1
§ 3 唯一决定分式线性映射的条件分式线性映射
dcz
baz
中含有四个常数 a,b,c,d,但是,如果用这四个数中的一个去除分子和分母,就可将分式中的四个常数化为三个常数,所以,上式中实际上只有三个独立的常数,因此,只需给定三个条件,就能决定一个分式线性映射,
2
存在唯一的分式线性映射,将 zk(k=1,2,3)依次映射定理 在 z平面上任意给定三个相异的点 z1,z2,z3,
在 w平面上也任意给定三个相异的点 w1,w2,w3,则成 wk(k=1,2,3).
3
[ 证 ] 设 ( 0 )a z bw a d b c
c z d
,将 z k ( k = 1,2,3 )
依次映射成 wk (k =1,2,3),即
,( 1,2,3 )kk
k
a z bwk
c z d
因而有
( ) ( ),( 1,2)
( ) ( )
k
k
k
z z a d b cw w k
c z d c z d
3
3
3
( ) ( ),( 1,2)
( ) ( )
k
k
k
z z a d b cw w k
c z d c z d
及
4
由此得
3 2 3 211
2 3 1 2 3 1
631,(,,)w w z zw w z z
w w w w z z z z
是 (6.3.1)式,所以 (6.3.1)式是由三对相异的对应这就是所求的分式线性映射,如果有另外一个分式线性映射,也把 z平面上三个相异点 z1,z2,z3
依次映射成 w平面上的三个相异点 w1,w2,w3,则重复上面的步骤,消去常数后,最后得到的仍然点唯一确定的分式线性映射,
5
ii若f z = w i = 1,2,则
3 2 3 211
2 3 1 2 3 1
631,(,,)w w z zw w z z
w w w w z z z z
,.? 112
2
z-z进一步,若f z = 0,f z = 则w = k
z-z
11
22
w - w z - z= k ( k - 待定复常数)
w - w z - z
6
现在研究,在给定两个圆周 C与 C',在圆周上分别取或者在 C上取定三点 z1,z2,z3,它们在 C'的象分别为 w1,
w2,w3,如果 C依 z1?z2?z3的绕向与 C'依 w1?w2?w3的绕向相同,则 C的内部就映射成 C'的内部,否则映射成 C'的外部。
如果在 C内任取一点 z0,而点 z0的象在 C'的内部,则
C的内部就映射成 C的内部 ; 如果 z0的象在 C'的外部,则
C的内部就映射成 C'的外部,
定三个点,必能找到一个分式线性映射将 C映射成 C',
但是这个映射会将 C内部映射成什么呢?
7
z1
z2
z
z3
w1
w2
w3 w1
w2w3
w
w
8
(I)当二圆周上没有点映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域 ;
(II)当二圆周上有一个点映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域 ;
(III)当二圆周交点中的一个映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域,
现讨论在 z平面内两个圆包围的区域的映射情况,
根据前面的讨论可知,
9
例 1 中心在 z =1 与 z 1,半径为 2 的二圆弧所围区域,在映射
zi
w
zi
下映射成什么区域?
x
1
i
i
1
C1C2
y
(z)
O
10
[解 ] 所设的两个圆弧的交点为?i与 i,且相互正交,
交点?i映射成无穷远点,i映射成原点,因此所给的区域经映射后映射成以原点为顶点的角形区域,张角等于 p/2.
实轴 点 对应点
1
取C 与正 的交 z = 2 - 1,是
2 - 1 - i (1 - 2 ) + i( 1 - 2 )
w = =,
2 - 1 + i 2 - 2
此点在第三象限的分角线 C1'上,由保角性知 C2映射为第二象限的分角线 C2.
