1
Chap2 导数与微分导数与微分
§ 2.1 导数的概念
§ 2.2 导数的基本公式与运算法则
§ 2.3 高阶导数
§ 2.4 导数的应用
§ 2.5 微分导数的定义
0
0
00
0
0
00
00
0
()
()()
()()
lim
lim
()
() ( )
x x
yfx x
xx x
yyfxxfx
y
x
fx x
fx x f
ff
x
xx
x
x
Δ Δ→ →
=
Δ
Δ= +Δ?
+Δ?
=
Δ
Δ
Δ
′
设函数 在点 的某个邻域内有定义，
当自变量 在点 处有增量 时,相应的函数的增量,如果极限存在,函数 在点 可导 称此则称,并 极限值为,记函 作，数 在点 的导数 即：
§ 2.1 导数的概念
2
0
00
()
xx
xx xx
dy df x
y
dx dx
=
==
′
也可记作,或
0
0
00
0
()()
li() mlim
x x
fy
f
xx
x
x
xf
x
Δ→Δ→
+Δ?
=
Δ
′
=
ΔΔ
例 1：
0
()1 fx
′
=已知,
00
0
()()
lim 3
3
3
h
fx fh x
h
→
+?
00
03
()()
3li
3
3
m
h
fx h f
h
x
→
+?
=
0
3 ()fx=
′
313 =?=
00
0
()()
lim
3
h
fx h fx
h
→
+?
=
则
3
例 2：
0
()1 fx
′
=已知,
0
3
0
0
()()
3l
3
im
3
h
h
h
fx fx
→
=
0
33()fx=
′
=?
00
0
()()
lim
3
h
fx h fx
h
→
则例 3：
0
()1 fx
′
=已知,
0
03
0
()()3
lim
32
3
h
fx
h
fh x
→
+?
=
0
)
3
22
(
3
fx==
′
00
0
()()3
lim
2
h
hfx fx
h
→
+?
则
4
导函数的定义
()
()
()
dy df x
fx y
d
fI
x
x
dx
′′
导函数 简在上的,,
记作,
称
，或导数
，即：
0 0
()
li
()
(i m) lm
x x
fx x f
fx
x
x y
x
Δ→ Δ→
+Δ?
′
Δ
Δ
=
Δ
=
0
00
0
0
() ( )
()
() ()
xx
fx x f x
fx x
ffx
x
x
=
′
′
=
′′
=
则函数 在点 处的导数值就是导函数 在 处的函数值，
即：
5
导数的几何意义
00
00
()
(,(
() ( )
))
fx x f
x
x yfx
fx
=
′
函数 在点 的 曲线在点 处切导数 就是线的斜率
000
() ()( )yfx fxxx
′
=?切线方程：
的切线方程，在点求曲线 )11(
2
xy =
k )11( 处切线的斜率，该曲线在点
0
()kfx
′
= )1(f
′=
1
2
=
=
x
x 2=
12( 1)yx? =?则所求切线方程为：
210xy=即例：
解：
§ 2.2 导数的基本公式与运算法则一、导数公式（熟记）
() 0c
′
=
1
(log )
ln
a
x
xa
′
=
1
(ln ) ae x
x
′
==当时,有
1
()xx
αα
α
′
=
() ln
xx
aaa
′
= ( )
xx
ee ea
′
= =当时，
6
(sin ) cosxx
′
= (cos ) sinxx
′
=?
2
(tan ) secxx
′
=
2
(cot ) cscxx
′
=?
(sec ) sec tanxxx
′
=?
(csc ) csc cotxxx
′
=
2
1
(arcsin )
1
x
x
′
=
2
1
(arccos )
1
x
x
′
=?
2
1
(arctan )
1
x
x
′
=
+
2
1
(cot)
1
arc x
x
′
=?
+
7
二、函数四则运算的求导法则
() () uux vv xx==如果函数 与 都是 的可导函数
vuvu
′
±
′
=′± )(
→有限个函数和差的情况
vuvuvu ′+′=′? )(
() ( ) ()cu cuvx c
′
==
′
当常数，有
）（ 0)(
2
≠
′
′
=′ v
v
vuvu
v
u
2
1
() () 1 ( 0)
v
vv
ux v
′
′
≠==?当，有则：
（ 1）
（ 2）
（ 3）
例（ 1）
2
2
32log4ln2yx x=? +
2
2
(3 ) (2log ) (4ln 2)xxy
′ ′′
=? +
′
32
1
2
l2
0
n
x
x
= +
2
6
ln 2
x
x
=?
8
（ 2）
3cos lnyxx=?
3(cos ln )xxy
′
=?
′
(cos ) (ln )3[ ln cos ]xx=?+
′ ′
]
1
coslnsin[3
x
xxx?+=
2
1
2
x
x
y
+
=
2
22
2
(1 ) (2(2 ) (1)
)
)
(1
xxxx
y
x
+?
