1
Chap6 多元函数微积分多元函数微积分
§6.1 多元函数
§6.2 偏导数与全微分
§6.3 多元复合函数的求导法则
§6.4 多元函数的极值
§6.6 二重积分
§6.2 偏导数与全微分一、偏导数
z
x
x
z
′
(,)
x
fxy
′
z
y
y
z
′
(,)
y
fxy
′
(,),xzfxy= 对的偏 数,记作导
(,) yzfxy= 对 的偏导数,记作：
2
由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法问题。
z
x
求时，
只要把 x 之外的其他自变量暂时看成常量，对 x 求导数即可。
z
y
求时，
只要把 y 之外的其他自变量暂时看成常量，对 y 求导数即可。
其它情况类似。
解
z
x
=
yx 32 +
z
y
= yx 23 +
1
2
x
y
z
x
=
=
=
82312 =×+×
1
2
x
y
z
y
=
=
=
72213 =×+×
把 y 看成常量把 x 看成常量
22
3(1,2)z x xy y=+ +例 求 在点 处的偏导数
3
z
x
=
1?y
yx
z
y
= xx
y
ln
解
z
x
=
yx 2sin2
z
y
= yx 2cos2
2
把 y 看成常量把 x 看成常量
2
1 sin2zx y=例 求 的偏导数解
2
y
zx=例 求 的偏导数把 y 看成常量把 x 看成常量
2
2
xx xx
z
f(x,y) z
x
z
xx
′′′
=
′
==
2
2
(,)
yy yy
z
f xy z
y
z
yy
′′′
=
′
==
2
(,)
xy xy
z
fxy z
x
z
yx y
′′′′
== =
2
(,)
yx yx
z
fxy z
y
z
xy x
′′′′
== =
二阶混合偏导数二、高阶偏导数
(,)zfxy= 二阶函数 的 偏导数 为
4
解
yyyx=
322
33
xxyyx=
23
92
2
2
z
x
=
2
6xy=
2
z
xy
=
196
22
= yyx
2
2
z
y
=
xyx 182
3
=
2
z
yx
=
196
22
= yyx
，求二阶偏导数设例13 1
323
+= xyxyyxz
x
xyxyyx
x
z
)13(
323
′
+=
y
xyxyyx
y
z
)13(
323
′
+=
x
yyyx )33(
322
′
x
xxyyx )92(
23
′
y
yyyx )33(
322
′
y
xxyyx )92(
23
′
解
bybe
ax
sin?=
2
2
u
x
=
2
2
u
y
=
2
u
xy
=
2
u
yx
=
byae
ax
cos=
byea
ax
cos
2
=
byeb
ax
cos
2
=
byabe
ax
sin?=
byabe
ax
sin?=
，求二阶偏导数设例byeu
ax
cos 2 =
x
ax
bye
x
u
)cos(
′
=
y
ax
bye
y
u
)cos(
′
=
y
ax
bybe )sin(
′
x
ax
byae )cos(
′
x
ax
bybe )sin(
′
y
ax
byae )cos(
′
5
三、全微分
zz
dz dx dy
xy
=+
(,) (,)z f xy xy=函数 在点 的全微分全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
uuu
du dx dy dz
xyz
=++
解
xy
xe=
z
d
z
dz
x
xy
y
d
=+
因此，
xy xy
dx dyye xe=+
dyedxedz
22
2+=
(2,1) 处的全微分
xy
ye=
1 (2 1)
xy
ze=例 求函数 在点,处的全微分
()
xy
x
e
z
x
=
′
()
xy
y
e
z
y
=
′
6
解
yz
ze
y
+=
2
cos
2
1
yz
ye=
所求全微分
dzyedyze
y
dxdu
yzyz
+++= )
2
cos
2
1
(
1=
的全微分求函数例
yz
e
y
xu ++=
2
sin 2
(sin )
2
yz
x
y
x
e
u
x
′
=+ +
(sin )
2
yz
y
y
y
e
u
x
′
=+ +
(sin )
2
yz
z
y
z
e
u
x
′
=+ +
§6.3 多元复合函数的求导法则
z
u
v
x
y
型
z uzv
ux vx
z
x
+?
=
z uzv
u y v y
z
y
+?