11
映射的角形区如图所示
x
1
i
i
1
C1C2
y
(z)
O
C2'
C1'
O u
v
(w)
12
例 2 求将上半平面 Im(z)>0映射成单位圆 |w|<1的分式线性映射,
O 1-1 x
y
l
O 1-1 u
i
v(z)
(w)
l
13
[解法一 ] 在 x轴上任意取定三点,z11,z2=0,z3=1使它们对应于 |w|=1上三点,w1=1,w2=i,w31,则因
z1?z2?z3跟 w1?w2?w3的绕向相同,由 (6.3.1)6.3.1)
式得所求的分式线性映射为
.11 01011111 zziiww
( 6,3,2 )1z i z iwiiz z i
化简后即得
14
注意,如果选取其他三对不同点,势必也能得出满足要求的,但不同于 (6.3.3)的分式线性映射,此可见,把上半平面映射成单位圆的分式线性映射不是唯一的,而是有无穷多,
[解法二 ] 将上半平面看成半径为无穷大的圆域,
实轴就是圆域的边界圆周,因为分式线性映射具有保圆性,因此它必能将上半平面 Im(z)>0映射成单位圆 |w|<1,由于上半平面总有 一点 z=l要映成单位圆周 |w|=1的圆心 w=0,
15
,
,0
| | 1,
,
.
zz
ww
w
z
w
ll
l
实 轴 要 映 射 成 单 位 圆 而 与 是 关 于 实轴 的 一 对 对 称 点 与 是 与 之 对 应 的 关于 圆 周 的 一 对 对 称 点 所 以 根 据 分 式 线 性映 射 具 有 保 对 称 点 不 变 的 性 质 知 必 映 成从而所求的分式线性映射具有下列形式,
.?
l
l
z
zkw 其中 k为常数,
16
| | | |,| | 1
,1,| | 1,e,
.
i
z
w k z w
z
z
kk
z
l
l
l
l
因 为 而 实 轴 上 的 点 对 应 着上 的 点 这 时 所 以 即 这 里是 任 意 实 数 因 此 所 求 的 分 式 线 性 映 射 的 一 般形 式 为反之,形如上式的分式线性映射必将上半平面
Im(z)>0映射成单位圆 |w|<1,因为当 z取实数时
,1|e|e||?
l
l
l
l
z
z
z
zw ii
e,( I m ( ) 0 ) ( 6,3,3 )i zw z? l ll
17
即把实轴映射成 |w|=1,又因为上半平面中的 z=l
映射成 w=0,所以 (6.3.3)必将 Im(z)>0映射成 |w|<1.
6,3,3,2i pl当 （ ） 中 取 时 即 得 解 法 一 的 结 果,
.ziwi zi
6,3,3,0il当 （ ） 中 取 时 即 得,
.ziw zi
18
00
R e 00 a r g
I m zzR
zz p
例 3 求 映 为 的 分 式 线 性 映 射 。
0 ;,zRz R w z R w w k zR[ 解 ] 令
0 1 1 1 1z w w k k再 取
w
1
z
R? R0
.zRw zR
19
例 4 求将上半平面 Im(z)>0映射成单位圆 |w|<1且满足 w(2i)=0,arg w‘(2i)=0的分式线性映射,
2,
2
i ziwe
zi
2
4( ) e,
( 2 )
i iwz
zi
故有
( 2 ),4i iw i ea r g ( 2 ) 0,.22wi pp
从而得所求的映射为
2,
2
ziwi
zi
解：由条件 w(2i)=0知,所求的映射要将上半平面中的点 z=2i映射成单位圆周的圆心 w=0,所以由 (6.3.3)
得
20
例 5 求将单位圆 |z|<1映射成单位圆 |w|<1的分式线性映射,
x1
y(z)
O O u
v
(w)
1
a
a
1
21
[解 ] 设 z平面上单位圆 |z|<1内部的一点 a映射成 w平面上的单位圆 |w|<1的中心 w=0,这时与
1
| | 1
( 0 ),,
1
,0,,.
z
ww
z w z w
a
a
a
a
点 对 称 于 单 位 圆 周 的 点 应 该 被 映 射 成平 面 上 的 无 穷 远 点 即 与 对 称 的 点 因 此当 时 而 当 时 满 足 这 些 条件 的 分 式 线 性 映 射 具 有 如 下 的 形 式
,
1
'
11
z
z
k
z
z
k
z
z
kw
a
a
a
a
a
a
a
akk'其中
22
由于 z平面上单位圆周上的点要映成 w平面上单位圆周上的点,所以当 |z|=1,|w|=1,将圆周 |z|=1上的点
z=1代入上式,得
|,1||1|
1||
1
1
|'|
aa
a
a
又因
wk
所以 |k'|=1,即 k'=eij,这里 j是任意实数,
因此,将单位圆 |z|<1映射成单位圆 |w|<1的分式线性映射的一般表示式是
e,( | | 1 ) ( 6.3,5 )
1
i zw
z
j a a
a
23
.1
e
e
e1
e
e||?