′ ′
′
+
=
+
22
2
)1(
2)2()1(
x
xxx
+
+?
=
22
2
)1(
14
x
xx
+
=
（ 3）
9
三、复合函数的求导法则
()
()
()
(
(()
)
x
u
ux x
yfu
ux
yfuu
yf x x
=
=
=
′ ′
=
′ ′
=
如果函数 在点 处有导数,
函数 在对应点 处有导数,
则复合函数 在点 处也可导,且
xux
dy dy du
yyu
dx du dx
′′′
=? =?或例：求下列函数的导数
xy 3sin=
sin 3y uu x= =设，
cos 3 (3 )yxx
′′
=? x3cos3=
（ 1）
xy
3
sin=
3
sinyuu x==设，
2
3sin (sin )yxx
′′
=?
xx cossin3
2
=
（ 2）
10
例：求下列函数的导数
100
)54(?= xy
()
可根据复合函数求导法则,直接由外向里逐层求导
100
[(4 5) ]xy
′
=?
′
)54()54(100
99
′= xx
99
)54(400?= x
（ 1）
xy secln=
sc(ln )eyx
′ ′
=
1
(sec
s
)
ec
x
x
′
=?
xx
x
tansec
sec
1
=
（ 2）
xtan=
11
)1ln(
2
++= xxy
2
2
1
1
()1yxx
xx
′
=?
′
++
++
])1()[(
1
1
2
2
′
++
′
++
= xx
xx
])1(
12
1
1[
1
1
2
22
′
+?
+
+?
++
= x
xxx
]2
12
1
1[
1
1
22
x
xxx
+
+?
++
=
1
1
2
+
=
x
（ 3）
2
1
tany
x
=
1
2tan t n
1
(a )
x
y
x
′
=?
′
)
1
(
1
sec
1
tan2
2
′
=
xxx
2
2
21 1
tan sec
xx x
=
（ 4）
12
2 2
sec ( 2 )y xx= +
2 2
2sec( 2 ) [sec )](2xxyxx
′
=+?
′
+
22 2
2
2sec(2)sec(2)tan(2)
( 2)
xx xx xx
xx
=+?+?
+?
′
+
)22()2tan()2(sec2
222
+?+?+= xxxxx
（ 5）
(,) 0
Fxy x
yy
yx
=
′′
在求导过程中将 看在方程 等号两边同时对 求导，
则得到含导数 的方程成是 的函数，
，解出 即可。
四、隐函数的求导法则
13
33
()
30x y axy
yfx
+=
=
求由方程 所确定的隐函数 的导数
(
)yx
x 其中是对方程两边同时求关的函数于 的导数，
,有
3 3
(3() (() 0) )
xxxx
axyyx
′ ′
+? =
′ ′
2 2
3()3[1 )]3 ( 0
xx
y ayx yxy
′
+
′
+=
2 2
3 0)3 (3 axx yyyy
′
+?
′
+? =
0)()(
22
=
′
+? yaxyayx
2
2
ay x
y
yax
∴
′
=
例（ 1）
解：
22
5(2 1)xy+=求曲线 在,点 处的切线方程
(
) yx
x 其中是对方程两边同时求关于的函数的导数
，
，
有
022 =
′
+ yyx
x
y
y
∴
′
=?
2
1
x
y
yk =
=
′
=则 斜率所求切线的
2
1
2
=?=
=
=
y
x
y
x
12(2)yx? =?∴?所求切线方程为：
250xy+?=即
（ 2）
解：
14
arctan
1
1
y
x
x
=
+
2
1
1
1(
1
)
()
1
1
x
x
x
y
x
′
=
+
+
+
′
2
2
)1(
)1()1(
)
1
1
(1
1
x
xx
x
x
+
+?
+
+
=
2
1
1 x
=?
+
例（ 1）
（ 2）
0
xy
eex
y
y?
′
+=求由方程 所确定的隐函数的导数
0)( =
′
+?
′
+ yxyyee
yx
0)()( =
′
+? yxeye
yx
x
y
ye
y
ex
=∴
′
15
六、取对数求导法取对数求导法 常用来求一些复杂的乘除式、根式、幂指函数等的导数.
