复变函数与积分变换第二节 目录 上页 下页 返回 结束引言,在十六世纪中叶,G,Cardano (1501-1576) 在研究一元二次方程 时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为 。在当时，
包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，
复数被 Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，
随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler
的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的 Euler
公式 揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。
然而一直到威瑟尔 ( C.Wessel 挪威,1745-1818)和阿尔冈 ( R.Argand
法国,1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss
(德国 1777-1855)与汉密尔顿 W.R.Hamilton (爱尔兰 1805-1865)定义为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。
1 0 4 0xx
5 1 5 5 1 5与
c o s s iniei
a ib?复数第二节 目录 上页 下页 返回 结束意大利医生、数学家、占星术家。一般称其英文拼法名字卡当
(Cardan)。 1501年 9月 24日生于帕维亚,1576年 9月 21日死于罗马。
早年学习古典文学、数学和星占学，后入帕维亚大学读医学,1526年获医学博士学位。 1534年成为数学教师。 1539年到米兰医学院任教,1543年成为帕维亚大学医学教授。他在医学上曾是闻名全欧的医生，也是第一个记载斑疹伤寒病医疗方法的人。
在数学上以记载三次和四次代数方程的一般解法而著称，发表在 1545年出版的,大术,一书中。他说明解法取自另一数学家塔尔塔利亚，并且一名叫费罗的人在 30年前已得知，但都没有证明，他本人用几何方法对三次方程求解公式进行了证明。实际上塔尔塔利亚只告知了两种特例情形，而卡尔达诺叙述的公式具有一般性，因此后人称这一公式为「卡尔达诺公式」或「卡当公式」。
书中还记载了他的学生费拉里发现的四次代数方程的一般解法，还有代数基本定理和韦达定理的初级形式，解方程中虚根的使用等许多方程的基本理论。
他被誉为 16世纪文艺复兴时期人文主义的代表人物和百科全书式的学者，
一生共写了各种类型论著 200多种，内容涉及力学、机械学、天文学、化学、
生物学、密码术、及占星术等等。
卡尔达诺（ Cardano,Girolamo,1501-1576）
第二节 目录 上页 下页 返回 结束复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。
复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。
自变量为复数的函数就是复变函数,它是本课程的研究对象,由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,第一章将在原有的基础上作简要的复习和补充 ; 然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念,为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础,
第二节 目录 上页 下页 返回 结束第一章 复数与复变函数
§ 1.1复数及其表示法一对有序实数 （ ） 构成一个 复数,记为,
x,y 分别称为 Z 的 实部 和 虚部,记作 x=Re(Z),y=Im(Z),.1i
称为 Z 的共轭复数。
与实数不同,一般说来,任意两个复数不能比较大小,
两个复数相等 他们的实部和虚部都相等特别地，
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
1.代数形式,iyxz
复数的表示法
1)点表示,iyxz复数 (,)X O Y z x y? 平面 上的点
y
z(x,y)
xx0
y
r
复平面实轴虚轴第二节 目录 上页 下页 返回 结束
2) 向量表示：
----复数 z的辐角 (argument)
记作 Arg z=q,任何一个复数 z?0有无穷多个幅角,将满足
复数z = x + i y 矢径z
0 x
y
x
y
z=x+iyz
22z z r x y----复数 z的模
zx?与 轴正向的夹角
||||
|,|||||
|,||||,|||
22
zzzz
yxz
zyzx
- <q0? 的 q0 称为 Arg z的主值,记作 q0=arg z,则
Arg z=q0+2k =arg z +2k (k为任意整数 )
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
在第三象限在第二象限在第一、四象限
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
,a r c t a n
,a r c t a n
,a r c t a n
a r g
当 z = 0 时,| z | = 0,而幅角不确定,arg z可由下列关系确定,
a r c t a n22 yx其中说明：当 z 在第二象限时，
a r g 022 z
t a n ( ) t a n ( ) t a n yxa r c t a n yx
a r c ta n,yx
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2,指数形式与三角形式
),( zA r gzr
)s in( c o s irz
irez?