a
a
a
a
j
i
i
i
i
iw
反之,形如上式的映射必将单位圆 |z|<1映射成单位圆
|w|<1,这是因为圆周 |z|=1上的点 z=ei? (?为实数 )映射成圆周 |w|=1上的点,
同时单位圆 |z|<1内有一点 z=a映射成 w=0.所以 (6.3.5)
必将单位圆 |z|<1映射成单位圆 |w|<1.
24
例 6 求将单位圆映射成单位圆且满足条件
w(1/2)=0,w'(1/2)>0的分式线性映射,
2
1
2
1 1 11
1
14 2 2 22
e,e e
1 23 1
1 1
2 2
i i i
z
zzz
ww
z z
j j j
[解 ] 由条件 w(1/2)=0知,所求的映射要将 z=1/2
映射成 |w|<1的中心,所以由 ((6.3.5) 得
25
1 1 1
a r g,0,a r g 0,
2 2 2
1
212
0.,
1 2
1
2
w w w
z
z
w
z
z
j
j
故 由 于 为 正 实 数 从 而即 所 以 所 求 映 射 为例 7 求将 Im(z)>0映射成 |w?2i|<2且满足条件 w(2i)=2i,
arg w‘(2i)p/2的分式线性映射,
2 2 2 1e e ( 2 ) 2 e,
2 2 2 4
i i iz i w i z i wi
z i z i i
[解 ] 容易看出,映射?=(w?2i)/2将 |w?2i|<2映射成 |?|<1,但将 Im(z)>0映射成 |?|<1且满足?(2i)=0的映射易知为
26
a r g ( 2 ) a r g( 2 e ) a r g( 4 ),a r g ( 2 ),0.
22
2 2 2
2( 1 ),
2 2 2
iw i i w i
w i z i z
wi
z i z i
pp
由 得于 是 所 求 映 射 为 或
2i
(z)
O
(?)
2i
(w)
iz
ziw
2
2)1(2
iz
iz
2
2
w=2(i+?)
27
§ 4 几个初等函数所构成的映射
1,幂函数 w=zn(n?2为自然数 )在 z平面内处处可导,
它的导数是 1d,d nw nzz d 0.d wz?因而当 z?0时,
所以,在 z平面内除去原点外,由 w=zn所构成的映射处处保形,
,
n
n
wzii rz re w e
n
j
j?
圆 周 圆 周 ；
射 线 射 线 。
映射的特点是,把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成了原来的 n倍,
28
O
(z)
0 O
(w)
n?0
w=zn
(z) (w)
OO
np2 上岸下岸
w=zn
00
2
)
n
j?
p
00
0
角 形 域,角 形 域,n
( 由 单 值 性 可 知
00 p? j p2特 别,沿 实 轴 剪 开 的 w 平 面,2,n
29
n n于是w=z 和z= w 的映射特点是扩大与缩小角形域。
例 1 求把角形域 0<arg z<p/4映射成单位圆 |w|<1 的一个映射,
[解 ]?=z4将所给角形域 0<arg z<p/4映射成上半平面
Im(?)>0,又从上节的例 2知,映射
4
4
| | 1.
.
i
ww
i
zi
w
zi
将 上 半 平 面 映 射 成 单 位 圆 因 此所 求 映 射 为
0 0 0
200 pj,( )n
n
n根式函数z = w
30
(z)
O
4
p
O
(? )
1
(w)
z4
i
iw
iz
izw
4
4
40 a r g 0 1.