)45)(34(
)23)(12(
=
xx
xx
y
函数两边取对数
x两边对 求导
ln [ln(2 1) ln(3 2) ln(4
1
2
3) ln(5 4)]yx x x x=?+
12 3 4 5
[]
22 13 24 35 4
1
xxx
y
y x
=+
′
12 3 4 5
22 13 24 35 4
y
xx x
y
x
=+
′
例,
解：
1(2 1)(3 2) 2 3 4 5
[]
2(4 3)(5 4)2 13 24 35 4
x
y
x
xx xxxx
∴ =?+
′
16
x
xy =
xxy lnln =
x
xxy
y
1
ln
1
+=
′
)1(ln +=
′
xyy
(ln 1)
x
yx x
′
+∴ =
()
[() ()] (0)
vx
yuxux=>幂指函数两边取对数求导两边对 x
例（ 1）
解：
x
xy
sin
=
xxy lnsinln?=
x
xxxy
y
1
sinlncos
1
+?=
′
sin
sin
(cos ln )
x
x
yx xx
x
′
=+∴
两边取对数求导两边对 x
（ 2）
解：
17
§ 2.3 高阶导数
2
2
() ()
( )
fx
dy
fx y
d
fx
x
′′
′
′′
的导数称为,
记作,或二阶导数的
3
3
()
()
()
fx
dy
fx
fx y
dx
′′′ ′
′′
′′
的导数,称为,
记作,或三阶导数的
nullnull
(
() ()
1)
()
() 1 ()
()
n
nn
n
n
n
fx n f
dy
fx y
x
fx
dx
阶导的 阶导数 的导数，
称为 作 或的 数,记，
653
23
+= xxxy
2
365xxy =+?
′
66xy∴ =
′
+
′
2
x
ey
=
22
(2) 2
xx
exy xe
==?
′
22
2(2)(2)
xx
exexy
∴ = +
′′
2
)24(
2 x
ex
=
例：求下列函数的二阶导数
（ 1）
解：
（ 2）
解：
18
x
ey =
()n
y =
x
e
()
2
nx
y y=,求
ln22
x
y
′
=
2
2ln2ln2 2(ln 2)
xx
y =?=
′′
2 3
2 ln2 (ln2) (ln 22 )y =?=
′′′
null
()
(n2)2 l
xnn
y∴ =
例（ 1）
解：
（ 2）
(2) ()2
(1 )arctan
nn
yyxx
=+,求
(1
2
)(2
2
)
1
2 arcta
[]
n(1 )
1
nn
xx
yy
x
x
=? +?
=
+
+
′
1arctan2 += xx
() ( 1)
2
[]
1
2arctan 2
1
nn
y
x
y xx
∴ =? +?
+
′
=
2
1
2
arctan2
x
x
x
+
+=
解：
（ 3）
19
() [,] (,)
(,),
(1) ( ) (() 0
(
,)
(2 )) ( ) (,0 )
fx
f x ab ab
ab
fx ab
fxfx ab
′
>
′
<
若函数 在 上连续,在内可导，
那么在 内，如果
，则 在 单调增内
，则 在 内加单调减少定理：
()() 0 fxfx
′
= 可以作为函数 单调性的点 的 分界点
§ 2.4 导数的应用一、函数的单调性
32
( ) 2 9 12 3fx x x x=?+?讨论函数 的单调区间
12186
2
+?= xx)(xf
′
)2)(1(6= xx
1 2 ( ) 0xf
′
∴ ==当或时，
x
()f x
′
()f x
(,1)?∞ 1 (1,2) 2 (2,)+∞
+
0
0
+
单调增加 单调减少 单调增加
(1] [12()
]
[2 )
fx?∞∴
+∞
在 内单调增加,在 内单，，调减少,
在,内单调增加例：
解：
列表可使问题明朗化列表可使问题明朗化
20
8
() 2fx x
x
=+讨论函数 的单调区间
2
8
2
x
=?)(xf
′
2
2
2
(4)x
x
=?
2 2 ( ) 0xf
′
∴ =? =当或时，
()
(,2] [2,)
( 2,0) (0,2)
fx?∞∴ +∞
-在内,
,
单调增加在 内单调减少例：
解：
x
y
′
y
(,2)?∞? 2? (2,0)?