=
[(,),(,)]uvzf x y x y=
链式法则
(,) (,)
(,)
(,)
(,)
(,)[(,),(,)]
xy
u
u uxy v vxy
zfuv
zfuxyvxy
v
xy x y
==
=
=
如果 及 在点 有连续偏导数，
且 在对应点 也有连续偏导数,则复合函数 在点 有对 及 的连续偏导数，且可用下列公式计算：
定理：
7
链式法则如图示
z
x
=
u
z
x
u
+
v
z
x
v
z
y
=
u
z
y
u
+
v
z
y
v
u
v
x
z
y
u
v
x
z
y
解
z
x
=
u
z
x
u
+
v
z
x
v
1cossin?+?= veyve
uu
z
y
=
u
z
y
u
+
v
z
y
v
1cossin?+?= vexve
uu
z
u
v
x
y
型
)]cos()sin([ yxyxye
xy
+++=
)]cos()sin([ yxyxxe
xy
+++=
y
z
x
z
yxvxyuvez
u
+===和，求，，而设例sin
8
§6.4 多元函数的极值
1、二元函数极值的定义
00
00
0
00
0
0
0
0
0
(,) (,),
(,) (,):
(1) (,) (,),
(2) (,) (
(,) ;
,),
(,),
zfxy xy
xy xy
fxy fx y
fxy fx y
xy
xy
=
<
>
函数在点 有极设函数 在点 的某邻域内有定义对于该邻域内异于 的点若满足不等式则称若满足不等式则称大值函数在点 有极小值极大值、极小值统称为 极值使函数取得极值的点称为 极值点
2、多元函数取得极值的条件定理１（极值存在的必要条件）
00
00 00
(,) (,)
(,) 0 (,) 0
xy
zfxy xy
fxy fxy
=
′′
==
则它在该点的偏导数必然为零，
设函数 在点 可微且有极值，
即：
，
9
0
00
00
000
0
0
0
(,) (,)
(,)0 (
(,) (,
,)
)(,)
0
xy
xx xy yy
zfxy xy
fxy
fxy fxy f
fxy
ABxy C
′′ ′′ ′
=
′′
==
===
′
设函数 在点 的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,又，，若令，，，则定理２（极值存在的充分条件）
2
00
00
00
(1) (,)
,(,);,
0
,
0
()
0
xy
fx y
fx y
BAC
AA
<
<>
当时，函数在点 处有极值，
且当 时 有极大值 当 时 有极小值
2
00
(2) (,0 )BAC xy?>当 时，函数在点 处无极值
2
00
(3) (,)
0
xyBAC?=当 时，函数在点 处不能确定是否有极值
1 (,),
(,) 0
,
(,) 0
x
y
zfxy
fxy
fxy
=
′
=?
′
=
求 的一、二阶偏导数 解方程组求出所有驻点
(,),zfxy=求函数 极值的一般步骤
00
2 (,),
xy
ABC
对于每一个驻点 求出二阶偏导数的值
、、
极值的符号，再判定是否是定出ACB?
2
3
10
的极值求函数例 3),(
33
xyyxyxf?+=
解
2
(,) 33
x
xxy yf
′
=?
2
(,) 33
y
yxy xf
′
=?
求解方程组：
=?
=?
033
033
2
2
xy
yx
得驻点
=
=
xy
yx
2
2
(0,0),(1,1)
xyxf
xx
6),( =
′′
3),(?=
′′
yxf
xy
yyxf
yy
6),( =
′′
(0,0),在处 0)0,0( =
′′
=
xx
fA 3)0,0(?=
′′
=
xy
fB
0)0,0( =
′′
=
yy
fC
9
2
=? ACB
0>
因此，驻点 (0,0),不是极值点
(1,1),在处 06)1,1( >=
′′
=
xx
fA
3)1,1(?=
′′
=
xy
fB
6)1,1( =
′′
=
yy
fC
ACB?