4
iz z I m w w
i
p
31
01
21
0
2
p
a r g
z
w
z
例 求 映为单位园 的一个映射,2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
.
z
i
zsi
w w w
si z
i
z
2
01
01
00
2
p
p
a r ga r g
z
z
z
解：
201 0
1 0
Im
Im
Re
t
t s t s
t
32
例 3 求把下图中由圆弧 C2与 C3所围成的交角为 a的月牙域映射成角形域 j0<arg w<j0+a的一个映射,
j0
(w)
O1
C1 C2
a(z)
O
i
i
33
a
O
(?)
j0
(w)
O1
C1 C2
a(z)
O
i
i
iz
izij 0e iw?
iz izew i )2( 0
pj
1
34
[解 ] 令 C1,C2的交点 z=i与 z=?i分别映射成?平面中的?=0与
iz
izk? 其中 k为待定的复常数,
1
,.
ziiC
zi这样 就把 映射成 平面上的正实轴
00 2
pj
j
(),ii z i z iw ie e
z i z i由此得所求的映射为
=?,将所给月牙域映射成?平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式线性函数,
11 1 1
1
iz k ik k i
i
令。
0?a,a r g,根据保角性 所给的月牙域映射成角形域
35
2,指数函数 w = e z由于在 z平面内 w‘= e z?0。所以,
= e x,z平面上垂直线 x映射成 w平面上圆周 ；
特别是带形域 0<Im(z)<2p 映射成沿正实轴剪开由 w = e z所构成的映射是 0<y<2p上的保形映射,
j = y,z平面上水平直线 y映射成 w平面上射线 j。
（ x?0?单位 圆周,x<0?单位 圆内,x>0?单位 圆外）
设 z =x+iy,w =? e ij,则 w = e z =e x+iy =? e ij 推出带形域 0<Im(z)<a映射成角形域 0<arg w<a.
的 w平面,0<arg w<2p.它们间的点是一一对应的,
36
ai
O x
y
(z)
arg w=a
uO
v (w)
2pi
O x
y (z)
O u
v (w)
w=ez
z=lnw
37
由指数函数 w = e z 所构成的映射的特点是,把水平的带形域 0<Im(z)<a(a?p)映射成角形域 0<arg w<a,
例 4 求把带形域 0<Im(z)<p映射成单位圆 |w|<1的一个映射,
w?=e z
iw
i
e
e
z
z
iw
i
z
ip
38
例 4 求映射把如图所示的半带状域映成上半单位圆。
ipz
ip?
z
1-1
i?
t
1-1
iwte
wt
zwe
39
O
(z)
a b
(w)
O
pi
(?)
O
π t
ba w=e?
π ()i za
bawe
O
(s)
b-a
s z a t is?
例 5 求把带形域 a<Re(z)<b映射成上半平面 Im(w)>0
的一个 映射,
O
(t)
40
例 6 求把具有割痕 Re(z)=a,0?Im(z)?h的上半平面映射成上半平面的一个映射,
xO
y (z)
C(a+ih)
B D
a O u
v (w)
a?h a a+h
B C D
41
xO
y (z)
C(a+ih)
B Da O u
v (w)
a?h a a+h
B C D
O
(z1)
C
B D
ih
h2
C O B
D
(z2)
C
O Bh2
D
(z3)
O
(z4)
CB D
h +h
z1=z?a
z2=z12
z3=z2+h2
34 zz?
w=z4+a
ahazw 22)(
42
[解 ] 不难看出,解决本题的关键显然是要设法将垂直于 x轴的割痕的两侧和 x轴之间的夹角展平,由于映射 w=z2能将顶点在原点处的角度增大到两倍,
所以利用这个映射可以达到将割痕展平的目的,
首先,把上半 z平面向左平移一个距离 a:z1=z?a,
第二,由映射 z2=z12,得到具有割痕 -h2?Re(z2)<+?,
Im(z2)=0的 z2平面,
第三,把 z2平面向右作一距离为 h2的平移,z3=z2+h2,
便得到去掉了正实轴的 z3平面,
4 3 4?,,.z z z第四 通过映射 便得到上半 平面
43
:把所有的映射复合起来就得到所求出映射
4,.w z a w便得到 平面中的上半平面
4,:za最后 把 平面向右作一距离为 的平移
22()w z a h a
§ 3 唯一决定分式线性映射的条件分式线性映射
dcz
baz
中含有四个常数 a,b,c,d,但是,如果用这四个数中的一个去除分子和分母,就可将分式中的四个常数化为三个常数,所以,上式中实际上只有三个独立的常数,因此,只需给定三个条件,就能决定一个分式线性映射,
2
存在唯一的分式线性映射,将 zk(k=1,2,3)依次映射定理 在 z平面上任意给定三个相异的点 z1,z2,z3,
在 w平面上也任意给定三个相异的点 w1,w2,w3,则成 wk(k=1,2,3).