0
(0,2) 2 (2,)+∞
++
00
,(,0) (0,)?∞ +∞∪定义域二、函数的极值
0
0 00
00
0
0 0
()
(1) ( ) ( )
() ()
()
() ()(2) ( ) ( )
()
fx x x
xx fx x
x
xx fx x
fx fx
fx
fx fx
xfx
≠
≠
>
<
如果函数 在点 的附近对一切 有：
，则称函数 在点取得,极大值 极称点 为
，则称函数 在点取得,
大值点极小 称点值 为 极小值点定义：
极大值、极小值统称为 极值极大值点、极小值点统称为 极值点
1
x
)(xfy =
2
x
x
y
o
21
246
() ( ) ( ) ( )fx fx fx fx值,大取得,极
13 57
() () () () ()f x f x f x f x f x取得,,,极小值注,函数的极值是对函数 局部性质 的反映，一个函数可能有若干个极大值,极小值,而且极大值可能小于极小值。
x
y
a
b
1
x
2
x
3
x
4
x
)(xfy =
5
x
6
x
7
x
8
x
0
() 0 ()fx xfx
′
=满足方程 的点 称为函数 的驻点定义：
22
函数极值的判定
0
0
0
0
0
()
(1) ( ) ( )
(2) ( ) ( )
(3) ( ) ( )
fx x x
x
fx fx x
fx fx x
fx fx x
′
′
′
由正变到负 极大设函数 在点 附近可导,如果当 由小变大经过 时
，则 在点 取得
，则 在点 取得符号不变值由负变到正 极
，则 在点小值没有极值
（ 1）极值的第一判别法定理：
例
32
() 3 95fx x x x=+求函数 的极值
963
2
= xx
)(xf
′ )3)(1(3?+= xx
x
()f x
′
()f x
)1(∞，
1? (13)?,3 (3 )+∞，
+
0
0
+
单调增加 单调减少 单调增加
() 0fx
′
=令
12
1 3xx=?=求 驻点,得的极大值点，为 )(1 xfx?=∴ (1) 10f? =极大值为的极小值点，为 )(3 xfx = (3) 22f =?极小值为极大值极小值解：
23
（ 2）极值的第二判别法
00
00
00
0 0
()
()0 ()0
1 ()
2
()0
() ()0
fx x x
fx fx
fxx
x
f x
fxfx
′′′
=≠
′′
′′
>
<
设函数 在点 附近一阶可导,在点 处二阶可导,且，，如果：
（）,则 在 处取得
（）,则 在 处取极大值得 极小值定理：
例：
32
() 3 9 5fx x x x=+求的极值
)(xf
′
963
2
= xx
12
1 3xx=? =驻点,
()fx
′′
66x=?
(1) 1 02f
′′
=?<∵
(1) 10f∴?=极大值为
(3) 12 0f
′′
= >∵
(3) 22f∴ =?极小值 为解：
24
()
()
()
fx I
fx
fx
比较 在考察函数 在区间 上所有的,
和，
，
驻点 不可其中最大,最小的分别就导 这些点处的函数值的 是的最大、
点 区间端点大小最小值。
三、函数的最大、最小值
x
y
o
a
b
例：
42
() 2 5 [22] fx x x=? +?求在闭区间上的最
，
大、最小值
)(xf
′
3
44xx=?
4( 1)( 1)xx x= +?
123
1 0 1 () 0 xxxfx =?= =
′
=令 驻点,,,求得
()fx 驻点 区间端点考察 在各个 及 处的函数值
(1) 4f?= (0) 5f = (1) 4f =
(2) 13f?=
max
()() 2 1 32 13 fxfx x∴ =? =在,处取得最大值,即
min
1 () 44 fxx ==?在,处取得最小值,即解：
(2) 13f =
25
§ 2.5 微分一、微分的概念定义：
()
()
()
()
()
( ) d
fx
dx f x d
y
yfx x
yfx
xddf
fxdx
x
x
=
=
′
=
′
′
函数 在点 的导数 与自变量微分 之积,称为函数 在点 的微分，记作 或,即：
二、微分公式和微分运算法则
()dy f x dx
′
=
1.基本初等函数的微分
26
() ()vu ux xv==记，
dvduvud ±=± )(
() ( )du c du c+= 是常数
udvvduvud +=? )(
() ( )dcu cdu c= 是常数
2
( ) ( 0)
vudvvdu
du
uu
=≠
2.微分的四则运算法则
（ 1）
（ 2）
（ 3）
3.复合函数的微分
()
()
u
dy f
yf
d
u
uu
∴
=
=
′
无论 是自变量,还是中间变量 有，
函数,
都一阶微分形式的不变性
27
例（ 1）
dyxxy,求arctan=
( arctan )xxdy dx=
′
dx
x
xx )
1
1
(arctan
2
+
+=
dx
x
x
x )
1
(arctan
2
+
+=
)arctan( xxddy?=
arctan (arctan )xdx xd x?=? +
dx
x
xdxx
2
1
1
arctan
+
+?=
dx
x
x
x )
1
(arctan
2
+
+=
解,法一法二
（ 2）
dyxxxy cosln
22
求，+?=
)(cos)ln(
22
xdxxddy +?=
)(cos)(ln)(ln
2222
xdxdxxdx +?+?=
dxxdx
x
x
xxdxx )sin(
2
2ln
2
22
+?+?=
dxxxxx )sin2ln2(
2
+=
解：
28
dyey
bax
)sin(
求，
+
=
dxedy
bax
][
)sin(
′
=
+
dxbaxea
bax
)cos(
)sin(
+=
+
))(sin(
)sin(
baxdedy
bax
+=
+
)()cos(
)sin(
baxdbaxe
bax
++?=
+
dxbaxea
bax
)cos(
)sin(
+=
+
（ 3）
解：
法一法二
Chap2 导数与微分导数与微分
§ 2.1 导数的概念
§ 2.2 导数的基本公式与运算法则
§ 2.3 高阶导数
§ 2.4 导数的应用
§ 2.5 微分导数的定义
0
0
00
0
0
00
00
0
()
()()
()()
lim
lim
()
() ( )
x x
yfx x
xx x
yyfxxfx
y
x
fx x
fx x f
ff
x
xx
x
x
Δ Δ→ →
=
Δ
Δ= +Δ?