2
027 <?=
因此，驻点
(1,1),是极小值点
111311)1,1(
33
=××?+=f极小值
11
§6.6 二重积分一、二重积分的概念
(
,
)
()
,
D
fxy D
f x y dxdy
∫∫
函数 在闭区域 上的二重积分，
记为,即
0
1
lim (,) (,)
n
ii i
D
i
fx fy dxdy
λ
ξ ησ
→
=
=Δ
∑
∫∫
积分区域积分区域积分和积分和被积函数被积函数积分变量积分变量
------ 被积表达式被积表达式
∑
∫∫
=
→
Δ=
n
i
iii
D
fdxdyyxf
1
0
),( lim ),( σηξ
λ
dxdyyxf ),(
12
性质１ 当 k 为常数时，
(,) (,)
DD
f x y dxdy f x yk yk dxd=
∫∫ ∫∫
性质２ (,) (,)[]
D
dxfxy gxy dy±
∫∫
(,) (,)
DD
fxy gxdxdy dyy dx=±
∫∫ ∫∫
（二重积分与定积分有类似的性质）
二、二重积分的性质性质３ 对区域具有可加性
12
(,) (,) (,)
DDD
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy=+
∫∫ ∫∫ ∫∫
)(
21
DDD +=
x
y
o
a
b
)(
1
xy?=
)(
2
xy?=
1、先 讨论 积分区域为：
axb≤ ≤
12
() ()xy x≤ ≤
［ X－ 型 ］
x
y
o
a
b
)(
1
xy?=
)(
2
xy?=
三、二重积分的计算三、二重积分的计算
∫∫
=
b
a
x
x
dyyxfdx
)(
)(
2
1
),(
--- 先对 y 积分，后对 x 积分的二次积分
∫∫ ∫ ∫
=
D
b
a
x
x
dxdyyxfdxdyyxf ),( ),(
)(
)(
2
1
13
dydxyxfdxdyyxf
D
d
c
y
y
),( ),(
)(
)(
2
1
∫∫ ∫ ∫
=
ψ
ψ
2、如果积分区域为：
cyd≤ ≤
12
() ()yx yψ ψ≤ ≤
［ Y－ 型 ］
x
y
o
c
d
)(
1
yx ψ= )(
2
yx ψ=
x
y
o
c
d
)(
1
yx ψ=
)(
2
yx ψ=
∫∫
=
d
c
y
y
dxyxfdy
)(
)(
2
1
),(
ψ
ψ
--- 先对 x 积分，后对 y 积分的二次积分
x
y
o
2 4 6
2
4
xy =
2?= xy
解 1：先画出积分区域 D,
D 是 Y－ 型,
将 D 向 y 轴投影,
2
,
24
yxy
D
y
≤≤+
≤≤
于是,=
∫∫
dxdyyxf ),(
D
dxyxf
y
y
),(
2
∫
+
∫
4
2
dy
D
1 (,)
D 2 2 4
f x y dxdy
yxyx y y==?==
∫∫
例 将 化为二次积分，
其中 由直线,,,围成
14
x
y
o
2 46
2
4
xy =
2?= xy
解 2,D 也是 X－ 型,
将 D 向 x 轴投影,
612
D DD=+
于是，
dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf ),( ),( ),(
21
DDD
∫∫∫∫∫∫
+=
+
∫
dyyxf
x
),(
2
∫
=
4
2
dx
4
1
D
2
D
1
24
2
,
x
y x
D
≤≤?
≤≤
2
46
,
24
x
xy
D
≤≤?
≤≤
dyyxf
x
),(
4
2
∫
∫
6
4
dx
x
y
o
1 2
1
2
xy =
1=y
2=x
解 先画出积分区域 D,
D 是 X－ 型,
将 D 向 x 轴投影,
12
,
1
x
D
yx
≤≤
≤≤
于是，
=
∫∫
dxdyxy
D
dxxydy
x
][
2
11
∫∫
D
2
,1,2
xy dxdy
Dyxyx===
∫∫
例计算,
其中 由直线 围成
15
2
2
1
()
2
y
x?
2
1
dx=
∫
3
2
1
()
22
xx
dx=?
∫
2
42
1
()
84
xx
=?
8
9
=
=
∫∫
dxdyxy
D
dxxydy
x
∫∫
2
11
][
解 积分区域为
01
,
01
x
D
y x
≤≤
≤≤?
x
y
o
1
1
xy?= 1
01
,
01
x y
D
y
≤≤?