3
[ 证 ] 设 ( 0 )a z bw a d b c
c z d
,将 z k ( k = 1,2,3 )
依次映射成 wk (k =1,2,3),即
,( 1,2,3 )kk
k
a z bwk
c z d
因而有
( ) ( ),( 1,2)
( ) ( )
k
k
k
z z a d b cw w k
c z d c z d
3
3
3
( ) ( ),( 1,2)
( ) ( )
k
k
k
z z a d b cw w k
c z d c z d
及
4
由此得
3 2 3 211
2 3 1 2 3 1
631,(,,)w w z zw w z z
w w w w z z z z
是 (6.3.1)式,所以 (6.3.1)式是由三对相异的对应这就是所求的分式线性映射,如果有另外一个分式线性映射,也把 z平面上三个相异点 z1,z2,z3
依次映射成 w平面上的三个相异点 w1,w2,w3,则重复上面的步骤,消去常数后,最后得到的仍然点唯一确定的分式线性映射,
5
ii若f z = w i = 1,2,则
3 2 3 211
2 3 1 2 3 1
631,(,,)w w z zw w z z
w w w w z z z z
,.? 112
2
z-z进一步,若f z = 0,f z = 则w = k
z-z
11
22
w - w z - z= k ( k - 待定复常数)
w - w z - z
6
现在研究,在给定两个圆周 C与 C',在圆周上分别取或者在 C上取定三点 z1,z2,z3,它们在 C'的象分别为 w1,
w2,w3,如果 C依 z1?z2?z3的绕向与 C'依 w1?w2?w3的绕向相同,则 C的内部就映射成 C'的内部,否则映射成 C'的外部。
如果在 C内任取一点 z0,而点 z0的象在 C'的内部,则
C的内部就映射成 C的内部 ; 如果 z0的象在 C'的外部,则
C的内部就映射成 C'的外部,
定三个点,必能找到一个分式线性映射将 C映射成 C',
但是这个映射会将 C内部映射成什么呢?
7
z1
z2
z
z3
w1
w2
w3 w1
w2w3
w
w
8
(I)当二圆周上没有点映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域 ;
(II)当二圆周上有一个点映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域 ;
(III)当二圆周交点中的一个映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域,
现讨论在 z平面内两个圆包围的区域的映射情况,
根据前面的讨论可知,
9
例 1 中心在 z =1 与 z 1,半径为 2 的二圆弧所围区域,在映射
zi
w
zi
下映射成什么区域?
x
1
i
i
1
C1C2
y
(z)
O
10
[解 ] 所设的两个圆弧的交点为?i与 i,且相互正交,
交点?i映射成无穷远点,i映射成原点,因此所给的区域经映射后映射成以原点为顶点的角形区域,张角等于 p/2.
实轴 点 对应点
1
取C 与正 的交 z = 2 - 1,是
2 - 1 - i (1 - 2 ) + i( 1 - 2 )
w = =,
2 - 1 + i 2 - 2
此点在第三象限的分角线 C1'上,由保角性知 C2映射为第二象限的分角线 C2.