利用直角坐标与极坐标的关系,x = r cos?,y = r sin?,
可以将 z表示成 三角表示式,
利用欧拉公式 e i? = cos? + i sin? 得 指数表示式,
例 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式,
1 ) 1 2 2 ; 2 ) s in c o s,55z i z i
[解 ] 1) | | 1 2 4 4,rzz在第三象限,因此
2 3 5a r c ta n a r c ta n,
3612
因此
5
6554 c o s ( ) s i n ( ) 4
66
iz i e
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
2) 显然,r = | z | = 1,又 3
si n c os c os,
5 2 5 10
3
c os si n si n,
5 2 5 10
因此 31033c o s s in
1 0 1 0
iz i e
练习,写出 的辐角和它的指数形式。13
2
iz
解,3 2 2
a r g a r c t a n a r c t a n 3,1 2 3 3z
2a r g 2 2,,
3A r g z z k k k Z
1,rz 23,ize
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§ 1.2 复数的运算
222111,iyxziyxz
设
z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ；
z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)；
z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
复数运算满足交换律,结合律和分配律,
1,四则运算：
第二节 目录 上页 下页 返回 结束加减法与平行四边形法则的几何意义,
乘、除法的几何意义,
111 iz r e 222
iz r e 12()1 2 1 2 iz z r r e,
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2rg
z z r r z z
A r g z z A z A r g z
,
1z
2z
12zz?
12zz?
,
定理 1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和,
第二节 目录 上页 下页 返回 结束等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2,的意思是等式的两边都是无限集合,两边的集合相等,即每给定等式左边的一个数,就有等式右边的一个数与之对应,反之亦然,
几何上 z1z2 相当于将 z2 的模扩大 |z1| 倍并旋转一个角度 Arg z1,
0 1
1z
2z
12zz
1r
2r
12rr
1?
2?
1?
12
x
y
1iz
12z
第二节 目录 上页 下页 返回 结束例 2：设
121,.z z i
求
1 2 ; 1 2,z z Argz z
2
12 ;
iz z i e
1 2,A rg z n 2 2,2A r g z m
解：
1 2 1 2 2
2
,,
A r g z z A r g z A r g z k
k m n Z
若取
1,k?
则1,1,;n m n m
若取 0,mn 则 1.k?
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
2
21
12
2 1 1
1 2
21
1
0
z
zz
zz
z z z
z z
A r g z A r g A r g z
z
21()22
11
izr e
zr
22
11
2
21
1
zz
zz
z
A rg A rgz A rgz
z
;
按照乘积的定义,当 z1?0时,有定理 2 两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差,
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
2,乘方与开方运算
1）乘方
c o s s i nn n i n nz r e r n i n
De Moivre （棣摩佛） 公式：
c o s s i n c o s s i nni n i n
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
2 ）开方,若满足,则称 w为 z的 n次方根,nwz?
记为
.nwz?
ziA r gwin A r gn ezew?
2
( 0,1,2,,1 )
nwz
a r g z k
A r g w
n
kn
于是推得第二节 目录 上页 下页 返回 结束
2
1
22
c o s s in
( 0,1,,1 )
a r g z k
i
n nn
n
z z e
a r g z k a r g z k
ri
nn
kn
从而几何解释,z1/n的 n个值就是以原点为中心,r1/n为半径的圆的内接正 n边形的 n个顶点。
例 2 求
4 1.i?