≤≤
=
∫∫
x
dyyxfdx
1
0
1
0
),(
于是，
∫∫
y
dxyxfdy
1
0
1
0
),(
将 D 向 y 轴投影,
11
00
3 (,)
x
dx f x y dy
∫∫
例 改变积分 的次序
Chap6 多元函数微积分多元函数微积分
§6.1 多元函数
§6.2 偏导数与全微分
§6.3 多元复合函数的求导法则
§6.4 多元函数的极值
§6.6 二重积分
§6.2 偏导数与全微分一、偏导数
z
x
x
z
′
(,)
x
fxy
′
z
y
y
z
′
(,)
y
fxy
′
(,),xzfxy= 对的偏 数,记作导
(,) yzfxy= 对 的偏导数,记作：
2
由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法问题。
z
x
求时，
只要把 x 之外的其他自变量暂时看成常量，对 x 求导数即可。
z
y
求时，
只要把 y 之外的其他自变量暂时看成常量，对 y 求导数即可。
其它情况类似。
解
z
x
=
yx 32 +
z
y
= yx 23 +
1
2
x
y
z
x
=
=
=
82312 =×+×
1
2
x
y
z
y
=
=
=
72213 =×+×
把 y 看成常量把 x 看成常量
22
3(1,2)z x xy y=+ +例 求 在点 处的偏导数
3
z
x
=
1?y
yx
z
y
= xx
y
ln
解
z
x
=
yx 2sin2
z
y
= yx 2cos2
2
把 y 看成常量把 x 看成常量
2
1 sin2zx y=例 求 的偏导数解
2
y
zx=例 求 的偏导数把 y 看成常量把 x 看成常量
2
2
xx xx
z
f(x,y) z
x
z
xx
′′′
=
′
==
2
2
(,)
yy yy
z
f xy z
y
z
yy
′′′
=
′
==
2
(,)
xy xy
z
fxy z
x
z
yx y
′′′′
== =
2
(,)
yx yx
z
fxy z
y
z
xy x
′′′′
== =
二阶混合偏导数二、高阶偏导数
(,)zfxy= 二阶函数 的 偏导数 为
4
解
yyyx=
322
33
xxyyx=
23
92
2
2
z
x
=
2
6xy=
2
z
xy
=
196
22
= yyx
2
2
z
y
=
xyx 182
3
=
2
z
yx
=
196
22
= yyx
，求二阶偏导数设例13 1
323
+= xyxyyxz
x
xyxyyx
x
z
)13(
323
′
+=
y
xyxyyx
y
z
)13(
323
′
+=
x
yyyx )33(
322
′
x
xxyyx )92(
23
′
y
yyyx )33(
322
′
y
xxyyx )92(
23
′
解
bybe
ax
sin?=
2
2
u
x
=
2
2
u
y
=
2
u
xy
=
2
u
yx
=
byae
ax
cos=
byea
ax
cos
2
=
byeb
ax
cos
2
=
byabe
ax
sin?=
byabe
ax
sin?=
，求二阶偏导数设例byeu
ax
cos 2 =
x
ax
bye
x
u
)cos(
′
=
y
ax
bye
y
u
)cos(
′
=
y
ax
bybe )sin(
′
x
ax
byae )cos(
′
x
ax
bybe )sin(
′
y
ax
byae )cos(
′
5
三、全微分
zz
dz dx dy
xy
=+
(,) (,)z f xy xy=函数 在点 的全微分全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
uuu
du dx dy dz
xyz
=++
解
xy
xe=
z
d
z
dz
x
xy
y
d
=+
因此，
xy xy
dx dyye xe=+
dyedxedz
22
2+=
(2,1) 处的全微分
xy
ye=
1 (2 1)
xy
ze=例 求函数 在点,处的全微分
()
xy
x
e
z
x
=
′
()
xy
y
e
z
y
=
′
6
解
yz
ze
y
+=
2
cos
2
1
yz
ye=
所求全微分
dzyedyze
y
dxdu
yzyz
+++= )
2
cos
2
1
(
1=
的全微分求函数例
yz
e
y
xu ++=
2
sin 2
(sin )
2
yz
x
y
x
e
u
x
′
=+ +
(sin )
2
yz
y
y
y
e
u
x
′
=+ +
(sin )
2
yz
z
y
z
e
u
x
′
=+ +
§6.3 多元复合函数的求导法则
z
u
v
x
y
型
z uzv
ux vx
z
x
+?
=
z uzv
u y v y
z
y
+?