+Δ?
=
Δ
Δ
Δ
′
设函数 在点 的某个邻域内有定义，
当自变量 在点 处有增量 时,相应的函数的增量,如果极限存在,函数 在点 可导 称此则称,并 极限值为,记函 作，数 在点 的导数 即：
§ 2.1 导数的概念
2
0
00
()
xx
xx xx
dy df x
y
dx dx
=
==
′
也可记作,或
0
0
00
0
()()
li() mlim
x x
fy
f
xx
x
x
xf
x
Δ→Δ→
+Δ?
=
Δ
′
=
ΔΔ
例 1：
0
()1 fx
′
=已知,
00
0
()()
lim 3
3
3
h
fx fh x
h
→
+?
00
03
()()
3li
3
3
m
h
fx h f
h
x
→
+?
=
0
3 ()fx=
′
313 =?=
00
0
()()
lim
3
h
fx h fx
h
→
+?
=
则
3
例 2：
0
()1 fx
′
=已知,
0
3
0
0
()()
3l
3
im
3
h
h
h
fx fx
→
=
0
33()fx=
′
=?
00
0
()()
lim
3
h
fx h fx
h
→
则例 3：
0
()1 fx
′
=已知,
0
03
0
()()3
lim
32
3
h
fx
h
fh x
→
+?
=
0
)
3
22
(
3
fx==
′
00
0
()()3
lim
2
h
hfx fx
h
→
+?
则
4
导函数的定义
()
()
()
dy df x
fx y
d
fI
x
x
dx
′′
导函数 简在上的,,
记作,
称
，或导数
，即：
0 0
()
li
()
(i m) lm
x x
fx x f
fx
x
x y
x
Δ→ Δ→
+Δ?
′
Δ
Δ
=
Δ
=
0
00
0
0
() ( )
()
() ()
xx
fx x f x
fx x
ffx
x
x
=
′
′
=
′′
=
则函数 在点 处的导数值就是导函数 在 处的函数值，
即：
5
导数的几何意义
00
00
()
(,(
() ( )
))
fx x f
x
x yfx
fx
=
′
函数 在点 的 曲线在点 处切导数 就是线的斜率
000
() ()( )yfx fxxx
′
=?切线方程：
的切线方程，在点求曲线 )11(
2
xy =
k )11( 处切线的斜率，该曲线在点
0
()kfx
′
= )1(f
′=
1
2
=
=
x
x 2=
12( 1)yx? =?则所求切线方程为：
210xy=即例：
解：
§ 2.2 导数的基本公式与运算法则一、导数公式（熟记）
() 0c
′
=
1
(log )
ln
a
x
xa
′
=
1
(ln ) ae x
x
′
==当时,有
1
()xx
αα
α
′
=
() ln
xx
aaa
′
= ( )
xx
ee ea
′
= =当时，
6
(sin ) cosxx
′
= (cos ) sinxx
′
=?
2
(tan ) secxx
′
=
2
(cot ) cscxx
′
=?
(sec ) sec tanxxx
′
=?
(csc ) csc cotxxx
′
=
2
1
(arcsin )
1
x
x
′
=
2
1
(arccos )
1
x
x
′
=?
2
1
(arctan )
1
x
x
′
=
+
2
1
(cot)
1
arc x
x
′
=?
+
7
二、函数四则运算的求导法则
() () uux vv xx==如果函数 与 都是 的可导函数
vuvu
′
±
′
=′± )(
→有限个函数和差的情况
vuvuvu ′+′=′? )(
() ( ) ()cu cuvx c
′
==
′
当常数，有
）（ 0)(
2
≠
′
′
=′ v
v
vuvu
v
u
2
1
() () 1 ( 0)
v
vv
ux v
′
′
≠==?当，有则：
（ 1）
（ 2）
（ 3）
例（ 1）
2
2
32log4ln2yx x=? +
2
2
(3 ) (2log ) (4ln 2)xxy
′ ′′
=? +
′
32
1
2
l2
0
n
x
x
= +
2
6
ln 2
x
x
=?
8
（ 2）
3cos lnyxx=?
3(cos ln )xxy
′
=?
′
(cos ) (ln )3[ ln cos ]xx=?+
′ ′
]
1
coslnsin[3
x
xxx?+=
2
1
2
x
x
y
+
=
2
22
2
(1 ) (2(2 ) (1)
)
)
(1
xxxx
y
x
+?