11
映射的角形区如图所示
x
1
i
i
1
C1C2
y
(z)
O
C2'
C1'
O u
v
(w)
12
例 2 求将上半平面 Im(z)>0映射成单位圆 |w|<1的分式线性映射,
O 1-1 x
y
l
O 1-1 u
i
v(z)
(w)
l
13
[解法一 ] 在 x轴上任意取定三点,z11,z2=0,z3=1使它们对应于 |w|=1上三点,w1=1,w2=i,w31,则因
z1?z2?z3跟 w1?w2?w3的绕向相同,由 (6.3.1)6.3.1)
式得所求的分式线性映射为
.11 01011111 zziiww
( 6,3,2 )1z i z iwiiz z i
化简后即得
14
注意,如果选取其他三对不同点,势必也能得出满足要求的,但不同于 (6.3.3)的分式线性映射,此可见,把上半平面映射成单位圆的分式线性映射不是唯一的,而是有无穷多,
[解法二 ] 将上半平面看成半径为无穷大的圆域,
实轴就是圆域的边界圆周,因为分式线性映射具有保圆性,因此它必能将上半平面 Im(z)>0映射成单位圆 |w|<1,由于上半平面总有 一点 z=l要映成单位圆周 |w|=1的圆心 w=0,
15
,
,0
| | 1,
,
.
zz
ww
w
z
w
ll
l
实 轴 要 映 射 成 单 位 圆 而 与 是 关 于 实轴 的 一 对 对 称 点 与 是 与 之 对 应 的 关于 圆 周 的 一 对 对 称 点 所 以 根 据 分 式 线 性映 射 具 有 保 对 称 点 不 变 的 性 质 知 必 映 成从而所求的分式线性映射具有下列形式,
.?
l
l
z
zkw 其中 k为常数,
16
| | | |,| | 1
,1,| | 1,e,
.
i
z
w k z w
z
z
kk
z
l
l
l
l
因 为 而 实 轴 上 的 点 对 应 着上 的 点 这 时 所 以 即 这 里是 任 意 实 数 因 此 所 求 的 分 式 线 性 映 射 的 一 般形 式 为反之,形如上式的分式线性映射必将上半平面
Im(z)>0映射成单位圆 |w|<1,因为当 z取实数时
,1|e|e||?
l
l
l
l
z
z
z
zw ii
e,( I m ( ) 0 ) ( 6,3,3 )i zw z? l ll
17
即把实轴映射成 |w|=1,又因为上半平面中的 z=l
映射成 w=0,所以 (6.3.3)必将 Im(z)>0映射成 |w|<1.
6,3,3,2i pl当 （ ） 中 取 时 即 得 解 法 一 的 结 果,
.ziwi zi
6,3,3,0il当 （ ） 中 取 时 即 得,
.ziw zi
18
00
R e 00 a r g
I m zzR
zz p
例 3 求 映 为 的 分 式 线 性 映 射 。
0 ;,zRz R w z R w w k zR[ 解 ] 令
0 1 1 1 1z w w k k再 取
w
1
z
R? R0
.zRw zR
19
例 4 求将上半平面 Im(z)>0映射成单位圆 |w|<1且满足 w(2i)=0,arg w‘(2i)=0的分式线性映射,
2,
2
i ziwe
zi
2
4( ) e,
( 2 )
i iwz
zi
故有
( 2 ),4i iw i ea r g ( 2 ) 0,.22wi pp
从而得所求的映射为
2,
2
ziwi
zi
解：由条件 w(2i)=0知,所求的映射要将上半平面中的点 z=2i映射成单位圆周的圆心 w=0,所以由 (6.3.3)
得
20
例 5 求将单位圆 |z|<1映射成单位圆 |w|<1的分式线性映射,
x1
y(z)
O O u
v
(w)
1
a
a
1
21
[解 ] 设 z平面上单位圆 |z|<1内部的一点 a映射成 w平面上的单位圆 |w|<1的中心 w=0,这时与
1
| | 1
( 0 ),,
1
,0,,.
z
ww
z w z w
a
a
a
a
点 对 称 于 单 位 圆 周 的 点 应 该 被 映 射 成平 面 上 的 无 穷 远 点 即 与 对 称 的 点 因 此当 时 而 当 时 满 足 这 些 条件 的 分 式 线 性 映 射 具 有 如 下 的 形 式
,
1
'
11
z
z
k
z
z
k
z
z
kw
a
a
a
a
a
a
a
akk'其中
22
由于 z平面上单位圆周上的点要映成 w平面上单位圆周上的点,所以当 |z|=1,|w|=1,将圆周 |z|=1上的点
z=1代入上式,得
|,1||1|
1||
1
1
|'|
aa
a
a
又因
wk
所以 |k'|=1,即 k'=eij,这里 j是任意实数,
因此,将单位圆 |z|<1映射成单位圆 |w|<1的分式线性映射的一般表示式是
e,( | | 1 ) ( 6.3,5 )
1
i zw
z
j a a
a
23
.1
e
e
e1
e
e||?