[解 ] 因为 1 2 c o s sin,
44ii
所以
84
22
441 2 c o s s in,( 0,1,2,3 )
44
kk
i i k
第二节 目录 上页 下页 返回 结束即
8
0
8
1
8
2
8
3
2 c os si n,
16 16
99
2 c os si n,
16 16
17 17
2 c os si n,
16 16
25 25
2 c os si n,
16 16
wi
wi
wi
wi
注,四个根是内接于中心在原点半径为 21/8的圆的正方形的四个顶点,
2
82
1+i
w0
w1
w2
w3
O x
y
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
§ 1.3 复数形式的代数方程与平面几何图形很多平面图形能用复数形式的方程 (或不等式 )来表示 ; 也可以由给定的复数形式的方程 (或不等式 )来确定它所表示的平面图形,
例 3 将通过两点 z1=x1+iy1与 z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示,
[解 ],通过点 (x1,y1)与 (x2,y2)的直线可用参数方程表示为
1 2 1
1 2 1
( ),
()
( ),
x x t x x
t
y y t y y
因此,它的复数形式的参数方程为 z=z1+t(z2?z1),(<t<+?)
第二节 目录 上页 下页 返回 结束由此得知由 z1到 z2的直线段的参数方程可以写成
z=z1+t(z2?z1),(0?t?1)
取 1
2
t?
得知线段
12zz
的中点为
12
2
zzz
例 4 求下列方程所表示的曲线,
1 ) | | 2 ;
2 ) | 2 | | 2 |;
3 ) I m ( ) 4,
zi
z i z
iz
第二节 目录 上页 下页 返回 结束解,1 ) | | 2zi
设 z = x + i y,方程变为
22
22
| ( 1 ) | 2
( 1 ) 2,
( 1 ) 4
x y i
xy
xy
i
O x
y
2 ) | 2 | | 2 |z i z
几何上,该方程表示到点 2i和?2的距离相等的点的轨迹,所以方程表示的曲线就是连接点 2i和?2的线段的垂直平分线,方程为 y x,也可用代数的方法求出。
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
O x
y
2
2i
yx
3 ) I m ( ) 4,iz
设 z = x + i y,那末
(1 )
I m ( ) 1
i z x y i
i z y
可得所求曲线的方程为 y3,
O
y
x
y3
第二节 目录 上页 下页 返回 结束复数域的几何模型 ---复球面
0
N
除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数,
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
x2
x3
o
z(x,y)x1
y
P(x1,x2,x3)
x1
x2
x3
N(0,0,2r)
对复平面内任一点
z,用直线将 z与 N相连,与球面相交于 P
点,则球面上除 N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,
而 N点本身可代表无穷远点,记作?.
这样的球面称作 复球面,
x
第二节 目录 上页 下页 返回 结束扩充复数域 --- 引进一个,新,的数 ∞,
扩充复平面 --- 引进一个,理想点,,无穷远点 ∞,
约定,
),0(
0
aa ),(0
aa )(
a
a
)0( aaa
)( aaa
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
§ 1.4 区域
1,区域的概念平面上以 z0为中心,d (任意的正数 )为半径的圆,|z?z0|<d 内部的点的集合称为 z0的 邻域,而称由不等式 0<|z?z0|<d 所确定的点集为 z0的 去心邻域,
包括无穷远点自身在内且满足
|z|>M 的所有点的集合,其中实数
M>0,称为 无穷远点的邻域,
即它是圆 |z|=M 的外部且包含无穷远点本身,不包括无穷远点本身的仅满足 |z|>M 的所有点称为 无穷远点的去心邻域,也记作 M<|z|<?.
0
M
|z|>M
第二节 目录 上页 下页 返回 结束设 G为一平面点集,z0为 G中任意一点,如果存在 z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于 G,则称 z0为 G的 内点,如果 G内的每个点都是它的内点,则称 G为 开集平面点集 D称为一个 区域,如果它满足下列两个条件,
1) D是一个开集 ;
2) D是连通的。就是说 D中任何两点都可以用完全属于 D
的一条折线连接起来,
设 D为复平面内的一个区域,如果点 P不属于 D,但在 P的任意小的邻域内总包含有 D中的点,这样的点 P称为 D的 边界点,D的所有边界点组成 D的 边界,区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的,
第二节 目录 上页 下页 返回 结束区域 D与它的边界一起构成 闭区域或闭域,记作?D.