′ ′
′
+
=
+
22
2
)1(
2)2()1(
x
xxx
+
+?
=
22
2
)1(
14
x
xx
+
=
（ 3）
9
三、复合函数的求导法则
()
()
()
(
(()
)
x
u
ux x
yfu
ux
yfuu
yf x x
=
=
=
′ ′
=
′ ′
=
如果函数 在点 处有导数,
函数 在对应点 处有导数,
则复合函数 在点 处也可导,且
xux
dy dy du
yyu
dx du dx
′′′
=? =?或例：求下列函数的导数
xy 3sin=
sin 3y uu x= =设，
cos 3 (3 )yxx
′′
=? x3cos3=
（ 1）
xy
3
sin=
3
sinyuu x==设，
2
3sin (sin )yxx
′′
=?
xx cossin3
2
=
（ 2）
10
例：求下列函数的导数
100
)54(?= xy
()
可根据复合函数求导法则,直接由外向里逐层求导
100
[(4 5) ]xy
′
=?
′
)54()54(100
99
′= xx
99
)54(400?= x
（ 1）
xy secln=
sc(ln )eyx
′ ′
=
1
(sec
s
)
ec
x
x
′
=?
xx
x
tansec
sec
1
=
（ 2）
xtan=
11
)1ln(
2
++= xxy
2
2
1
1
()1yxx
xx
′
=?
′
++
++
])1()[(
1
1
2
2
′
++
′
++
= xx
xx
])1(
12
1
1[
1
1
2
22
′
+?
+
+?
++
= x
xxx
]2
12
1
1[
1
1
22
x
xxx
+
+?
++
=
1
1
2
+
=
x
（ 3）
2
1
tany
x
=
1
2tan t n
1
(a )
x
y
x
′
=?
′
)
1
(
1
sec
1
tan2
2
′
=
xxx
2
2
21 1
tan sec
xx x
=
（ 4）
12
2 2
sec ( 2 )y xx= +
2 2
2sec( 2 ) [sec )](2xxyxx
′
=+?
′
+
22 2
2
2sec(2)sec(2)tan(2)
( 2)
xx xx xx
xx
=+?+?
+?
′
+
)22()2tan()2(sec2
222
+?+?+= xxxxx
（ 5）
(,) 0
Fxy x
yy
yx
=
′′
在求导过程中将 看在方程 等号两边同时对 求导，
则得到含导数 的方程成是 的函数，
，解出 即可。
四、隐函数的求导法则
13
33
()
30x y axy
yfx
+=
=
求由方程 所确定的隐函数 的导数
(
)yx
x 其中是对方程两边同时求关的函数于 的导数，
,有
3 3
(3() (() 0) )
xxxx
axyyx
′ ′
+? =
′ ′
2 2
3()3[1 )]3 ( 0
xx
y ayx yxy
′
+
′
+=
2 2
3 0)3 (3 axx yyyy
′
+?
′
+? =
0)()(
22
=
′
+? yaxyayx
2
2
ay x
y
yax
∴
′
=
例（ 1）
解：
22
5(2 1)xy+=求曲线 在,点 处的切线方程
(
) yx
x 其中是对方程两边同时求关于的函数的导数
，
，
有
022 =
′
+ yyx
x
y
y
∴
′
=?
2
1
x
y
yk =
=
′
=则 斜率所求切线的
2
1
2
=?=
=
=
y
x
y
x
12(2)yx? =?∴?所求切线方程为：
250xy+?=即
（ 2）
解：
14
arctan
1
1
y
x
x
=
+
2
1
1
1(
1
)
()
1
1
x
x
x
y
x
′
=
+
+
+
′
2
2
)1(
)1()1(
)
1
1
(1
1
x
xx
x
x
+
+?
+
+
=
2
1
1 x
=?
+
例（ 1）
（ 2）
0
xy
eex
y
y?
′
+=求由方程 所确定的隐函数的导数
0)( =
′
+?
′
+ yxyyee
yx
0)()( =
′
+? yxeye
yx
x
y
ye
y
ex
=∴
′
15
六、取对数求导法取对数求导法 常用来求一些复杂的乘除式、根式、幂指函数等的导数.