a
a
a
a
j
i
i
i
i
iw
反之,形如上式的映射必将单位圆 |z|<1映射成单位圆
|w|<1,这是因为圆周 |z|=1上的点 z=ei? (?为实数 )映射成圆周 |w|=1上的点,
同时单位圆 |z|<1内有一点 z=a映射成 w=0.所以 (6.3.5)
必将单位圆 |z|<1映射成单位圆 |w|<1.
24
例 6 求将单位圆映射成单位圆且满足条件
w(1/2)=0,w'(1/2)>0的分式线性映射,
2
1
2
1 1 11
1
14 2 2 22
e,e e
1 23 1
1 1
2 2
i i i
z
zzz
ww
z z
j j j
[解 ] 由条件 w(1/2)=0知,所求的映射要将 z=1/2
映射成 |w|<1的中心,所以由 ((6.3.5) 得
25
1 1 1
a r g,0,a r g 0,
2 2 2
1
212
0.,
1 2
1
2
w w w
z
z
w
z
z
j
j
故 由 于 为 正 实 数 从 而即 所 以 所 求 映 射 为例 7 求将 Im(z)>0映射成 |w?2i|<2且满足条件 w(2i)=2i,
arg w‘(2i)p/2的分式线性映射,
2 2 2 1e e ( 2 ) 2 e,
2 2 2 4
i i iz i w i z i wi
z i z i i
[解 ] 容易看出,映射?=(w?2i)/2将 |w?2i|<2映射成 |?|<1,但将 Im(z)>0映射成 |?|<1且满足?(2i)=0的映射易知为
26
a r g ( 2 ) a r g( 2 e ) a r g( 4 ),a r g ( 2 ),0.
22
2 2 2
2( 1 ),
2 2 2
iw i i w i
w i z i z
wi
z i z i
pp
由 得于 是 所 求 映 射 为 或
2i
(z)
O
(?)
2i
(w)
iz
ziw
2
2)1(2
iz
iz
2
2
w=2(i+?)
27
§ 4 几个初等函数所构成的映射
1,幂函数 w=zn(n?2为自然数 )在 z平面内处处可导,
它的导数是 1d,d nw nzz d 0.d wz?因而当 z?0时,
所以,在 z平面内除去原点外,由 w=zn所构成的映射处处保形,
,
n
n
wzii rz re w e
n
j
j?
圆 周 圆 周 ；
射 线 射 线 。
映射的特点是,把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成了原来的 n倍,
28
O
(z)
0 O
(w)
n?0
w=zn
(z) (w)
OO
np2 上岸下岸
w=zn
00
2
)
n
j?
p
00
0
角 形 域,角 形 域,n
( 由 单 值 性 可 知
00 p? j p2特 别,沿 实 轴 剪 开 的 w 平 面,2,n
29
n n于是w=z 和z= w 的映射特点是扩大与缩小角形域。
例 1 求把角形域 0<arg z<p/4映射成单位圆 |w|<1 的一个映射,
[解 ]?=z4将所给角形域 0<arg z<p/4映射成上半平面
Im(?)>0,又从上节的例 2知,映射
4
4
| | 1.
.
i
ww
i
zi
w
zi
将 上 半 平 面 映 射 成 单 位 圆 因 此所 求 映 射 为
0 0 0
200 pj,( )n
n
n根式函数z = w
30
(z)
O
4
p
O
(? )
1
(w)
z4
i
iw
iz
izw
4
4
40 a r g 0 1.