=
[(,),(,)]uvzf x y x y=
链式法则
(,) (,)
(,)
(,)
(,)
(,)[(,),(,)]
xy
u
u uxy v vxy
zfuv
zfuxyvxy
v
xy x y
==
=
=
如果 及 在点 有连续偏导数，
且 在对应点 也有连续偏导数,则复合函数 在点 有对 及 的连续偏导数，且可用下列公式计算：
定理：
7
链式法则如图示
z
x
=
u
z
x
u
+
v
z
x
v
z
y
=
u
z
y
u
+
v
z
y
v
u
v
x
z
y
u
v
x
z
y
解
z
x
=
u
z
x
u
+
v
z
x
v
1cossin?+?= veyve
uu
z
y
=
u
z
y
u
+
v
z
y
v
1cossin?+?= vexve
uu
z
u
v
x
y
型
)]cos()sin([ yxyxye
xy
+++=
)]cos()sin([ yxyxxe
xy
+++=
y
z
x
z
yxvxyuvez
u
+===和，求，，而设例sin
8
§6.4 多元函数的极值
1、二元函数极值的定义
00
00
0
00
0
0
0
0
0
(,) (,),
(,) (,):
(1) (,) (,),
(2) (,) (
(,) ;
,),
(,),
zfxy xy
xy xy
fxy fx y
fxy fx y
xy
xy
=
<
>
函数在点 有极设函数 在点 的某邻域内有定义对于该邻域内异于 的点若满足不等式则称若满足不等式则称大值函数在点 有极小值极大值、极小值统称为 极值使函数取得极值的点称为 极值点
2、多元函数取得极值的条件定理１（极值存在的必要条件）
00
00 00
(,) (,)
(,) 0 (,) 0
xy
zfxy xy
fxy fxy
=
′′
==
则它在该点的偏导数必然为零，
设函数 在点 可微且有极值，
即：
，
9
0
00
00
000
0
0
0
(,) (,)
(,)0 (
(,) (,
,)
)(,)
0
xy
xx xy yy
zfxy xy
fxy
fxy fxy f
fxy
ABxy C
′′ ′′ ′
=
′′
==
===
′
设函数 在点 的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,又，，若令，，，则定理２（极值存在的充分条件）
2
00
00
00
(1) (,)
,(,);,
0
,
0
()
0
xy
fx y
fx y
BAC
AA
<
<>
当时，函数在点 处有极值，
且当 时 有极大值 当 时 有极小值
2
00
(2) (,0 )BAC xy?>当 时，函数在点 处无极值
2
00
(3) (,)
0
xyBAC?=当 时，函数在点 处不能确定是否有极值
1 (,),
(,) 0
,
(,) 0
x
y
zfxy
fxy
fxy
=
′
=?
′
=
求 的一、二阶偏导数 解方程组求出所有驻点
(,),zfxy=求函数 极值的一般步骤
00
2 (,),
xy
ABC
对于每一个驻点 求出二阶偏导数的值
、、
极值的符号，再判定是否是定出ACB?
2
3
10
的极值求函数例 3),(
33
xyyxyxf?+=
解
2
(,) 33
x
xxy yf
′
=?
2
(,) 33
y
yxy xf
′
=?
求解方程组：
=?
=?
033
033
2
2
xy
yx
得驻点
=
=
xy
yx
2
2
(0,0),(1,1)
xyxf
xx
6),( =
′′
3),(?=
′′
yxf
xy
yyxf
yy
6),( =
′′
(0,0),在处 0)0,0( =
′′
=
xx
fA 3)0,0(?=
′′
=
xy
fB
0)0,0( =
′′
=
yy
fC
9
2
=? ACB
0>
因此，驻点 (0,0),不是极值点
(1,1),在处 06)1,1( >=
′′
=
xx
fA
3)1,1(?=
′′
=
xy
fB
6)1,1( =
′′
=
yy
fC
ACB?