)45)(34(
)23)(12(
=
xx
xx
y
函数两边取对数
x两边对 求导
ln [ln(2 1) ln(3 2) ln(4
1
2
3) ln(5 4)]yx x x x=?+
12 3 4 5
[]
22 13 24 35 4
1
xxx
y
y x
=+
′
12 3 4 5
22 13 24 35 4
y
xx x
y
x
=+
′
例,
解：
1(2 1)(3 2) 2 3 4 5
[]
2(4 3)(5 4)2 13 24 35 4
x
y
x
xx xxxx
∴ =?+
′
16
x
xy =
xxy lnln =
x
xxy
y
1
ln
1
+=
′
)1(ln +=
′
xyy
(ln 1)
x
yx x
′
+∴ =
()
[() ()] (0)
vx
yuxux=>幂指函数两边取对数求导两边对 x
例（ 1）
解：
x
xy
sin
=
xxy lnsinln?=
x
xxxy
y
1
sinlncos
1
+?=
′
sin
sin
(cos ln )
x
x
yx xx
x
′
=+∴
两边取对数求导两边对 x
（ 2）
解：
17
§ 2.3 高阶导数
2
2
() ()
( )
fx
dy
fx y
d
fx
x
′′
′
′′
的导数称为,
记作,或二阶导数的
3
3
()
()
()
fx
dy
fx
fx y
dx
′′′ ′
′′
′′
的导数,称为,
记作,或三阶导数的
nullnull
(
() ()
1)
()
() 1 ()
()
n
nn
n
n
n
fx n f
dy
fx y
x
fx
dx
阶导的 阶导数 的导数，
称为 作 或的 数,记，
653
23
+= xxxy
2
365xxy =+?
′
66xy∴ =
′
+
′
2
x
ey
=
22
(2) 2
xx
exy xe
==?
′
22
2(2)(2)
xx
exexy
∴ = +
′′
2
)24(
2 x
ex
=
例：求下列函数的二阶导数
（ 1）
解：
（ 2）
解：
18
x
ey =
()n
y =
x
e
()
2
nx
y y=,求
ln22
x
y
′
=
2
2ln2ln2 2(ln 2)
xx
y =?=
′′
2 3
2 ln2 (ln2) (ln 22 )y =?=
′′′
null
()
(n2)2 l
xnn
y∴ =
例（ 1）
解：
（ 2）
(2) ()2
(1 )arctan
nn
yyxx
=+,求
(1
2
)(2
2
)
1
2 arcta
[]
n(1 )
1
nn
xx
yy
x
x
=? +?
=
+
+
′
1arctan2 += xx
() ( 1)
2
[]
1
2arctan 2
1
nn
y
x
y xx
∴ =? +?
+
′
=
2
1
2
arctan2
x
x
x
+
+=
解：
（ 3）
19
() [,] (,)
(,),
(1) ( ) (() 0
(
,)
(2 )) ( ) (,0 )
fx
f x ab ab
ab
fx ab
fxfx ab
′
>
′
<
若函数 在 上连续,在内可导，
那么在 内，如果
，则 在 单调增内
，则 在 内加单调减少定理：
()() 0 fxfx
′
= 可以作为函数 单调性的点 的 分界点
§ 2.4 导数的应用一、函数的单调性
32
( ) 2 9 12 3fx x x x=?+?讨论函数 的单调区间
12186
2
+?= xx)(xf
′
)2)(1(6= xx
1 2 ( ) 0xf
′
∴ ==当或时，
x
()f x
′
()f x
(,1)?∞ 1 (1,2) 2 (2,)+∞
+
0
0
+
单调增加 单调减少 单调增加
(1] [12()
]
[2 )
fx?∞∴
+∞
在 内单调增加,在 内单，，调减少,
在,内单调增加例：
解：
列表可使问题明朗化列表可使问题明朗化
20
8
() 2fx x
x
=+讨论函数 的单调区间
2
8
2
x
=?)(xf
′
2
2
2
(4)x
x
=?
2 2 ( ) 0xf
′
∴ =? =当或时，
()
(,2] [2,)
( 2,0) (0,2)
fx?∞∴ +∞
-在内,
,
单调增加在 内单调减少例：
解：
x
y
′
y
(,2)?∞? 2? (2,0)?