如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数 M,使区域 D的每个点 z都满足 |z|<M,则称 D为 有界的,否则称为 无界的,
平面曲线在数学上,经常用参数方程来表示各种平面曲线,
如果 x(t)和 y(t)是两个连续的实变函数,则方程组
x=x(t),y=y(t),(a?t?b)
代表一条平面曲线,称为 连续曲线,如果令
z(t)=x(t)+iy(t)
则此曲线可用一个方程
z=z(t) (a?t?b)
来代表,这就是平面曲线的复数表示式,
2,单连通域与多连通域第二节 目录 上页 下页 返回 结束设 C,z=z(t) (a?t?b)为一条连续曲线,z(a)与 z(b)分别为 C
的 起点 与 终点,对于满足 a<t1<b,a?t2?b 的 t1与 t2,当 t1?t2
而有 z(t1)=z(t2) 时,点 z(t1)称为曲线 C的 重点,没有重点的连续曲线 C,称为 简单曲线 或 若尔当 (Jardan)曲线,如果简单曲线 C的起点与终点闭合,即 z(a)=z(b),则曲线 C 称为 简单闭曲线,
z(a)=z(b)
简单,闭
z(a) z(b)
简单,不闭 z(a)=z(b)
不简单,闭不简单,不闭
z(a)
z(b)
第二节 目录 上页 下页 返回 结束任意一条简单闭曲线 C 把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集,其中除去 C 外,一个是有界区域,称为
C 的 内部,另一个是无界区域,称为 C 的 外部,C 为它们的公共边界,简单闭曲线的这一性质,其几何直观意义是很清楚的,
内部 外部
C
第二节 目录 上页 下页 返回 结束定义 复平面上的一个区域 B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于 B,就称为 单连通域,
一个区域如果不是单连通域,就称为 多连通域,
单连通域 多连通域第二节 目录 上页 下页 返回 结束
§ 1.5 复变函数
1,复变函数的定义定义 设 D 是复平面中的一个点集,
:
DW
f z w
复数
,,w f z f x i y u x y i v x y
称为复变函数,
其确定了自变量为 x和 y的两个二元实变函数 u,v,
例如,考察函数 w = z2.令 z = x+iy,w = u+iv,则
u+iv = (x+iy)2 = x2?y2+i2xy,
因而 w = z2对应于两个二元函数,u = x2?y2,v = 2xy
第二节 目录 上页 下页 返回 结束在以后的讨论中,D常常是一个平面区域,称之为 定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为 单值函数,
2,映射的概念函数 w=f (z) 在几何上可以看做是把 z平面上的一个点集 D(定义集合 )变到 w平面上的一个点集 G (函数值集合 )
的 映射 (或 变换 ),如果 D 中的点 z 被映射 w=f (z) 映射成
G中的点 w,则 w 称为 z 的 象 (映象 ),而 z 称为 w 的 原象,
x u
D G
Z
z wW=f(z)
vy W
第二节 目录 上页 下页 返回 结束例 1 设函数 w = z =x – iy ; u=x,v=-y
x
y
O u
v
O
A B
C
z1
z2 A' B'
C'
w1
w2
第二节 目录 上页 下页 返回 结束例 2 设函数 w = z2 = (x+iy)2 = x2?y2+i2xy,
有 u = x2?y2,v = 2xy
x
y
O u
v
Oz1
z2
w2
z3 w3w1
1
2
3
12
1
zi
zi
z
1
2
3
1
34
1
w
wi
w
Im 0
R e 0
1
zy
zx
z
22
Im 2 0
1
w xy
w u v
如果函数 (映射 ) w=f (z) 与它的反函数 (逆映射 ) z =j
(w)都是单值的,则称函数 (映射 ) w =f (z)是 一一的,此时,我们也称集合 D与集合 G是 一一对应的,
举例,曲线在映射下的像例 4?8,122 zwyxC
11z x iy
w u iv
22 vu
ivu
2222,vu
vy
vu
ux
8
1,22 vu
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
,2 bzwRzC
例 5
Rbwzbw 2:2
例 6?)2(,2 zwtizC
22 )43(])2[( titiw uv
3
4,
例 7?, izwxyC
)( ixxiw ixx uv,
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，
复数被 Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，
随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler
的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的 Euler