4
iz z I m w w
i
p
31
01
21
0
2
p
a r g
z
w
z
例 求 映为单位园 的一个映射,2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
.
z
i
zsi
w w w
si z
i
z
2
01
01
00
2
p
p
a r ga r g
z
z
z
解：
201 0
1 0
Im
Im
Re
t
t s t s
t
32
例 3 求把下图中由圆弧 C2与 C3所围成的交角为 a的月牙域映射成角形域 j0<arg w<j0+a的一个映射,
j0
(w)
O1
C1 C2
a(z)
O
i
i
33
a
O
(?)
j0
(w)
O1
C1 C2
a(z)
O
i
i
iz
izij 0e iw?
iz izew i )2( 0
pj
1
34
[解 ] 令 C1,C2的交点 z=i与 z=?i分别映射成?平面中的?=0与
iz
izk? 其中 k为待定的复常数,
1
,.
ziiC
zi这样 就把 映射成 平面上的正实轴
00 2
pj
j
(),ii z i z iw ie e
z i z i由此得所求的映射为
=?,将所给月牙域映射成?平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式线性函数,
11 1 1
1
iz k ik k i
i
令。
0?a,a r g,根据保角性 所给的月牙域映射成角形域
35
2,指数函数 w = e z由于在 z平面内 w‘= e z?0。所以,
= e x,z平面上垂直线 x映射成 w平面上圆周 ；
特别是带形域 0<Im(z)<2p 映射成沿正实轴剪开由 w = e z所构成的映射是 0<y<2p上的保形映射,
j = y,z平面上水平直线 y映射成 w平面上射线 j。
（ x?0?单位 圆周,x<0?单位 圆内,x>0?单位 圆外）
设 z =x+iy,w =? e ij,则 w = e z =e x+iy =? e ij 推出带形域 0<Im(z)<a映射成角形域 0<arg w<a.
的 w平面,0<arg w<2p.它们间的点是一一对应的,
36
ai
O x
y
(z)
arg w=a
uO
v (w)
2pi
O x
y (z)
O u
v (w)
w=ez
z=lnw
37
由指数函数 w = e z 所构成的映射的特点是,把水平的带形域 0<Im(z)<a(a?p)映射成角形域 0<arg w<a,
例 4 求把带形域 0<Im(z)<p映射成单位圆 |w|<1的一个映射,
w?=e z
iw
i
e
e
z
z
iw
i
z
ip
38
例 4 求映射把如图所示的半带状域映成上半单位圆。
ipz
ip?
z
1-1
i?
t
1-1
iwte
wt
zwe
39
O
(z)
a b
(w)
O
pi
(?)
O
π t
ba w=e?
π ()i za
bawe
O
(s)
b-a
s z a t is?
例 5 求把带形域 a<Re(z)<b映射成上半平面 Im(w)>0
的一个 映射,
O
(t)
40
例 6 求把具有割痕 Re(z)=a,0?Im(z)?h的上半平面映射成上半平面的一个映射,
xO
y (z)
C(a+ih)
B D
a O u
v (w)
a?h a a+h
B C D
41
xO
y (z)
C(a+ih)
B Da O u
v (w)
a?h a a+h
B C D
O
(z1)
C
B D
ih
h2
C O B
D
(z2)
C
O Bh2
D
(z3)
O
(z4)
CB D
h +h
z1=z?a
z2=z12
z3=z2+h2
34 zz?
w=z4+a
ahazw 22)(
42
[解 ] 不难看出,解决本题的关键显然是要设法将垂直于 x轴的割痕的两侧和 x轴之间的夹角展平,由于映射 w=z2能将顶点在原点处的角度增大到两倍,
所以利用这个映射可以达到将割痕展平的目的,
首先,把上半 z平面向左平移一个距离 a:z1=z?a,
第二,由映射 z2=z12,得到具有割痕 -h2?Re(z2)<+?,
Im(z2)=0的 z2平面,
第三,把 z2平面向右作一距离为 h2的平移,z3=z2+h2,
便得到去掉了正实轴的 z3平面,
4 3 4?,,.z z z第四 通过映射 便得到上半 平面
43
:把所有的映射复合起来就得到所求出映射
4,.w z a w便得到 平面中的上半平面
4,:za最后 把 平面向右作一距离为 的平移
22()w z a h a