0
(0,2) 2 (2,)+∞
++
00
,(,0) (0,)?∞ +∞∪定义域二、函数的极值
0
0 00
00
0
0 0
()
(1) ( ) ( )
() ()
()
() ()(2) ( ) ( )
()
fx x x
xx fx x
x
xx fx x
fx fx
fx
fx fx
xfx
≠
≠
>
<
如果函数 在点 的附近对一切 有：
，则称函数 在点取得,极大值 极称点 为
，则称函数 在点取得,
大值点极小 称点值 为 极小值点定义：
极大值、极小值统称为 极值极大值点、极小值点统称为 极值点
1
x
)(xfy =
2
x
x
y
o
21
246
() ( ) ( ) ( )fx fx fx fx值,大取得,极
13 57
() () () () ()f x f x f x f x f x取得,,,极小值注,函数的极值是对函数 局部性质 的反映，一个函数可能有若干个极大值,极小值,而且极大值可能小于极小值。
x
y
a
b
1
x
2
x
3
x
4
x
)(xfy =
5
x
6
x
7
x
8
x
0
() 0 ()fx xfx
′
=满足方程 的点 称为函数 的驻点定义：
22
函数极值的判定
0
0
0
0
0
()
(1) ( ) ( )
(2) ( ) ( )
(3) ( ) ( )
fx x x
x
fx fx x
fx fx x
fx fx x
′
′
′
由正变到负 极大设函数 在点 附近可导,如果当 由小变大经过 时
，则 在点 取得
，则 在点 取得符号不变值由负变到正 极
，则 在点小值没有极值
（ 1）极值的第一判别法定理：
例
32
() 3 95fx x x x=+求函数 的极值
963
2
= xx
)(xf
′ )3)(1(3?+= xx
x
()f x
′
()f x
)1(∞，
1? (13)?,3 (3 )+∞，
+
0
0
+
单调增加 单调减少 单调增加
() 0fx
′
=令
12
1 3xx=?=求 驻点,得的极大值点，为 )(1 xfx?=∴ (1) 10f? =极大值为的极小值点，为 )(3 xfx = (3) 22f =?极小值为极大值极小值解：
23
（ 2）极值的第二判别法
00
00
00
0 0
()
()0 ()0
1 ()
2
()0
() ()0
fx x x
fx fx
fxx
x
f x
fxfx
′′′
=≠
′′
′′
>
<
设函数 在点 附近一阶可导,在点 处二阶可导,且，，如果：
（）,则 在 处取得
（）,则 在 处取极大值得 极小值定理：
例：
32
() 3 9 5fx x x x=+求的极值
)(xf
′
963
2
= xx
12
1 3xx=? =驻点,
()fx
′′
66x=?
(1) 1 02f
′′
=?<∵
(1) 10f∴?=极大值为
(3) 12 0f
′′
= >∵
(3) 22f∴ =?极小值 为解：
24
()
()
()
fx I
fx
fx
比较 在考察函数 在区间 上所有的,
和，
，
驻点 不可其中最大,最小的分别就导 这些点处的函数值的 是的最大、
点 区间端点大小最小值。
三、函数的最大、最小值
x
y
o
a
b
例：
42
() 2 5 [22] fx x x=? +?求在闭区间上的最
，
大、最小值
)(xf
′
3
44xx=?
4( 1)( 1)xx x= +?
123
1 0 1 () 0 xxxfx =?= =
′
=令 驻点,,,求得
()fx 驻点 区间端点考察 在各个 及 处的函数值
(1) 4f?= (0) 5f = (1) 4f =
(2) 13f?=
max
()() 2 1 32 13 fxfx x∴ =? =在,处取得最大值,即
min
1 () 44 fxx ==?在,处取得最小值,即解：
(2) 13f =
25
§ 2.5 微分一、微分的概念定义：
()
()
()
()
()
( ) d
fx
dx f x d
y
yfx x
yfx
xddf
fxdx
x
x
=
=
′
=
′
′
函数 在点 的导数 与自变量微分 之积,称为函数 在点 的微分，记作 或,即：
二、微分公式和微分运算法则
()dy f x dx
′
=
1.基本初等函数的微分
26
() ()vu ux xv==记，
dvduvud ±=± )(
() ( )du c du c+= 是常数
udvvduvud +=? )(
() ( )dcu cdu c= 是常数
2
( ) ( 0)
vudvvdu
du
uu
=≠
2.微分的四则运算法则
（ 1）
（ 2）
（ 3）
3.复合函数的微分
()
()
u
dy f
yf
d
u
uu
∴
=
=
′
无论 是自变量,还是中间变量 有，
函数,
都一阶微分形式的不变性
27
例（ 1）
dyxxy,求arctan=
( arctan )xxdy dx=
′
dx
x
xx )
1
1
(arctan
2
+
+=
dx
x
x
x )
1
(arctan
2
+
+=
)arctan( xxddy?=
arctan (arctan )xdx xd x?=? +
dx
x
xdxx
2
1
1
arctan
+
+?=
dx
x
x
x )
1
(arctan
2
+
+=
解,法一法二
（ 2）
dyxxxy cosln
22
求，+?=
)(cos)ln(
22
xdxxddy +?=
)(cos)(ln)(ln
2222
xdxdxxdx +?+?=
dxxdx
x
x
xxdxx )sin(
2
2ln
2
22
+?+?=
dxxxxx )sin2ln2(
2
+=
解：
28
dyey
bax
)sin(
求，
+
=
dxedy
bax
][
)sin(
′
=
+
dxbaxea
bax
)cos(
)sin(
+=
+
))(sin(
)sin(
baxdedy
bax
+=
+
)()cos(
)sin(
baxdbaxe
bax
++?=
+
dxbaxea
bax
)cos(
)sin(
+=
+
（ 3）
解：
法一法二