公式 揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。
然而一直到威瑟尔 ( C.Wessel 挪威,1745-1818)和阿尔冈 ( R.Argand
法国,1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss
(德国 1777-1855)与汉密尔顿 W.R.Hamilton (爱尔兰 1805-1865)定义为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。
1 0 4 0xx
5 1 5 5 1 5与
c o s s iniei
a ib?复数第二节 目录 上页 下页 返回 结束意大利医生、数学家、占星术家。一般称其英文拼法名字卡当
(Cardan)。 1501年 9月 24日生于帕维亚,1576年 9月 21日死于罗马。
早年学习古典文学、数学和星占学，后入帕维亚大学读医学,1526年获医学博士学位。 1534年成为数学教师。 1539年到米兰医学院任教,1543年成为帕维亚大学医学教授。他在医学上曾是闻名全欧的医生，也是第一个记载斑疹伤寒病医疗方法的人。
在数学上以记载三次和四次代数方程的一般解法而著称，发表在 1545年出版的,大术,一书中。他说明解法取自另一数学家塔尔塔利亚，并且一名叫费罗的人在 30年前已得知，但都没有证明，他本人用几何方法对三次方程求解公式进行了证明。实际上塔尔塔利亚只告知了两种特例情形，而卡尔达诺叙述的公式具有一般性，因此后人称这一公式为「卡尔达诺公式」或「卡当公式」。
书中还记载了他的学生费拉里发现的四次代数方程的一般解法，还有代数基本定理和韦达定理的初级形式，解方程中虚根的使用等许多方程的基本理论。
他被誉为 16世纪文艺复兴时期人文主义的代表人物和百科全书式的学者，
一生共写了各种类型论著 200多种，内容涉及力学、机械学、天文学、化学、
生物学、密码术、及占星术等等。
卡尔达诺（ Cardano,Girolamo,1501-1576）
第二节 目录 上页 下页 返回 结束复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。
复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。
自变量为复数的函数就是复变函数,它是本课程的研究对象,由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,第一章将在原有的基础上作简要的复习和补充 ; 然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念,为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础,
第二节 目录 上页 下页 返回 结束第一章 复数与复变函数
§ 1.1复数及其表示法一对有序实数 （ ） 构成一个 复数,记为,
x,y 分别称为 Z 的 实部 和 虚部,记作 x=Re(Z),y=Im(Z),.1i
称为 Z 的共轭复数。
与实数不同,一般说来,任意两个复数不能比较大小,
两个复数相等 他们的实部和虚部都相等特别地，
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1.代数形式,iyxz
复数的表示法
1)点表示,iyxz复数 (,)X O Y z x y? 平面 上的点
y
z(x,y)
xx0
y
r
复平面实轴虚轴第二节 目录 上页 下页 返回 结束
2) 向量表示：
----复数 z的辐角 (argument)
记作 Arg z=q,任何一个复数 z?0有无穷多个幅角,将满足
复数z = x + i y 矢径z
0 x
y
x
y
z=x+iyz
22z z r x y----复数 z的模
zx?与 轴正向的夹角
||||
|,|||||
|,||||,|||
22
zzzz
yxz
zyzx
- <q0? 的 q0 称为 Arg z的主值,记作 q0=arg z,则
Arg z=q0+2k =arg z +2k (k为任意整数 )
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在第三象限在第二象限在第一、四象限
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
,a r c t a n
,a r c t a n
,a r c t a n
a r g
当 z = 0 时,| z | = 0,而幅角不确定,arg z可由下列关系确定,
a r c t a n22 yx其中说明：当 z 在第二象限时，
a r g 022 z
t a n ( ) t a n ( ) t a n yxa r c t a n yx
a r c ta n,yx
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2,指数形式与三角形式
),( zA r gzr
)s in( c o s irz
irez?
