§ 3 Laplace逆变换前面主要讨论了由已知函数 f (t)求它的象数
F(s),但在实际应用中常会碰到与此相反的问题,
即已知象函数 F(s)求它的象原函数 f (t),本节就来解决这个问题,
由拉氏变换的概念可知,函数 f (t)的拉氏变换,
实际上就是 f (t)u(t)e-bt 的傅氏变换,
()
00
[ ( ) ( ) ] ( ) ( )
( ) ( )
t t j t
j t st
f t u t e f t u t e e dt
f t e dt s j f t e dt F s
b b?
b? b?

- - -
-?

-? -


F
因此,按傅氏积分公式,在 f (t)的连续点就有
jj
j ( j )
0
j
( ) ( ) e
1
( ) ( ) e e d e d
2
1
e d ( ) e d
2
1
( j ) e d,0
2
t
t
t
t
f t u t
fu
f
Ft
b
b
b


b
-

--
-? -?

-?
-?

-?







( j )1( ) ( j ) e d,0
2
tf t F tb?b

-?

等式两边同乘以 ebt,则
( j )
j
j
1
( ) ( j ) e d,0
2
1
j,
1
( ) ( ) e d,0,
2j
st
f t F t
sd
j
f t F s s t
b?
b
b
b
b

-?

-?



令 ds,有积分路线中的实部 b 有一些随意,但必须满足的条件就是 e-btf (t)u(t)的 0到正无穷的积分必须收敛,
计算复变函数的积分通常比较困难,但是可以用留数方法计算,
右端的积分称为拉氏反演积分,
1
j
j
1
( ),,
( Re ) l im ( ) 0,0
1
( ) Re s ( ),.
2j
n
s
n
st st
k
k
F s s
s F s t
F s e ds F s e s
b
b
b


-?



定 理,若 在 全 平 面 只 有 有 限 个 奇 点 s
均 在 左 侧,且 则 时
O 实轴虚轴
L
CR
b+jR
b-jR
为奇点
b
解析
2
1( ),
( 1 )
Fs
ss
-
例 1 求 的 逆 变 换
0,1,ss为 一 阶 极 点 为 二 阶 极 点

2
1
0
2
1
( ) Re,0 Re,1
1 d 1
e l im e
( 1 ) d
1
1 l im e e
1 ( e e ) 1 e ( 1 ) ( 0),
st st
st st
s
s
st st
s
t t t
f t s F s e s F s e
s s s
t
ss
t t t





-

-


- -?
2
1( ),
( 1 )
Fs
ss
例 2 求 的 逆 变 换
22
1 1 1 1()
( 1 ) 1
Fs
s s s s s
-

1
2
1()
( 1 )
ft
ss
-


所 以 L
1 e ( 0),
t
tt
-




-
-1 -1 -1
2
1 -1 1
= L L L
s s s + 1
§ 4 卷积
1,卷积的概念：两个函数的卷积是指
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) df t f t f f t

- -?
如果 f1(t)与 f2(t)都满足条件,当 t<0时,f1(t)=f2(t)=0,
则上式可以写成：
0
1 2 1 2
1 2 1 2
0
12
0
( ) ( ) ( ) ( ) d
( ) ( ) d ( ) ( ) d
( ) ( ) d,
t
t
t
f t f t f f t
f f t f f t
f f t



-?

-
-? -
-

()
00
000
0
2
,e e d e e d
1e
e de e e d
e1
ee
e1
e ( e 1 )
1
( e 1 )
tt
at a t at a
at
tt t
at a a a
at
t
at a
at
at at
at
t
aa
t
aa
t
aa
t
aa




--
- - -
--
--

-

-? -


-



-
-


-? -


例 1
卷积定理：

12
1 1 2 2
( ),( ) L a p l a c e
[ ] [ ]
f t f t
f t F f t F
设 满 足 变 换 存 在 定 理 条 件,
且 s,s,LL


1 2 1 2 1 2
1
1 2 1 2
[ ] [ ] [ ] ( ) ( )
[ ( ) ( ) ],
f t f t f t f t F s F s
F s F s f t f t-


则或,
L L L
L
注：卷积公式可用来计算逆变换或卷积,
例 2122 1( ),( )( 1 )F s F sss - 求 L
1 1 122111 ( ) s i n1F s t tss- - - -? -

解 法,L L L

1 1 1
22
00
0
0
0
11
2 ( ) si n
1
si n( ) c os( )
c os( ) c os( )
si n( ) si n
tt
t
t
t
F s t t
ss
t d d t
t t s ds
t t s t t


- - -




-? -
- - -
-? -

解 法,L L L
例 31221( ),( ),( 2 5 )F s F sss - 求 L

2 2 2
11
2 2 2 2
1 1 1
2 2 2 2
()
0
1
( ),
[ ( 1 ) 2 ]
1 1 2 1
si n 2
( 1 ) 2 2 2 2
11
()
( 1 ) 2 ( 1 ) 2
1 1 1
si n 2 si n 2 ( si n 2 ) ( si n 2( )
2 2 4
1
( c os ( 4 2 ) c os 2 )
8
tt
t
t t t
t
Fs
s
e e t
ss
Fs
ss
e t e t e e t d
e t t


- - - -
- - -
- - - - -
-











-
- -
LL
L L L

0
1
si n 2 2 c os 2,
16
t
t
d e t t t?
-
-
§ 5 Laplace变换的应用对一个系统进行分析和研究,首先要知道该系统的数学模型,也就是要建立该系统特性的数学表达式,所谓线性系统,在许多场合,它的数学模型可以用一个线性微分方程来描述,或者说是满足叠加原理的一类系统,这一类系统无论是在电路理论还是在自动控制理论的研究中,都占有很重要的地位,
本节将应用拉氏变换来解线性微分方程,
微分方程的拉氏变换解法首先取拉氏变换将微分方程化为象函数的代数方程,解代数方程求出象函数,再取逆变换得最后的解,如下图所示,
象原函数
(微分方程的解 ) 象函数微分方程 象函数的代数方程取拉氏逆变换取拉氏变换解代数方程例 1 求解 。

-
0)0()0(
c o s2)(2)(2)(
xx
tetxtxtx t


2
2
2
22
2
11
22
22
( ) ( ),L a pl a c e
2( 1 )
( ) ( 0) ( 0) 2 ( ) ( 0) 2 ( )
( 1 ) 1
2( 1 ) 2( 1 )
( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )
( 1 ) 1
( 1 ) 1
2( 1 ) 2
()
( 1 ) 1 1
t
X s x t
s
s X s sx x sX s x X s
s
ss
s X s sX s X s X s
s
s
ss
x t e
ss
e
--
-
- - - -
-?
--
-
-?
-?


-



-

-
令 方 程 两 边 取 变 换,L
LL
11
22
11
si n
11
t t t
te te t
ss
--






LL
例 2 求解

-

3)0(,1)0(
13)(3)()(2
10)(2)(2)(
2
2
yx
etytytx
etytxtx
t
t

2
2
( ) ( ),( ) ( )
10
( ) 1 2 ( ) 2 ( )
2
13
2 ( ) ( ) 3 3 ( )
2
1
()
()
2
3 ( ) 3
()
2
t
t
X s x t Y s y t
sX s X s Y s
s
X s sY s Y s
s
Xs
x t e
s
y t e
Ys
s

-
-
-? -
-?

-


-?
令,LL