxxX = ∪∪∪∪
1=λ取
*
0.9
R
=
10100
01000
10100
00010
00001
12354
{}{}{ }{}xX xxxx= ∪∪ ∪，
9.0=λ取
*
0.85
R
=
10110
01000
10110
10110
00001
12354
{}{ }{}x xxx xX = ∪∪，，
85.0=λ取
*
0.8
R
=
10111
01000
10111
10111
10111
1235 4
{}{}xxxx xX = ∪，，，
8.0=λ取
15
*
0.2
R
=
11111
11111
11111
11111
11111
12345
{}xxxX xx=，，，，
2.0=λ取三、用最大树法进行模糊聚类分析
（在被分类的元素比较多的时候）
ij
ij
r
r
R按的由大到小的顺序依次把这些元素用直线连起来，并标上直接从模糊相似矩阵中的值
(
01)
ij
rλ λλ ≤≤ <把的连取定值，
互相连通的元素归线为一类，即可将去掉，
元素分类方法：
1.画出被分类的所有元素
2.
①不能出现回路②所有元素都连上
3.
16
例：在上例中模糊相似矩阵
=
16.01.04.03.0
6.013.02.05.0
1.03.011.08.0
4.02.01.011.0
3.05.08.01.01
R
8.0
5.0
6.0
4.0
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
画出最大树：
8.0
5.0
6.0
4.0
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
0.8 1λ< ≤取时
0.6 0.8λ< ≤取时
0.5 0.6λ< ≤取时
0.4 0.5λ< ≤取时
00.4λ<≤取时
*
RR好处是将改造为的过程省了，特别是当被分类的元素较多的时候
}{}{}{}{}{
54321
xxxxxX ∪∪∪∪=
}{}{}{}{
54231
xxxxxX ∪∪∪，=
}{}{}{
54231
xxxxxX，，∪∪=
}{}{
25431
xxxxxX ∪，，，=
}{
54321
xxxxxX，，，，=