利用直角坐标与极坐标的关系,x = r cos?,y = r sin?,
可以将 z表示成 三角表示式,
利用欧拉公式 e i? = cos? + i sin? 得 指数表示式,
例 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式,
1 ) 1 2 2 ; 2 ) s in c o s,55z i z i
[解 ] 1) | | 1 2 4 4,rzz在第三象限,因此
2 3 5a r c ta n a r c ta n,
3612
因此
5
6554 c o s ( ) s i n ( ) 4
66
iz i e
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2) 显然,r = | z | = 1,又 3
si n c os c os,
5 2 5 10
3
c os si n si n,
5 2 5 10
因此 31033c o s s in
1 0 1 0
iz i e
练习,写出 的辐角和它的指数形式。13
2
iz
解,3 2 2
a r g a r c t a n a r c t a n 3,1 2 3 3z
2a r g 2 2,,
3A r g z z k k k Z
1,rz 23,ize
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§ 1.2 复数的运算
222111,iyxziyxz
设
z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ；
z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)；
z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
复数运算满足交换律,结合律和分配律,
1,四则运算：
第二节 目录 上页 下页 返回 结束加减法与平行四边形法则的几何意义,
乘、除法的几何意义,
111 iz r e 222
iz r e 12()1 2 1 2 iz z r r e,
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2rg
z z r r z z
A r g z z A z A r g z
,
1z
2z
12zz?
12zz?
,
定理 1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和,
第二节 目录 上页 下页 返回 结束等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2,的意思是等式的两边都是无限集合,两边的集合相等,即每给定等式左边的一个数,就有等式右边的一个数与之对应,反之亦然,
几何上 z1z2 相当于将 z2 的模扩大 |z1| 倍并旋转一个角度 Arg z1,
0 1
1z
2z
12zz
1r
2r
12rr
1?
2?
1?
12
x
y
1iz
12z
第二节 目录 上页 下页 返回 结束例 2：设
121,.z z i
求
1 2 ; 1 2,z z Argz z
2
12 ;
iz z i e
1 2,A rg z n 2 2,2A r g z m
解：
1 2 1 2 2
2
,,
A r g z z A r g z A r g z k
k m n Z
若取
1,k?
则1,1,;n m n m
若取 0,mn 则 1.k?
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2
21
12
2 1 1
1 2
21
1
0
z
zz
zz
z z z
z z
A r g z A r g A r g z
z
21()22
11
izr e
zr
22
11
2
21
1
zz
zz
z
A rg A rgz A rgz
z
;
按照乘积的定义,当 z1?0时,有定理 2 两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差,
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2,乘方与开方运算
1）乘方
c o s s i nn n i n nz r e r n i n
De Moivre （棣摩佛） 公式：
c o s s i n c o s s i nni n i n
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2 ）开方,若满足,则称 w为 z的 n次方根,nwz?
记为
.nwz?
ziA r gwin A r gn ezew?
2
( 0,1,2,,1 )
nwz
a r g z k
A r g w
n
kn
于是推得第二节 目录 上页 下页 返回 结束
2
1
22
c o s s in
( 0,1,,1 )
a r g z k
i
n nn
n
z z e
a r g z k a r g z k
ri
nn
kn
从而几何解释,z1/n的 n个值就是以原点为中心,r1/n为半径的圆的内接正 n边形的 n个顶点。
例 2 求
4 1.i?
[解 ] 因为 1 2 c o s sin,
44ii
所以
84
22
441 2 c o s s in,( 0,1,2,3 )
44
kk
i i k
第二节 目录 上页 下页 返回 结束即
8
0
8
1
8
2
8
3
2 c os si n,
16 16
99
2 c os si n,
16 16
17 17
2 c os si n,
16 16
25 25
2 c os si n,
16 16
wi
wi
wi
wi
注,四个根是内接于中心在原点半径为 21/8的圆的正方形的四个顶点,
2
82
1+i
w0
w1
w2
w3
O x
y
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§ 1.3 复数形式的代数方程与平面几何图形很多平面图形能用复数形式的方程 (或不等式 )来表示 ; 也可以由给定的复数形式的方程 (或不等式 )来确定它所表示的平面图形,
例 3 将通过两点 z1=x1+iy1与 z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示,
[解 ],通过点 (x1,y1)与 (x2,y2)的直线可用参数方程表示为
1 2 1
1 2 1
( ),
()
( ),
x x t x x
t
y y t y y
因此,它的复数形式的参数方程为 z=z1+t(z2?z1),(<t<+?)