2
027 <?=
因此，驻点
(1,1),是极小值点
111311)1,1(
33
=××?+=f极小值
11
§6.6 二重积分一、二重积分的概念
(
,
)
()
,
D
fxy D
f x y dxdy
∫∫
函数 在闭区域 上的二重积分，
记为,即
0
1
lim (,) (,)
n
ii i
D
i
fx fy dxdy
λ
ξ ησ
→
=
=Δ
∑
∫∫
积分区域积分区域积分和积分和被积函数被积函数积分变量积分变量
------ 被积表达式被积表达式
∑
∫∫
=
→
Δ=
n
i
iii
D
fdxdyyxf
1
0
),( lim ),( σηξ
λ
dxdyyxf ),(
12
性质１ 当 k 为常数时，
(,) (,)
DD
f x y dxdy f x yk yk dxd=
∫∫ ∫∫
性质２ (,) (,)[]
D
dxfxy gxy dy±
∫∫
(,) (,)
DD
fxy gxdxdy dyy dx=±
∫∫ ∫∫
（二重积分与定积分有类似的性质）
二、二重积分的性质性质３ 对区域具有可加性
12
(,) (,) (,)
DDD
f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy=+
∫∫ ∫∫ ∫∫
)(
21
DDD +=
x
y
o
a
b
)(
1
xy?=
)(
2
xy?=
1、先 讨论 积分区域为：
axb≤ ≤
12
() ()xy x≤ ≤
［ X－ 型 ］
x
y
o
a
b
)(
1
xy?=
)(
2
xy?=
三、二重积分的计算三、二重积分的计算
∫∫
=
b
a
x
x
dyyxfdx
)(
)(
2
1
),(
--- 先对 y 积分，后对 x 积分的二次积分
∫∫ ∫ ∫
=
D
b
a
x
x
dxdyyxfdxdyyxf ),( ),(
)(
)(
2
1
13
dydxyxfdxdyyxf
D
d
c
y
y
),( ),(
)(
)(
2
1
∫∫ ∫ ∫
=
ψ
ψ
2、如果积分区域为：
cyd≤ ≤
12
() ()yx yψ ψ≤ ≤
［ Y－ 型 ］
x
y
o
c
d
)(
1
yx ψ= )(
2
yx ψ=
x
y
o
c
d
)(
1
yx ψ=
)(
2
yx ψ=
∫∫
=
d
c
y
y
dxyxfdy
)(
)(
2
1
),(
ψ
ψ
--- 先对 x 积分，后对 y 积分的二次积分
x
y
o
2 4 6
2
4
xy =
2?= xy
解 1：先画出积分区域 D,
D 是 Y－ 型,
将 D 向 y 轴投影,
2
,
24
yxy
D
y
≤≤+
≤≤
于是,=
∫∫
dxdyyxf ),(
D
dxyxf
y
y
),(
2
∫
+
∫
4
2
dy
D
1 (,)
D 2 2 4
f x y dxdy
yxyx y y==?==
∫∫
例 将 化为二次积分，
其中 由直线,,,围成
14
x
y
o
2 46
2
4
xy =
2?= xy
解 2,D 也是 X－ 型,
将 D 向 x 轴投影,
612
D DD=+
于是，
dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf ),( ),( ),(
21
DDD
∫∫∫∫∫∫
+=
+
∫
dyyxf
x
),(
2
∫
=
4
2
dx
4
1
D
2
D
1
24
2
,
x
y x
D
≤≤?
≤≤
2
46
,
24
x
xy
D
≤≤?
≤≤
dyyxf
x
),(
4
2
∫
∫
6
4
dx
x
y
o
1 2
1
2
xy =
1=y
2=x
解 先画出积分区域 D,
D 是 X－ 型,
将 D 向 x 轴投影,
12
,
1
x
D
yx
≤≤
≤≤
于是，
=
∫∫
dxdyxy
D
dxxydy
x
][
2
11
∫∫
D
2
,1,2
xy dxdy
Dyxyx===
∫∫
例计算,
其中 由直线 围成
15
2
2
1
()
2
y
x?
2
1
dx=
∫
3
2
1
()
22
xx
dx=?
∫
2
42
1
()
84
xx
=?
8
9
=
=
∫∫
dxdyxy
D
dxxydy
x
∫∫
2
11
][
解 积分区域为
01
,
01
x
D
y x
≤≤
≤≤?
x
y
o
1
1
xy?= 1
01
,
01
x y
D
y
≤≤?
≤≤
=
∫∫
x
dyyxfdx
1
0
1
0
),(
于是，
∫∫
y
dxyxfdy
1
0
1
0
),(
将 D 向 y 轴投影,
11
00
3 (,)
x
dx f x y dy
∫∫
例 改变积分 的次序