第二节 目录 上页 下页 返回 结束由此得知由 z1到 z2的直线段的参数方程可以写成
z=z1+t(z2?z1),(0?t?1)
取 1
2
t?
得知线段
12zz
的中点为
12
2
zzz
例 4 求下列方程所表示的曲线,
1 ) | | 2 ;
2 ) | 2 | | 2 |;
3 ) I m ( ) 4,
zi
z i z
iz
第二节 目录 上页 下页 返回 结束解,1 ) | | 2zi
设 z = x + i y,方程变为
22
22
| ( 1 ) | 2
( 1 ) 2,
( 1 ) 4
x y i
xy
xy
i
O x
y
2 ) | 2 | | 2 |z i z
几何上,该方程表示到点 2i和?2的距离相等的点的轨迹,所以方程表示的曲线就是连接点 2i和?2的线段的垂直平分线,方程为 y x,也可用代数的方法求出。
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O x
y
2
2i
yx
3 ) I m ( ) 4,iz
设 z = x + i y,那末
(1 )
I m ( ) 1
i z x y i
i z y
可得所求曲线的方程为 y3,
O
y
x
y3
第二节 目录 上页 下页 返回 结束复数域的几何模型 ---复球面
0
N
除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数,
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x2
x3
o
z(x,y)x1
y
P(x1,x2,x3)
x1
x2
x3
N(0,0,2r)
对复平面内任一点
z,用直线将 z与 N相连,与球面相交于 P
点,则球面上除 N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,
而 N点本身可代表无穷远点,记作?.
这样的球面称作 复球面,
x
第二节 目录 上页 下页 返回 结束扩充复数域 --- 引进一个,新,的数 ∞,
扩充复平面 --- 引进一个,理想点,,无穷远点 ∞,
约定,
),0(
0
aa ),(0
aa )(
a
a
)0( aaa
)( aaa
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§ 1.4 区域
1,区域的概念平面上以 z0为中心,d (任意的正数 )为半径的圆,|z?z0|<d 内部的点的集合称为 z0的 邻域,而称由不等式 0<|z?z0|<d 所确定的点集为 z0的 去心邻域,
包括无穷远点自身在内且满足
|z|>M 的所有点的集合,其中实数
M>0,称为 无穷远点的邻域,
即它是圆 |z|=M 的外部且包含无穷远点本身,不包括无穷远点本身的仅满足 |z|>M 的所有点称为 无穷远点的去心邻域,也记作 M<|z|<?.
0
M
|z|>M
第二节 目录 上页 下页 返回 结束设 G为一平面点集,z0为 G中任意一点,如果存在 z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于 G,则称 z0为 G的 内点,如果 G内的每个点都是它的内点,则称 G为 开集平面点集 D称为一个 区域,如果它满足下列两个条件,
1) D是一个开集 ;
2) D是连通的。就是说 D中任何两点都可以用完全属于 D
的一条折线连接起来,
设 D为复平面内的一个区域,如果点 P不属于 D,但在 P的任意小的邻域内总包含有 D中的点,这样的点 P称为 D的 边界点,D的所有边界点组成 D的 边界,区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的,
第二节 目录 上页 下页 返回 结束区域 D与它的边界一起构成 闭区域或闭域,记作?D.
如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数 M,使区域 D的每个点 z都满足 |z|<M,则称 D为 有界的,否则称为 无界的,
平面曲线在数学上,经常用参数方程来表示各种平面曲线,
如果 x(t)和 y(t)是两个连续的实变函数,则方程组
x=x(t),y=y(t),(a?t?b)
代表一条平面曲线,称为 连续曲线,如果令
z(t)=x(t)+iy(t)
则此曲线可用一个方程
z=z(t) (a?t?b)
来代表,这就是平面曲线的复数表示式,
2,单连通域与多连通域第二节 目录 上页 下页 返回 结束设 C,z=z(t) (a?t?b)为一条连续曲线,z(a)与 z(b)分别为 C
的 起点 与 终点,对于满足 a<t1<b,a?t2?b 的 t1与 t2,当 t1?t2
而有 z(t1)=z(t2) 时,点 z(t1)称为曲线 C的 重点,没有重点的连续曲线 C,称为 简单曲线 或 若尔当 (Jardan)曲线,如果简单曲线 C的起点与终点闭合,即 z(a)=z(b),则曲线 C 称为 简单闭曲线,
z(a)=z(b)
简单,闭
z(a) z(b)
简单,不闭 z(a)=z(b)
不简单,闭不简单,不闭
z(a)
z(b)
第二节 目录 上页 下页 返回 结束任意一条简单闭曲线 C 把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集,其中除去 C 外,一个是有界区域,称为
C 的 内部,另一个是无界区域,称为 C 的 外部,C 为它们的公共边界,简单闭曲线的这一性质,其几何直观意义是很清楚的,
内部 外部
C
第二节 目录 上页 下页 返回 结束定义 复平面上的一个区域 B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于 B,就称为 单连通域,
一个区域如果不是单连通域,就称为 多连通域,
单连通域 多连通域第二节 目录 上页 下页 返回 结束
§ 1.5 复变函数
1,复变函数的定义定义 设 D 是复平面中的一个点集,
:
DW
f z w
复数
,,w f z f x i y u x y i v x y
称为复变函数,
其确定了自变量为 x和 y的两个二元实变函数 u,v,
例如,考察函数 w = z2.令 z = x+iy,w = u+iv,则
u+iv = (x+iy)2 = x2?y2+i2xy,
因而 w = z2对应于两个二元函数,u = x2?y2,v = 2xy
第二节 目录 上页 下页 返回 结束在以后的讨论中,D常常是一个平面区域,称之为 定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为 单值函数,
2,映射的概念函数 w=f (z) 在几何上可以看做是把 z平面上的一个点集 D(定义集合 )变到 w平面上的一个点集 G (函数值集合 )
的 映射 (或 变换 ),如果 D 中的点 z 被映射 w=f (z) 映射成
G中的点 w,则 w 称为 z 的 象 (映象 ),而 z 称为 w 的 原象,
x u
D G
Z
z wW=f(z)
vy W
第二节 目录 上页 下页 返回 结束例 1 设函数 w = z =x – iy ; u=x,v=-y
x
y
O u
v
O
A B
C
z1
z2 A' B'
C'
w1
w2
第二节 目录 上页 下页 返回 结束例 2 设函数 w = z2 = (x+iy)2 = x2?y2+i2xy,
有 u = x2?y2,v = 2xy
x
y
O u
v
Oz1
z2
w2
z3 w3w1
1
2
3
12
1
zi
zi
z
1
2
3
1
34
1
w
wi
w
Im 0
R e 0
1
zy
zx
z
22
Im 2 0
1
w xy
w u v
如果函数 (映射 ) w=f (z) 与它的反函数 (逆映射 ) z =j
(w)都是单值的,则称函数 (映射 ) w =f (z)是 一一的,此时,我们也称集合 D与集合 G是 一一对应的,
举例,曲线在映射下的像例 4?8,122 zwyxC
11z x iy
w u iv
22 vu
ivu
2222,vu
vy
vu
ux
8
1,22 vu
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,2 bzwRzC
例 5
Rbwzbw 2:2
例 6?)2(,2 zwtizC
22 )43(])2[( titiw uv
3
4,
例 7?, izwxyC
)( ixxiw ixx uv,
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